Число пересечений (теория узлов)

Целочисленный инвариант узла; наименьшее количество пересечений в диаграмме узла

В математической области теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений любой диаграммы узла. Это инвариант узла .

Примеры

Например, трилистник имеет число пересечений ноль , трилистник три, а восьмерка четыре. Других узлов с таким низким числом пересечений нет, и только два узла имеют число пересечений пять, но число узлов с определенным числом пересечений быстро увеличивается с увеличением числа пересечений.

Табуляция

Таблицы простых узлов традиционно индексируются по числу пересечений с нижним индексом, указывающим, какой именно узел из тех, что имеют такое количество пересечений, имеется в виду (этот подупорядочение не основано ни на чем конкретном, за исключением того, что сначала перечислены торические узлы , а затем скрученные узлы ). Список выглядит так: 3 ₁ (узел-трилистник), 4 ₁ (узел-восьмерка), 5 ₁ , 5 ₂ , 6 ₁ и т. д. Этот порядок существенно не изменился с тех пор, как PG Tait опубликовал таблицу узлов в 1877 году. ^[1]

Аддитивность

Было достигнуто очень мало прогресса в понимании поведения числа пересечений при элементарных операциях над узлами. Большой открытый вопрос заключается в том, является ли число пересечений аддитивным при взятии сумм узлов . Также ожидается, что спутник узла K должен иметь большее число пересечений, чем K , но это не было доказано .

Аддитивность числа пересечений при сумме узлов была доказана для особых случаев, например, если слагаемые являются чередующимися узлами ^[2] (или, в более общем случае, адекватными узлами), или если слагаемые являются торическими узлами . ^[3]^[4] Марк Лакенби также дал доказательство того, что существует константа N > 1 такая, что ⁠1/Н⁠ (cr( K ₁ ) + cr( K ₂ )) ≤ cr( K ₁ + K ₂ ) , но его метод, который использует нормальные поверхности , не может улучшить N до 1.^[5]

Приложения в биоинформатике

Существуют связи между числом пересечений узла и физическим поведением узлов ДНК . Для первичных узлов ДНК число пересечений является хорошим предиктором относительной скорости узла ДНК в электрофорезе в агарозном геле . В принципе, чем выше число пересечений, тем выше относительная скорость. Для составных узлов это, по-видимому, не так, хотя экспериментальные условия могут кардинально изменить результаты. ^[6]

Связанные инварианты

Существуют связанные понятия среднего числа пересечений и асимптотического числа пересечений. Обе эти величины ограничивают стандартное число пересечений. Асимптотическое число пересечений, как предполагается, равно числу пересечений.

Другие числовые инварианты узлов включают номер моста , номер зацепления , номер палки и номер распутывания .

Ссылки

^ Тейт, ПГ (1898), «Об узлах I, II, III′», Научные труды , т. 1, Cambridge University Press, стр. 273–347
^ Адамс, Колин С. (2004), Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 69, ISBN 9780821836781, МР 2079925
^ Грубер, Х. (2003), Оценки минимального числа пересечений , arXiv : math/0303273 , Bibcode :2003math......3273G
^ Дяо, Юаньань (2004), «Аддитивность чисел пересечений», Журнал теории узлов и ее последствий , 13 (7): 857–866, doi :10.1142/S0218216504003524, MR 2101230
^ Lackenby, Marc (2009), «Число пересечений составных узлов» (PDF) , Journal of Topology , 2 (4): 747–768, arXiv : 0805.4706 , doi : 10.1112/jtopol/jtp028, MR 2574742
^ Саймон, Джонатан (1996), «Энергетические функции для узлов: начало прогнозирования физического поведения», в Месиров, Джилл П.; Шультен, Клаус; Самнерс, Де Витт (ред.), Математические подходы к биомолекулярной структуре и динамике , Тома ИМА по математике и ее приложениям, т. 82, стр. 39–58, doi :10.1007/978-1-4612-4066-2_4

[1] Тейт, ПГ (1898), «Об узлах I, II, III′», Научные труды , т. 1, Cambridge University Press, стр. 273–347

[2] Адамс, Колин С. (2004), Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 69, ISBN 9780821836781, МР 2079925

[3] Грубер, Х. (2003), Оценки минимального числа пересечений , arXiv : math/0303273 , Bibcode :2003math......3273G

[4] Дяо, Юаньань (2004), «Аддитивность чисел пересечений», Журнал теории узлов и ее последствий , 13 (7): 857–866, doi :10.1142/S0218216504003524, MR 2101230

[5] Lackenby, Marc (2009), «Число пересечений составных узлов» (PDF) , Journal of Topology , 2 (4): 747–768, arXiv : 0805.4706 , doi : 10.1112/jtopol/jtp028, MR 2574742

[6] Саймон, Джонатан (1996), «Энергетические функции для узлов: начало прогнозирования физического поведения», в Месиров, Джилл П.; Шультен, Клаус; Самнерс, Де Витт (ред.), Математические подходы к биомолекулярной структуре и динамике , Тома ИМА по математике и ее приложениям, т. 82, стр. 39–58, doi :10.1007/978-1-4612-4066-2_4