Подпись узла

Сигнатура узла является топологическим инвариантом в теории узлов . Она может быть вычислена из поверхности Зейферта .

Если задан узел K в 3-сфере , то он имеет поверхность Зейферта S , границей которой является K. Форма Зейферта S — это спаривание, задаваемое путем взятия связующего числа , где и указывают на переносы a и b соответственно в положительном и отрицательном направлениях нормального расслоения к S.${\displaystyle \phi :H_{1}(S)\times H_{1}(S)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {lk} (a^{+},b^{-})}$${\displaystyle a,b\in H_{1}(S)}$${\displaystyle а^{+},б^{-}}$

При наличии базиса для (где g — род поверхности) форма Зейферта может быть представлена ​​как матрица Зейферта V размером 2g на 2g . Сигнатура матрицы , рассматриваемой как симметричная билинейная форма, является сигнатурой узла K.${\displaystyle b_{1},...,b_{2g}}$${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle V_{ij}=\phi (b_{i},b_{j})}$${\displaystyle V+V^{т}}$

Известно, что срезные узлы имеют нулевую сигнатуру.

Сигнатуры узлов также можно определить в терминах модуля Александера дополнения узла. Пусть — универсальное абелево покрытие дополнения узла. Рассмотрим модуль Александера как первую группу гомологий универсального абелева покрытия дополнения узла: . Для данного -модуля пусть обозначим -модуль, лежащий в основе -модуля , но где действует обратным накрывающим преобразованием. Формулировка Бланчфилда двойственности Пуанкаре для дает канонический изоморфизм , где обозначает 2-ю группу когомологий с компактными носителями и коэффициентами в . Теорема об универсальных коэффициентах для дает канонический изоморфизм с (поскольку модуль Александера является -кручением). Более того, как и в формулировке двойственности Пуанкаре в квадратичной форме , существует канонический изоморфизм -модулей , где обозначает поле дробей . Этот изоморфизм можно рассматривать как спаривание полуторалинейной двойственности , где обозначает поле дробей . Эта форма принимает значение в рациональных многочленах, знаменатели которых являются многочленами Александера узла, который как -модуль изоморфен . Пусть - любая линейная функция, инвариантная относительно инволюции , тогда ее композиция с полуторалинейной двойственностью дает симметричную билинейную форму, сигнатура которой является инвариантом узла.${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )\simeq {\overline {H^{2}(X;\mathbb {Q} )}}}$${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Q} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])\simeq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}(H_{1}(X;\mathbb {Q} ),[\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]/\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ])}$${\displaystyle [\mathbb {Q} [\mathbb {Z}]]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]}$${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )\times H_{1}(X;\mathbb {Q} )\to [\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]]/\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]}$${\displaystyle [\mathbb {Q} [\mathbb {Z}]]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [\mathbb {Z}]/\Delta K}$${\displaystyle tr:\mathbb {Q} [\mathbb {Z} ]/\Delta K\to \mathbb {Q} }$${\displaystyle t\longmapsto t^{-1}}$${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )}$

Все такие сигнатуры являются инвариантами согласованности, поэтому все сигнатуры узлов среза равны нулю. Спаривание полуторалинейной двойственности уважает разложение по степени простого числа — то есть: разложение по степени простого числа дает ортогональное разложение . Черри Киртон показала, как вычислить инварианты сигнатуры Милнора из этого спаривания, которые эквивалентны инварианту Тристрама-Левина .${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Q} )}$${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {R} )}$

• Согласование ссылок

• C.Gordon, Некоторые аспекты классической теории узлов. Springer Lecture Notes in Mathematics 685. Proceedings Plans-sur-Bex Switzerland 1977.
• Дж. Хиллман, Алгебраические инварианты зацеплений. Серия об узлах и всем таком. Том 32. World Scientific.
• C.Kearton, Сигнатуры узлов и свободное дифференциальное исчисление, Quart. J. Math. Oxford (2), 30 (1979).
• Дж. Левин, Группы кобордизмов узлов в коразмерности два, Комментарий к Math. Helv. 44, 229-244 (1969)
• Дж. Милнор, Бесконечные циклические покрытия, Дж. Г. Хокинг, ред. Конф. по топологии многообразий, Приндл, Вебер и Шмидт, Бостон, Массачусетс, 1968 г., стр. 115–133.
• К. Мурасуги, Об одном числовом инварианте типов связей, Trans. Amer. Math. Soc. 117, 387-482 (1965)
• А.Раницкий О сигнатурах узлов. Слайды лекции, прочитанной в Дареме 20 июня 2010 г.
• Х.Троттер , Гомологии групповых систем с приложениями к теории узлов, Ann. of Math. (2) 76, 464-498 (1962)