Возможность трехцветной окраски
В математической области теории узлов трехцветность узла — это способность узла быть окрашенным в три цвета при соблюдении определенных правил. Трехцветность является изотопическим инвариантом и, следовательно, может использоваться для различения двух различных (неизотопных ) узлов. В частности, поскольку нераскрашенный узел не является трехцветным, любой трехцветный узел обязательно нетривиален.
Правила трехцветности
В этих правилах нить в диаграмме узла будет частью нити, которая идет от одного нижнего пересечения к следующему. [1] Узел является трехцветным, если каждая нить диаграммы узла может быть окрашена в один из трех цветов, при соблюдении следующих правил: [2]
- 1. Необходимо использовать не менее двух цветов, и
- 2. При каждом пересечении три встречные нити либо все одного цвета, либо все разных цветов.
В некоторых источниках вместо этого указывается, что должны использоваться все три цвета. [3] Для узла это эквивалентно определению выше; однако для зацепления это не так.
«Трилистник и тривиальная 2-связка являются трехцветными, но тривиальный узел, связка Уайтхеда и узел восьмерка — нет. Если проекция узла трехцветна, то ходы Рейдемейстера на узле сохраняют трехцветность, так что либо каждая проекция узла трехцветна, либо ни одна». [2]
Примеры
Вот пример того, как раскрасить узел в соответствии с правилами трехцветности. По соглашению, теоретики узлов используют цвета красный, зеленый и синий.
Пример трехцветного узла
Бабушкин узел трехцветный. В этой раскраске три нити на каждом пересечении имеют три разных цвета. Окрашивание одного, но не обоих узлов -трилистников в красный цвет также даст допустимую раскраску. Узел истинного любовника также трехцветный. [4]
К трехцветным узлам с числом пересечений менее девяти относятся 6 1 , 7 4 , 7 7 , 8 5 , 8 10 , 8 11 , 8 15 , 8 18 , 8 19 , 8 20 и 8 21 .
Пример нетрехцветного узла
Узел восьмерка не является трехцветным. На показанной диаграмме он имеет четыре нити, и каждая пара нитей встречается в некотором перекрестке. Если бы три нити имели одинаковый цвет, то все нити были бы вынуждены быть одного цвета. В противном случае каждая из этих четырех нитей должна иметь свой цвет. Поскольку трехцветность является инвариантом узла, ни одна из его других диаграмм также не может быть трехцветной.
Изотопически инвариантный
Трёхцветность — это изотопический инвариант , который является свойством узла или связи , которое остаётся постоянным независимо от любой окружающей изотопии . Это может быть доказано для ручных узлов путём изучения движений Рейдемейстера . Поскольку каждое движение Рейдемейстера может быть выполнено без влияния на трёхцветность, трёхцветность является изотопическим инвариантом ручных узлов. [5]
| Ход Рейдемейстера I можно раскрасить в три цвета. | Reidemeister Move II можно раскрасить в три цвета. | Ход Рейдемейстера III можно раскрасить в три цвета. |
|---|---|---|
 |  |  |
Характеристики
Поскольку трехцветность — это бинарная классификация (связь либо трехцветна, либо нет*), она является относительно слабым инвариантом. Композиция трехцветного узла с другим узлом всегда трехцветна. Способ усилить инвариант — подсчитать количество возможных трехцветных раскрасок. В этом случае правило, согласно которому используется не менее двух цветов, ослабляется, и теперь каждая связь имеет не менее трех трехцветных раскрасок (просто покрасьте каждую дугу в один цвет). В этом случае связь является трехцветной, если она имеет более трех трехцветных раскрасок.
Любая разделяемая связь с трехцветным разделяемым компонентом также трехцветна.
В торических узлах
Если торический узел /связь, обозначенный (m,n), можно раскрасить в три цвета, то таковыми же являются (j*m,i*n) и (i*n,j*m) для любых натуральных чисел i и j.
Смотрите также
Источники
- ^ Сяоюй Цяо, EL, Теория узлов, неделя 2: Трехцветность (20 января 2015 г.), раздел 3.
- ^ ab Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , второе издание, стр. 3045. ISBN 9781420035223. цитируется по Weisstein, Eric W. "Tricolorable". MathWorld .Доступно: 5 мая 2013 г.
- ^ Гилберт, Н.Д. и Портер, Т. (1994) Узлы и поверхности , стр. 8
- ^ Бествина, Младен (февраль 2003 г.). «Узлы: раздаточный материал для математических кружков», Math.Utah.edu .
- ^ Адамс, Колин (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 22–27 . ISBN 978-0-8218-3678-1. OCLC 55633800.
Дальнейшее чтение
- Вайсштейн, Эрик В. «Трехцветный узел». MathWorld .Доступно: 5 мая 2013 г.
