поверхность Зейферта
Ориентируемая поверхность, граница которой представляет собой узел или связь
Поверхность Зейферта, ограниченная множеством колец Борромео .

В математике поверхность Зейферта (названная в честь немецкого математика Герберта Зейферта [1] [2] ) — это ориентируемая поверхность , границей которой является заданный узел или связь .

Такие поверхности могут быть использованы для изучения свойств соответствующего узла или связи. Например, многие инварианты узлов проще всего вычислить с помощью поверхности Зейферта. Поверхности Зейферта также интересны сами по себе и являются предметом значительных исследований.

В частности, пусть L — это ориентированный узел или зацепление в евклидовом 3-пространстве (или в 3-сфере ). Поверхность Зейферта — это компактная , связная , ориентированная поверхность S, вложенная в 3-пространство, граница которой — L , такая, что ориентация на L — это просто индуцированная ориентация из S.

Обратите внимание, что любая компактная, связная, ориентированная поверхность с непустой границей в евклидовом 3-пространстве является поверхностью Зейферта, связанной с ее граничным звеном. Один узел или звено может иметь много различных неэквивалентных поверхностей Зейферта. Поверхность Зейферта должна быть ориентированной . Также возможно связать поверхности с узлами, которые не являются ни ориентированными, ни ориентируемыми.

Примеры

Поверхность Зейферта для зацепления Хопфа . Это кольцо, а не лента Мёбиуса. Оно имеет два полуоборота и, таким образом, является ориентируемым.

Стандартная лента Мёбиуса имеет границу в виде узла , но не является поверхностью Зейферта для узла, поскольку она неориентируема.

Раскраска «шахматной доски» обычной минимальной пересекающейся проекции узла трилистника дает ленту Мёбиуса с тремя полуповоротами. Как и в предыдущем примере, это не поверхность Зейферта, поскольку она неориентируема. Применение алгоритма Зейферта к этой диаграмме, как и ожидалось, действительно дает поверхность Зейферта; в этом случае это проколотый тор рода g = 1, а матрица Зейферта равна

В = ( 1 − 1 0 1 ) . {\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.}

Существование и матрица Зейферта

Это теорема о том, что любая связь всегда имеет связанную с ней поверхность Зейферта. Эта теорема была впервые опубликована Франклом и Понтрягиным в 1930 году. [3] Другое доказательство было опубликовано в 1934 году Гербертом Зейфертом и опирается на то, что сейчас называется алгоритмом Зейферта. Алгоритм создает поверхность Зейферта , учитывая проекцию рассматриваемого узла или связи. С {\displaystyle S}

Предположим, что link имеет m компонент ( m = 1 для узла), диаграмма имеет d точек пересечения, и разрешение пересечений (сохраняя ориентацию узла) дает f окружностей. Тогда поверхность строится из f непересекающихся дисков путем присоединения d полос. Группа гомологии является свободной абелевой на 2 g образующих, где С {\displaystyle S} ЧАС 1 ( С ) {\displaystyle H_{1}(S)}

г = 1 2 ( 2 + г − ф − м ) {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(2+dfm)}

является родом . Форма пересечения Q на кососимметрична , и существует базис из 2 g циклов с равным прямой сумме g копий матрицы С {\displaystyle S} ЧАС 1 ( С ) {\displaystyle H_{1}(S)} а 1 , а 2 , … , а 2 г {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}} В = ( В ( а я , а дж ) ) {\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}

( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
Иллюстрация (изотопных кривых) отталкиваний генератора гомологии a в положительном и отрицательном направлениях для поверхности Зейферта узла восьмерки.

Целочисленная матрица Зейферта размером 2 g × 2 g

В = ( в ( я , дж ) ) {\displaystyle V=(v(i,j))}

имеет число связей в евклидовом 3-пространстве (или в 3-сфере ) для a i и "выталкивание" a j в положительном направлении . Точнее, вспоминая, что поверхности Зейферта являются двустворчатыми, что означает, что мы можем расширить вложение до вложения , учитывая некоторую представительную петлю , которая является генератором гомологии внутри , положительное выталкивание равно , а отрицательное выталкивание равно . [4] в ( я , дж ) {\displaystyle v(i,j)} С {\displaystyle S} С {\displaystyle S} С × [ − 1 , 1 ] {\displaystyle S\times [-1,1]} х {\displaystyle x} С {\displaystyle S} х × { 1 } {\displaystyle x\times \{1\}} х × { − 1 } {\displaystyle x\times \{-1\}}

С этим у нас есть

В − В ∗ = В , {\displaystyle VV^{*}=Q,}

где V ∗ = ( v ( j , i )) транспонированная матрица. Каждая целая матрица 2 g × 2 g с возникает как матрица Зейферта узла с родом g поверхности Зейферта. В {\displaystyle V} В − В ∗ = В {\displaystyle VV^{*}=Q}

Полином Александера вычисляется из матрицы Зейферта, по которой является полиномом степени не выше 2g от неопределенности. Полином Александера не зависит от выбора поверхности Зейферта и является инвариантом узла или зацепления. А ( т ) = дет ( В − т В ∗ ) , {\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),} т . {\displaystyle т.} С , {\displaystyle S,}

Сигнатура узла — это сигнатура симметричной матрицы Зейферта. Это снова инвариант узла или связи. В + В Т . {\displaystyle V+V^{\mathrm {T} }.}

Род узла

Поверхности Зейферта вовсе не уникальны: поверхность Зейферта S рода g и матрица Зейферта V могут быть изменены топологической хирургией , что приведет к поверхности Зейферта S ′ рода g + 1 и матрице Зейферта

В ′ = В ⊕ ( 0 1 1 0 ) . {\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}

Род узла K — это инвариант узла, определяемый минимальным родом g поверхности Зейферта для K.

Например:

Фундаментальным свойством рода является то, что он аддитивен по отношению к сумме узлов :

г ( К 1 # К 2 ) = г ( К 1 ) + г ( К 2 ) {\displaystyle g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}

В общем случае род узла трудно вычислить, и алгоритм Зейферта обычно не создает поверхность Зейферта наименьшего рода. По этой причине иногда полезны другие связанные инварианты. Канонический род узла — это наименьший род всех поверхностей Зейферта, которые могут быть построены алгоритмом Зейферта, а свободный род — это наименьший род всех поверхностей Зейферта, дополнением которых в является handlebody . (Дополнение поверхности Зейферта, сгенерированное алгоритмом Зейферта, всегда является handlebody.) Для любого узла неравенство, очевидно, выполняется, поэтому, в частности, эти инварианты устанавливают верхние границы рода. [5] г с {\displaystyle g_{c}} г ф {\displaystyle g_{f}} С 3 {\displaystyle S^{3}} г ≤ г ф ≤ г с {\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}}

Род узлов является NP-полным согласно работе Яна Эйгола , Джоэла Хасса и Уильяма Терстона . [6]

Было показано, что существуют поверхности Зейферта того же рода, которые не становятся изотопными ни топологически, ни гладко в 4-шаре. [7] [8]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Зайферт, Х. (1934). «Über das Geschlecht von Knoten». Математика. Аннален (на немецком языке). 110 (1): 571–592 . doi : 10.1007/BF01448044. S2CID  122221512.
  2. ^ Ван Вейк, Ярке Дж .; Коэн, Арджех М. (2006). «Визуализация поверхностей Зейферта». Труды IEEE по визуализации и компьютерной графике . 12 (4): 485– 496. doi :10.1109/TVCG.2006.83. PMID  16805258. S2CID  4131932.
  3. ^ Франкл, Ф.; Понтрягин, Л. (1930). «Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie». Математика. Аннален (на немецком языке). 102 (1): 785–789 . doi : 10.1007/BF01782377. S2CID  123184354.
  4. ^ Дейл Рольфсен. Узлы и Связи. (1976), 146–147.
  5. ^ Бриттенхэм, Марк (24 сентября 1998 г.). «Ограничение канонического рода ограничивает объем». arXiv : math/9809142 .
  6. ^ Агол, Ян ; Хасс, Джоэл ; Терстон, Уильям (2002-05-19). "3-manifold knot genus is NP-complete". Труды тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . STOC '02. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр.  761–766 . arXiv : math/0205057 . doi :10.1145/509907.510016. ISBN 978-1-58113-495-7. S2CID  10401375 – по ссылке автора.
  7. ^ Хейден, Кайл; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги; Пак, Чжон Хван; Сандберг, Айзек (30.05.2022). «Поверхности Сейферта в 4-шаре». arXiv : 2205.15283 [math.GT].
  8. ^ «Специальные поверхности остаются различимыми в четырех измерениях». Журнал Quanta . 2022-06-16 . Получено 2022-07-16 .
  • Программа SeifertView Джека ван Вейка визуализирует поверхности Зейферта узлов, построенных с использованием алгоритма Зейферта.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Seifert_surface&oldid=1235226744#Genus_of_a_knot"