Глоссарий теории групп

Найдите Приложение: Глоссарий теории групп в Викисловаре, бесплатном словаре.

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический
Дискретные группы Решетки Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) СЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Евклидово E( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Группа — это множество вместе с ассоциативной операцией, которая допускает единичный элемент и такая, что для каждого элемента существует обратный элемент.

В этом глоссарии мы используем e для обозначения элемента идентичности группы.

абелева группа

Группа ( G , •) является абелевой , если • является коммутативной, т. е. g • h = h • g для всех g , h ∈ G . Аналогично, группа является неабелевой, если это соотношение не выполняется ни для одной пары g , h ∈ G .

восходящая подгруппа

Подгруппа H группы G является восходящей, если существует восходящая серия подгрупп, начинающаяся с H и заканчивающаяся в G , такая, что каждый член серии является нормальной подгруппой своего преемника. Серия может быть бесконечной. Если серия конечна, то подгруппа является субнормальной.

автоморфизм

Автоморфизм группы — это изоморфизм группы самой себе.

центр группы

Центр группы G , обозначаемый Z( G ) , — это множество тех элементов группы, которые коммутируют со всеми элементами G , то есть множество всех h ∈ G таких, что hg = gh для всех g ∈ G . Z( G ) всегда является нормальной подгруппой группы G . Группа  G является абелевой тогда и только тогда, когда Z( G ) = G .

бесцентровая группа

Группа G называется группой без центра, если ее центр Z( G ) тривиален.

центральная подгруппа

Подгруппа группы является центральной подгруппой этой группы, если она лежит внутри центра группы.

центратор

Для подмножества S группы  G централизатор S в G , обозначаемый C _G ( S ) , является подгруппой G, определяемой соотношением

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.}$

производная подгруппа

Синоним подгруппы коммутатора.

прямой продукт

Прямое произведение двух групп G и H , обозначаемое G × H , является декартовым произведением базовых множеств G и H , снабженным покомпонентно определенной бинарной операцией ( g ₁ , h ₁ ) · ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ ⋅ g ₂ , h ₁ ⋅ h ₂ ) . С помощью этой операции G × H сама образует группу.

показатель группы

Экспонента группы G — это наименьшее положительное целое число n такое, что g ⁿ = e для всех g ∈ G . Это наименьшее общее кратное порядков всех элементов группы. Если такого положительного целого числа не существует, экспонента группы называется бесконечной.

факторная группа

Синоним фактор-группы.

FC-группа

Группа является FC-группой , если каждый класс сопряженности ее элементов имеет конечную мощность.

конечная группа

Конечная группа — это группа конечного порядка, то есть группа с конечным числом элементов.

конечно порожденная группа

Группа G конечно порождена , если существует конечное порождающее множество, то есть если существует конечное множество S элементов группы G , такое что каждый элемент группы G может быть записан как комбинация конечного числа элементов группы S и обратных элементов группы S.

генераторная установка

Генерирующим множеством группы G называется подмножество S группы G , такое что каждый элемент группы G может быть выражен как комбинация (с помощью групповой операции) конечного числа элементов группы S и обратных элементов группы S. Для данного подмножества S группы G обозначим через ⟨ S ⟩ наименьшую подгруппу группы G , содержащую S . ⟨ S ⟩ называется подгруппой группы G , порождённой S .

групповой автоморфизм

См. автоморфизм.

гомоморфизм групп

См. гомоморфизм.

изоморфизм групп

См. изоморфизм.

гомоморфизм

Для двух групп ( G , •) и ( H , ·) гомоморфизм из G в H — это функция h :  G → H такая , что для всех a и b из G , h ( a • b ) = h ( a ) · h ( b ) .

индекс подгруппы

Индекс подгруппы H группы G , обозначаемый | G  : H | или [ G  : H ] или ( G  : H ) , — это число смежных классов H в G. Для нормальной подгруппы N группы G индекс N в G равен порядку факторгруппы G / N . Для конечной подгруппы H конечной группы G индекс H в G равен частному порядков G и H.

изоморфизм

Для двух групп ( G , •) и ( H , ·) изоморфизм между G и H является биективным гомоморфизмом из G в H , то есть соответствием один к одному между элементами групп таким образом, который уважает заданные групповые операции. Две группы изоморфны, если существует групповой изоморфизм, отображающий одну на другую. Изоморфные группы можно рассматривать как по сути одинаковые, только с разными метками на отдельных элементах.

решетка подгрупп

Решетка подгрупп группы — это решетка, определяемая ее подгруппами, частично упорядоченными по включению множеств .

локально циклическая группа

Группа локально циклическая , если каждая конечно порождённая подгруппа циклическая. Каждая циклическая группа локально циклическая, и каждая конечно порождённая локально циклическая группа циклическая. Каждая локально циклическая группа абелева. Каждая подгруппа, каждая факторгруппа и каждый гомоморфный образ локально циклической группы локально циклические.

нет малой подгруппы

Топологическая группа не имеет малой подгруппы , если существует окрестность единичного элемента, не содержащая ни одной нетривиальной подгруппы.

нормальное закрытие

Нормальное замыкание подмножества  S группы  G — это пересечение всех нормальных подгрупп группы  G , содержащих  S.

нормальное ядро

Нормальное ядро ​​подгруппы H группы G — это наибольшая нормальная подгруппа группы G , содержащаяся в H.

нормальная серия

Нормальный ряд группы  G — это последовательность нормальных подгрупп группы G, такая, что каждый элемент последовательности является нормальной подгруппой следующего элемента:

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G}$

с

${\displaystyle A_{i}\triangleleft G}$.

орбита

Рассмотрим группу G, действующую на множестве X. Орбита элемента x в X — это множество элементов в X , в которое x может быть перемещен элементами G. Орбита x обозначается как G ⋅ x

заказ группы

Порядок группы ( G , •) — это мощность (т. е. число элементов) группы G. Группа с конечным порядком называется конечной группой .

порядок элемента группы

Порядок элемента g группы G — это наименьшее положительное целое число n такое, что g ⁿ = e . Если такого целого числа не существует, то говорят, что порядок g бесконечен. Порядок конечной группы делится на порядок каждого элемента.

идеальное ядро

Совершенным ядром группы является ее наибольшая совершенная подгруппа.

идеальная группа

Совершенная группа — это группа, равная своему коммутаторному подгруппе.

периодическая группа

Группа является периодической , если каждый элемент группы имеет конечный порядок. Каждая конечная группа является периодической.

группа перестановок

Группа перестановок — это группа, элементы которой являются перестановками заданного множества M ( биективные функции из множества M в себя), а групповая операция — это композиция этих перестановок. Группа , состоящая из всех перестановок множества M, является симметрической группой M.

p -группа

Если p — простое число , то p -группа — это группа, в которой порядок каждого элемента является степенью p . Конечная группа является p -группой тогда и только тогда, когда порядок группы является степенью p .

p -подгруппа

Подгруппа, которая также является p-группой. Изучение p -подгрупп является центральным объектом теорем Силова .

фактор-группа

Для группы G и нормальной подгруппы N группы G фактор -группа — это множество G / N левых смежных классов { aN  : a ∈ G } вместе с операцией aN • bN = abN . Связь между нормальными подгруппами, гомоморфизмами и фактор-группами суммируется в фундаментальной теореме о гомоморфизмах .

реальный элемент

Элемент g группы G называется действительным элементом G , если он принадлежит к тому же классу сопряженности, что и его обратный элемент, то есть если в G существует h с  g ^h = g ⁻¹ , где g ^h определяется как h ⁻¹ gh . Элемент группы G является действительным тогда и только тогда, когда для всех представлений G след соответствующей матрицы является действительным числом.

серийная подгруппа

Подгруппа H группы G является последовательной подгруппой G , если существует цепочка C подгрупп G от H до G такая, что для каждой пары последовательных подгрупп X и Y в C , X является нормальной подгруппой Y. Если цепочка конечна, то H является субнормальной подгруппой G.

простая группа

Простая группа — это нетривиальная группа, единственными нормальными подгруппами которой являются тривиальная группа и сама группа.

подгруппа

Подгруппа группы G — это подмножество H элементов группы G , которое само образует группу при ограничении групповой операции G на H × H. Подмножество H группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно произведений и обратных элементов, то есть тогда и только тогда, когда для любых a и b из H , ab и a ⁻¹ также находятся в H.

подгруппа серии

Ряд подгрупп группы G — это последовательность подгрупп группы G , в которой каждый элемент ряда является подгруппой следующего элемента:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G.}$

торсионная группа

Синоним периодической группы.

транзитивно нормальная подгруппа

Подгруппа группы называется транзитивно нормальной в этой группе, если каждая нормальная подгруппа этой подгруппы также нормальна во всей группе.

тривиальная группа

Тривиальная группа — это группа, состоящая из одного элемента, а именно единичного элемента группы. Все такие группы изоморфны , и часто говорят о тривиальной группе.

Как подгруппы, так и нормальные подгруппы данной группы образуют полную решетку относительно включения подмножеств; это свойство и некоторые связанные с ним результаты описываются теоремой о решетке .

Ядро группового гомоморфизма . Это прообраз тождества в области значений группового гомоморфизма. Каждая нормальная подгруппа является ядром группового гомоморфизма и наоборот.

Прямое произведение , прямая сумма и полупрямое произведение групп. Это способы объединения групп для построения новых групп; пожалуйста, обратитесь к соответствующим ссылкам для объяснения.

Конечно порожденная группа . Если существует конечное множество S такое, что ⟨ S ⟩ = G , тоговорят, что G конечно порождено . Если S можно считать имеющим только один элемент, G является циклической группой конечного порядка, бесконечной циклической группой или, возможно, группой { e } с всего одним элементом.

Простая группа . Простые группы — это группы, имеющие только e и самих себя в качестве нормальных подгрупп . Название вводит в заблуждение, поскольку простая группа на самом деле может быть очень сложной. Примером является группа-монстр , порядок которой составляет около 1054. ^Каждая конечная группа строится из простых групп с помощью расширений групп , поэтому изучение конечных простых групп является центральным для изучения всех конечных групп. Конечные простые группы известны и классифицированы .

Структура любой конечной абелевой группы относительно проста; каждая конечная абелева группа является прямой суммой циклических p-групп. Это может быть расширено до полной классификации всех конечно порождённых абелевых групп , то есть всех абелевых групп, которые порождёны конечным множеством.

Для неабелевых групп ситуация гораздо сложнее.

Свободная группа . Для любого множества A можно определить группу как наименьшую группу, содержащую свободную полугруппу A. Группа состоит из конечных строк (слов), которые могут быть составлены из элементов из A , вместе с другими элементами, необходимыми для формирования группы. Умножение строк определяется конкатенацией, например ( abb ) • ( bca ) = abbbca .

Каждая группа ( G , •) по сути является фактор-группой свободной группы, порожденной G . Обратитесь к разделу Представление группы для получения дополнительных объяснений. Затем можно задать алгоритмические вопросы об этих представлениях, например:

• Определяют ли эти два представления изоморфные группы?; или
• Определяет ли эта презентация тривиальную группу?

Общим случаем этого является текстовая задача , и некоторые из этих вопросов фактически неразрешимы с помощью какого-либо общего алгоритма.

Общая линейная группа , обозначаемая GL( n , F ) , представляет собой группу обратимых матриц размера n на n , элементы которых берутся из поля F, например действительные числа или комплексные числа.

Представление группы (не путать с представлением группы). Представление группы — это гомоморфизм группы в общую линейную группу. По сути, пытаются «представить» заданную абстрактную группу как конкретную группу обратимых матриц , что гораздо проще для изучения.

• Глоссарий групп Ли и алгебр Ли
• Глоссарий теории колец
• Серия композиций
• Нормальная серия