Группа спина

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический
Дискретные группы Решетки Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) СЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Евклидово E( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Симплектический Sp( n ) Г 2 Ф 4 Е 6 Е 7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В математике группа спинов , обозначаемая Spin( n ), ^{[1] [2]} — это группа Ли , базовое многообразие которой является двойным покрытием специальной ортогональной группы SO( n ) = SO( n , R ) , такой что существует короткая точная последовательность групп Ли (когда n ≠ 2 )

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

Закон группового умножения на двойном покрытии задается путем поднятия умножения на .${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Таким образом , как группа Ли, Spin( n ) разделяет свою размерность n ( n − 1)/2 и свою алгебру Ли со специальной ортогональной группой.

При n > 2 Spin( n ) односвязен и, таким образом, совпадает с универсальным покрытием SO ( n ) .

Нетривиальный элемент ядра обозначается −1, что не следует путать с ортогональным преобразованием отражения относительно начала координат , обычно обозначаемым −I .

Spin( n ) может быть построен как подгруппа обратимых элементов в алгебре Клиффорда Cl( n ). Отдельная статья обсуждает спиновые представления .

Группа спинов используется в физике для описания симметрий (электрически нейтральных, незаряженных) фермионов . Ее комплексификация, Spinc, используется для описания электрически заряженных фермионов, в первую очередь электрона . Строго говоря, группа спинов описывает фермион в нульмерном пространстве; однако пространство не является нульмерным, и поэтому группа спинов используется для определения спиновых структур на (псевдо-) римановых многообразиях : группа спинов является структурной группой спинорного пучка . Аффинная связь на спинорном пучке является спиновой связью ; спиновая связь может упростить вычисления в общей теории относительности . Спиновая связь, в свою очередь, позволяет записать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени (фактически в тетрадных координатах), что, в свою очередь, обеспечивает основу для квантовой гравитации , а также формализацию излучения Хокинга (где один из пары запутанных виртуальных фермионов падает за горизонт событий, а другой — нет).

Построение группы Spin часто начинается с построения алгебры Клиффорда над вещественным векторным пространством V с определенной квадратичной формой q . ^[3] Алгебра Клиффорда является фактором тензорной алгебры T V пространства V по двустороннему идеалу. Тензорная алгебра (над вещественными числами) может быть записана как

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

Тогда алгебра Клиффорда Cl( V ) является фактор-алгеброй

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),}$

где — квадратичная форма, примененная к вектору . Полученное пространство конечномерно, естественно градуировано (как векторное пространство) и может быть записано как ${\displaystyle q(v)}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

где — размерность , и . Спиновая алгебра определяется как${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R} }$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

где последнее является сокращением для V, являющегося действительным векторным пространством действительной размерности n . Это алгебра Ли ; она имеет естественное действие на V , и таким образом можно показать, что она изоморфна алгебре Ли специальной ортогональной группы .${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

Группа выводов является подгруппой группы Клиффорда всех элементов вида ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

где каждый имеет единичную длину:${\displaystyle v_{i}\in V}$${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

Спиновая группа тогда определяется как

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

где — подпространство, порожденное элементами, которые являются произведением четного числа векторов. То есть, Spin( V ) состоит из всех элементов Pin( V ), приведенных выше, с ограничением на k, являющееся четным числом. Ограничение на четное подпространство является ключевым для формирования двухкомпонентных (вейлевских) спиноров, построенных ниже.${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$

Если набор является ортонормированным базисом (действительного) векторного пространства V , то указанное выше отношение наделяет пространство естественной антикоммутативной структурой:${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$для${\displaystyle i\neq j,}$

что следует из рассмотрения для . Эта антикоммутация оказывается важной в физике, поскольку она отражает дух принципа исключения Паули для фермионов . Точная формулировка здесь выходит за рамки, но она включает в себя создание спинорного расслоения в пространстве-времени Минковского ; полученные спинорные поля можно рассматривать как антикоммутирующие как побочный продукт построения алгебры Клиффорда. Это свойство антикоммутации также является ключевым для формулировки суперсимметрии . Алгебра Клиффорда и группа спинов обладают многими интересными и любопытными свойствами, некоторые из которых перечислены ниже.${\displaystyle v\otimes v}$${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$

Группы спинов можно построить менее явно, но без обращения к алгебрам Клиффорда. Как многообразие, является двойным покрытием . Его закон умножения можно определить путем подъема следующим образом. Назовем отображение покрытия . Тогда — множество с двумя элементами, и один из них можно выбрать без потери общности в качестве тождества. Назовем это . Затем, чтобы определить умножение в , для выберем пути, удовлетворяющие , и . Они определяют путь в определенном удовлетворяющем . Поскольку — двойное покрытие, существует единственный подъем с . Затем определим произведение как .${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle p^{-1}(\{e\})}$${\displaystyle {\tilde {e}}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle a,b\in \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$${\displaystyle \gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}}$${\displaystyle \gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))}$${\displaystyle \gamma (0)=e}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}}$${\displaystyle a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)}$

Затем можно показать, что это определение не зависит от путей , что умножение непрерывно и аксиомы группы выполняются, причем инверсия непрерывна, что создает группу Ли.${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

Для квадратичного пространства V двойное покрытие SO( V ) посредством Spin( V ) может быть задано явно следующим образом. Пусть — ортонормированный базис для V . Определим антиавтоморфизм как${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

Это можно распространить на все элементы по линейности. Это антигомоморфизм, поскольку${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

Обратите внимание, что Pin( V ) можно определить как все элементы , для которых${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

Теперь определим автоморфизм , который на элементах степени 1 задается формулой${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

и пусть обозначает , который является антиавтоморфизмом Cl( V ). При таком обозначении явное двойное покрытие — это гомоморфизм , заданный формулой${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)}$

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

где . Когда a имеет степень 1 (т.е. ), соответствует отражение относительно гиперплоскости, ортогональной к a ; это следует из антикоммутативного свойства алгебры Клиффорда.${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle a\in V}$${\displaystyle \rho (a)}$

Это дает двойное покрытие как O( V ), так и Pin( V ), а также SO( V ) с помощью Spin( V ), поскольку дает то же самое преобразование, что и .${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

Стоит рассмотреть, как строятся спинорное пространство и спиноры Вейля , учитывая этот формализм. Если задано вещественное векторное пространство V размерности n = 2 m четное число, его комплексификация равна . Его можно записать как прямую сумму подпространства спиноров и подпространства антиспиноров:${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {W}}}$

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

Пространство охватывается спинорами для и комплексно-сопряженными спинорами span . Легко видеть, что спиноры антикоммутируют, и что произведение спинора и антиспинора является скаляром.${\displaystyle W}$${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1\leq k\leq m}$${\displaystyle {\overline {W}}}$

Спинорное пространство определяется как внешняя алгебра . (Комплексифицированная) алгебра Клиффорда действует естественным образом на этом пространстве; (комплексифицированная) спиновая группа соответствует эндоморфизмам, сохраняющим длину . Существует естественная градуировка на внешней алгебре: произведение нечетного числа копий соответствует физическому понятию фермионов; четное подпространство соответствует бозонам. Представления действия спиновой группы на спинорном пространстве могут быть построены относительно простым способом. ^[3]${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$${\displaystyle W}$

Группа Spin ^C определяется точной последовательностью

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Это мультипликативная подгруппа комплексификации алгебры Клиффорда, и, в частности, это подгруппа, порожденная Spin( V ) и единичной окружностью в C . С другой стороны, это фактор${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

где эквивалентность отождествляет ( a , u ) с (− a , − u ) .${\displaystyle \sim }$

Это имеет важные приложения в теории 4-многообразий и теории Зайберга–Виттена . В физике группа Spin подходит для описания незаряженных фермионов, в то время как группа Spin C ^{используется} для описания электрически заряженных фермионов. В этом случае симметрия U(1) является калибровочной группой электромагнетизма .

В низких размерностях существуют изоморфизмы среди классических групп Ли, называемые исключительными изоморфизмами . Например, существуют изоморфизмы между низкоразмерными спиновыми группами и некоторыми классическими группами Ли из-за низкоразмерных изоморфизмов между корневыми системами (и соответствующих изоморфизмов диаграмм Дынкина ) различных семейств простых алгебр Ли . Записывая R для действительных чисел, C для комплексных чисел, H для кватернионов и общее понимание того, что Cl( n ) является сокращением для Cl( R ⁿ ), а Spin( n ) является сокращением для Spin( R ⁿ ) и так далее, то получаем, что ^[3]

Cl ^четный (1) = R действительные числа

Pin(1) = {+i, −i, +1, −1}

Spin(1) = O(1) = {+1, −1} ортогональная группа размерности ноль.

--

Cl ^четные (2) = C комплексные числа

Spin(2) = U(1) = SO(2) , который действует на z в R ² двойным фазовым вращением z ↦ u ² z . Соответствует абелеву . dim = 1${\displaystyle D_{1}}$

--

Cl ^четный ( 3) = H кватернионы

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) , что соответствует . dim = 3${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$

--

Cl ^четный (4) = H ⊕ H

Спин(4) = SU(2) × SU(2), что соответствует . dim = 6${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$

--

Cl ^четный (5)= M(2, H ) матрицы размером два на два с кватернионными коэффициентами

Spin(5) = Sp(2) , что соответствует . dim = 10${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$

--

Cl ^четный (6)= M(4, C ) матрицы размером четыре на четыре с комплексными коэффициентами

Спин(6) = SU(4) , что соответствует . dim = 15${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$

Имеются некоторые остатки этих изоморфизмов, оставшиеся для n = 7, 8 (см. Spin(8) для более подробной информации). Для более высоких n эти изоморфизмы полностью исчезают.

В неопределенной сигнатуре группа спинов Spin( p , q ) строится через алгебры Клиффорда аналогично стандартным группам спинов. Это двойное покрытие SO 0 ₍ p , q ) , связной компоненты тождества неопределенной ортогональной группы SO( p , q ) . Для p + q > 2 Spin ( p , q ) связна; для ( p , q ) = (1, 1) имеются две связные компоненты. ^{[4] : 193} Как и в определенной сигнатуре, существуют некоторые случайные изоморфизмы в низких размерностях:

Спин(1, 1) = GL(1, R )

Спин(2, 1) = SL(2, R )

Спин(3, 1) = SL(2, C )

Спин(2, 2) = SL(2, R ) × SL(2, R )

Спин(4, 1) = Сп(1, 1)

Спин(3, 2) = Сп(4, R )

Спин(5, 1) = SL(2, H )

Спин(4, 2) = SU(2, 2)

Спин(3, 3) = SL(4, R )

Спин(6, 2) = SU(2, 2, H )

Обратите внимание, что Spin( p , q ) = Spin( q , p ) .

Связные и односвязные группы Ли классифицируются по их алгебре Ли. Так, если G — связная группа Ли с простой алгеброй Ли, причем G ′ — универсальное покрытие G , то существует включение

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

с Z( G ′) центром G ′ . Это включение и алгебра Ли группы G полностью определяют G (обратите внимание, что это не тот случай, когда и π ₁ ( G ) полностью определяют G ; например, SL(2, R ) и PSL(2, R ) имеют одну и ту же алгебру Ли и одну и ту же фундаментальную группу Z , но не изоморфны).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Определенные сигнатуры Spin( n ) все односвязны при n  > 2, поэтому они являются универсальными покрытиями SO( n ).

В неопределенной сигнатуре Spin( p , q ) не обязательно связен, и в общем случае компонент тождества Spin ₀ ( p , q ) не является просто связным, поэтому он не является универсальным покрытием. Фундаментальную группу проще всего понять, рассмотрев максимальную компактную подгруппу SO( p , q ), которая есть SO( p ) × SO( q ), и отметив, что вместо того, чтобы быть произведением 2-кратных покрытий (следовательно, 4-кратным покрытием), Spin( p , q ) является «диагональным» 2-кратным покрытием – это 2-кратное частное 4-кратного покрытия. Явно, максимальная компактная связная подгруппа Spin( p , q ) есть

Спин( p ) × Спин( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

Это позволяет нам вычислить фундаментальные группы SO( p , q ), принимая p ≥ q :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

Таким образом, если p , q > 2, то фундаментальной группой будет Z ₂ , поскольку она является двукратным фактором произведения двух универсальных накрытий.

Карты на фундаментальных группах задаются следующим образом. Для p , q > 2 это означает, что отображение π ₁ (Spin( p , q )) → π ₁ (SO( p , q )) задается как 1 ∈ Z _{2 ,} переходящее в (1, 1) ∈ Z ₂ × Z ₂ . Для p = 2, q > 2 это отображение задается как 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂ . И, наконец, для p = q = 2 (1, 0) ∈ Z × Z отправляется в (1,1) ∈ Z × Z , а (0, 1) отправляется в (1, −1) .

Фундаментальные группы могут быть получены более непосредственно с использованием результатов в теории гомотопий . В частности, мы можем найти для , поскольку три наименьших имеют знакомые базовые многообразия: — это точечное многообразие, и (показано с использованием представления ось-угол ).${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$${\displaystyle n>3}$${\displaystyle SO(1)}$${\displaystyle SO(2)\cong S^{1}}$${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

Доказательство использует известные результаты алгебраической топологии . ^[5]

Тот же аргумент можно использовать, чтобы показать , рассматривая расслоение , где — верхний лист двуполостного гиперболоида , который является стягиваемым , и — единичный компонент собственной группы Лоренца (собственной ортохронной группы Лоренца).${\displaystyle \pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))}$$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},}$$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }}$

Центр спиновых групп для n ≥ 3 (комплексных и действительных) определяется следующим образом: ^{[4] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Факторгруппы могут быть получены из спиновой группы путем факторизации по подгруппе центра, при этом спиновая группа будет покрывающей группой полученной факторгруппы, и обе группы будут иметь одну и ту же алгебру Ли.

Факторизация по всему центру дает минимальную такую ​​группу, проективную специальную ортогональную группу , которая не имеет центра , в то время как факторизация по {±1} дает специальную ортогональную группу – если центр равен {±1} (а именно в нечетном измерении), эти две факторгруппы совпадают. Если группа спинов односвязна (как Spin( n ) для n > 2 ), то Spin является максимальной группой в последовательности, и мы имеем последовательность из трех групп,

Спин( n ) → SO( n ) → PSO( n ),

разделение по паритету дает:

Спин(2n ) → SO(2n ) → PSO(2n ) ,

Спин(2n + 1) → SO(2n + 1) = PSO(2n + 1),

которые являются тремя компактными действительными формами (или двумя, если SO = PSO ) компактной алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

Гомотопические группы накрытия и фактора связаны длинной точной последовательностью расслоения с дискретным слоем (слой является ядром) – таким образом, все гомотопические группы для k > 1 равны, но π ₀ и π ₁ могут различаться.

При n > 2 Spin( n ) односвязен ( π ₀ = π ₁ = Z ₁ тривиально), поэтому SO( n ) связен и имеет фундаментальную группу Z _{2 ,} в то время как PSO( n ) связен и имеет фундаментальную группу, равную центру Spin( n ).

В неопределенной сигнатуре покрытия и гомотопические группы сложнее – Spin( p , q ) не является односвязным, а факторизация также влияет на связные компоненты. Анализ упрощается, если рассмотреть максимальный (связный) компакт SO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) и компонентную группу Spin ( p , q ) .

Группа спинов появляется в башне Уайтхеда , закрепленной ортогональной группой :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

Башня получается путем последовательного удаления (убийства) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начинающихся с пространства Эйленберга–Маклейна для гомотопической группы, которая должна быть удалена. Убивая гомотопическую группу π ₃ в Spin( n ), получаем бесконечномерную струнную группу String( n ).

Дискретные подгруппы спиновой группы можно понять, связав их с дискретными подгруппами специальной ортогональной группы ( группами точек вращения ).

Учитывая двойное покрытие Spin( n ) → SO( n ) , по теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin( n ) и подгруппами SO( n ) (вращательными точечными группами): образ подгруппы Spin( n ) является вращательной точечной группой, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin( n ), а оператор замыкания на подгруппах Spin( n ) является умножением на {±1}. Их можно назвать "бинарными точечными группами"; наиболее знакомым является 3-мерный случай, известный как бинарные полиэдральные группы .

Конкретно, каждая бинарная точечная группа является либо прообразом точечной группы (отсюда обозначение 2 G для точечной группы G ), либо является подгруппой индекса 2 прообраза точечной группы, которая отображается (изоморфно) на точечную группу; в последнем случае полная бинарная группа является абстрактной (поскольку {±1} является центральной). В качестве примера этих последних, если задана циклическая группа нечетного порядка в SO( n ), ее прообразом является циклическая группа удвоенного порядка, а подгруппа Z _{2 k +1} < Spin( n ) отображается изоморфно в Z _{2 k +1} < SO( n ) .${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$

Особого внимания заслуживают две серии:

• высшие бинарные тетраэдрические группы , соответствующие 2-кратному покрытию симметрий n -симплекса ; эту группу можно также рассматривать как двойное покрытие симметрической группы , 2⋅A _n → A _n , причем знакопеременная группа является (вращательной) группой симметрии n -симплекса.
• высшие бинарные октаэдрические группы , соответствующие двукратным покрытиям гипероктаэдрической группы (симметрии гиперкуба или , что эквивалентно, его двойственного, кросс-политопа ).

Для точечных групп, которые меняют ориентацию, ситуация более сложная, поскольку имеются две группы выводов , поэтому существуют две возможные бинарные группы, соответствующие данной точечной группе.

• Группа Pin Pin( n ) – двукратное покрытие ортогональной группы , O( n )
• Метаплектическая группа Mp(2 n ) – двукратное накрытие симплектической группы Sp(2 n )
• Группа струн String(n) – следующая группа в башне Уайтхеда

• Существенная размерность спиновых групп — OEIS:A280191.
• «Индекс кручения» Гротендика — OEIS:A096336.

• Каруби, Макс (2008). K-Theory . Springer. стр. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7.