ТАК(8)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В математике SO(8) — это специальная ортогональная группа, действующая на восьмимерном евклидовом пространстве . Это может быть как действительная, так и комплексная простая группа Ли ранга 4 и размерности 28.

Как и все специальные ортогональные группы , SO(8) не является односвязной , имея фундаментальную группу , изоморфную Z ₂ . Универсальной оболочкой SO(8) является спиновая группа Spin(8) .${\displaystyle n>2}$

Центром SO(8) является Z ₂ , диагональные матрицы {±I} (как для всех SO(2 n ) с 2 n ≥ 4), а центром Spin(8) является Z ₂ × Z ₂ (как для всех Spin(4 n ), 4 n ≥ 4).

SO(8) уникальна среди простых групп Ли тем, что ее диаграмма Дынкина ,( D ₄ по классификации Дынкина), обладает тройной симметрией . Это приводит к особой особенности Spin(8), известной как триальность . С этим связан тот факт, что два спинорных представления , а также фундаментальное векторное представление Spin(8) являются восьмимерными (для всех других спиновых групп спинорное представление либо меньше, либо больше векторного представления). Автоморфизм триальности Spin(8) живет во внешней группе автоморфизмов Spin(8), которая изоморфна симметрической группе S ₃ , которая переставляет эти три представления. Группа автоморфизмов действует на центр Z ₂ x Z ₂ (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S _{3 ,} которую также можно рассматривать как общую линейную группу над конечным полем с двумя элементами, S ₃ ≅GL(2,2)). Когда факторизуем Spin(8) по одному центральному Z ₂ , нарушая эту симметрию и получая SO(8), оставшаяся внешняя группа автоморфизмов — это только Z ₂ . Симметрия триальности снова действует на последующий фактор SO(8)/ Z ₂ .

Иногда Spin(8) естественным образом появляется в «расширенной» форме, как группа автоморфизмов Spin(8), которая распадается как полупрямое произведение : Aut(Spin(8)) ≅ PSO (8) ⋊ S ₃ .

Элементы SO(8) можно описать единичными октонионами , аналогично тому, как элементы SO(2) можно описать единичными комплексными числами , а элементы SO(4) — единичными кватернионами . Однако эта связь сложнее, отчасти из-за неассоциативности октонионов. Общий элемент в SO(8) можно описать как произведение 7 левых умножений, 7 правых умножений, а также 7 биумножений на единичные октонионы (биумножение является композицией левого умножения и правого умножения на один и тот же октонион и однозначно определяется благодаря октонионам, подчиняющимся тождествам Муфанг ).

Можно показать, что элемент SO(8) может быть построен с помощью биумножений, сначала показав, что пары отражений относительно начала координат в 8-мерном пространстве соответствуют парам биумножений на единичные октонионы. Автоморфизм триальности Spin(8), описанный ниже, обеспечивает аналогичные конструкции с левыми умножениями и правыми умножениями. ^[1]

Если и , можно показать, что это эквивалентно , то есть без двусмысленности. Тройка отображений , сохраняющих эту идентичность, так что называется изотопией . Если три отображения изотопии находятся в , изотопия называется ортогональной изотопией. Если , то после вышеизложенного можно описать как произведение двойных умножений единичных октонионов, скажем . Пусть будут соответствующими произведениями левых и правых умножений на сопряженные (т.е. мультипликативные обратные) одних и тех же единичных октонионов, так что , . Простой расчет показывает, что является изотопией. В результате неассоциативности октонионов единственной другой ортогональной изотопией для является . Поскольку набор ортогональных изотопий создает покрытие 2 к 1 для , они должны быть на самом деле .${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {O} }$${\displaystyle (xy)z=1}$${\displaystyle x(yz)=1}$${\displaystyle xyz=1}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle x^{\alpha }y^{\beta }z^{\gamma }=1}$${\displaystyle \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \gamma \in \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =B_{u_{1}}...B_{u_{n}}}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {SO(8)} }$${\displaystyle \alpha =L_{\overline {u_{1}}}...L_{\overline {u_{n}}}}$${\displaystyle \beta =R_{\overline {u_{1}}}...R_{\overline {u_{n}}}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (-\alpha ,-\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$

Мультипликативные обратные октонионов являются двусторонними, что означает, что эквивалентно . Это означает, что заданная изотопия может быть переставлена ​​циклически, чтобы дать две дополнительные изотопии и . Это создает внешний автоморфизм порядка 3 для . Этот автоморфизм «троичности» является исключительным среди спиновых групп . Не существует автоморфизма триальности для , поскольку для заданного соответствующие отображения определены только однозначно с точностью до знака. ^[1]${\displaystyle xyz=1}$${\displaystyle yzx=1}$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\alpha )}$${\displaystyle (\gamma ,\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$

${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$

${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$

Его группа Вейля / Коксетера имеет 4! × 8 = 192 элемента.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\-1&0&2&0\\-1&0&0&2\end{pmatrix}}}$

• Октонионы
• Алгебра Клиффорда
• Г ₂

• Адамс, Дж. Ф. (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета , ISBN 0-226-00526-7
• Шевалле, Клод (1997), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , Собрание сочинений, т. 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2(первоначально опубликовано в 1954 году издательством Колумбийского университета )
• Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 50, Cambridge University Press , ISBN 0-521-55177-3