Исключительный изоморфизм

В математике исключительный изоморфизм , также называемый случайным изоморфизмом , — это изоморфизм между элементами a _i и b _j двух семейств, обычно бесконечных, математических объектов, который является случайным, поскольку не является примером общей модели таких изоморфизмов. ^{[примечание 1]} Эти совпадения иногда считаются пустяками, ^[1] но в других отношениях они могут привести к вытекающим явлениям, таким как исключительные объекты . ^[1] Далее совпадения организованы в соответствии со структурами, в которых они происходят.

Группы

Конечные простые группы

Исключительные изоморфизмы между сериями конечных простых групп в основном включают проективные специальные линейные группы и знакопеременные группы и следующие: ^[2]

PSL ₂ (4) ≅ PSL ₂ (5) ≅ A ₅ , наименьшая неабелева простая группа (порядок 60);
PSL ₂ (7) ≅ PSL ₃ (2), вторая по величине неабелева простая группа (порядок 168) – PSL(2,7) ;
ПСЛ ₂ (9) ≅ А ₆ ;
ПСЛ ₄ (2) ≅ А ₈ ;
PSU ₄ (2) ≅ PSp ₄ (3), между проективной специальной унитарной группой и проективной симплектической группой .

Знакопеременные группы и симметричные группы

Имеются совпадения между симметричными/переменными группами и малыми группами типа Ли / полиэдральными группами : ^[3]

S ₃ ≅ PSL ₂ (2) ≅ диэдральная группа порядка 6 ,
А ₄ ≅ ПСЛ ₂ (3),
S ₄ ≅ ПГЛ ₂ (3) ≅ ПСЛ ₂ ( Z /4),
А ₅ ≅ ПСЛ ₂ (4) ≅ ПСЛ ₂ (5),
S5 ≅ ПГЛ2 ₍ 4) ≅ ПГЛ2 ₍₅ ),
А ₆ ≅ ПСЛ ₂ (9) ≅ Сп ₄ (2)′,
С ₆ ≅ Сп ₄ (2),
А ₈ ≅ ПСЛ ₄ (2) ≅ О⁺
₆(2)′,
С ₈ ≅ О⁺
₆(2).

Все это можно объяснить систематическим образом, используя линейную алгебру (и действие S _n на аффинном n пространстве) для определения изоморфизма, идущего с правой стороны на левую сторону. (Вышеуказанные изоморфизмы для A ₈ и S ₈ связаны посредством исключительного изоморфизма SL ₄ / μ ₂ ≅ SO ₆ .)

Имеются также некоторые совпадения с симметриями правильных многогранников : знакопеременная группа A ₅ согласуется с хиральной икосаэдрической группой (которая сама по себе является исключительным объектом), а двойное покрытие знакопеременной группы A ₅ представляет собой бинарную икосаэдрическую группу .

Тривиальная группа

Тривиальная группа возникает многочисленными способами. Тривиальная группа часто опускается из начала классического семейства. Например:

C ₁ — циклическая группа порядка 1;
A ₀ ≅ A ₁ ≅ A ₂ , чередующаяся группа из 0, 1 или 2 букв;
S ₀ ≅ S ₁ , симметричная группа из 0 или 1 буквы;
GL(0, K ) ≅ SL(0, K ) ≅ PGL(0, K ) ≅ PSL(0, K ), линейные группы 0-мерного векторного пространства;
SL(1, K ) ≅ PGL(1, K ) ≅ PSL(1, K ), линейные группы одномерного векторного пространства
и многие другие.

Сферы

Сферы S ⁰ , S ¹ и S ³ допускают групповые структуры, которые можно описать многими способами:

S ⁰ ≅ Spin(1) ≅ O(1) ≅ ( Z / 2 Z ) ⁺ ≅ Z ^× , где последнее является группой единиц целых чисел;
S ¹ ≅ Spin(2) ≅ SO(2) ≅ U(1) ≅ R / Z ≅ группа круга ;
S ³ ≅ Спин(3) ≅ SU(2) ≅ Sp(1) ≅ единичные кватернионы .

Спиновые группы

В дополнение к Spin(1), Spin(2) и Spin(3), указанным выше, существуют изоморфизмы для групп спинов более высокой размерности :

Спин(4) ≅ Sp(1) × Sp(1) ≅ SU(2) × SU(2)
Спин(5) ≅ Сп(2)
Спин(6) ≅ SU(4)

Кроме того, Spin(8) имеет исключительный автоморфизм триальности порядка 3 .

Диаграммы Кокстера–Дынкина

Существуют некоторые исключительные изоморфизмы диаграмм Дынкина , дающие изоморфизмы соответствующих групп Коксетера и многогранников, реализующих симметрии, а также изоморфизмы алгебр Ли, корневые системы которых описываются теми же диаграммами. Это:

Диаграмма	классификация Дынкина	алгебра Ли	Многогранник
	А ₁ = Б ₁ = В ₁	${\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}$	—
$\конг$	А ₂ = Я ₂ (2)	—	2-симплекс — правильный 3-угольник ( равносторонний треугольник )
	БК ₂ = Я ₂ (4)	${\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}$	2-куб - это 2-крестовый многогранник - это правильный 4-угольник ( квадрат )
$\конг$	А1 × _А1 = _Д2	${\mathfrak {sl}}_{2}\oplus {\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{4}$	—
$\конг$	А ₃ = Д ₃	${\mathfrak {sl}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}$	3-симплекс — это 3-демигиперкуб ( правильный тетраэдр )

Смотрите также

Исключительный объект
Математическое совпадение , для числовых совпадений

Примечания

^ Поскольку эти серии объектов представлены по-разному, они не являются идентичными объектами (не имеют идентичных описаний), но оказываются описывающими один и тот же объект, поэтому это называют изоморфизмом, а не равенством (тождеством).

Ссылки

^ ab Wilson 2009, Глава 1: Введение
^ Уилсон 2009, Глава 1: Введение
^ Уилсон 2009, Глава 3

Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012[www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html 2007 препринт]{{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[1] Поскольку эти серии объектов представлены по-разному, они не являются идентичными объектами (не имеют идентичных описаний), но оказываются описывающими один и тот же объект, поэтому это называют изоморфизмом, а не равенством (тождеством).

[FOOTNOTEWilson2009[httpwwwmathsqmulacuk~rawfsgs_filesintrops_Chapter_1:_Introduction]-2] Wilson 2009, Глава 1: Введение

[FOOTNOTEWilson2009[httpswebarchiveorgweb20070824011953httpswwwmathsqmulacuk~rawfsgs_filesintrops_Chapter_1:_Introduction]-3] Уилсон 2009, Глава 1: Введение

[FOOTNOTEWilson2009Chapter_3-4] Уилсон 2009, Глава 3