Расширенная категория

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Enriched category" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2019) (Learn how and when to remove this message)

В теории категорий , разделе математики , обогащенная категория обобщает идею категории , заменяя hom-множества объектами из общей моноидальной категории . Это мотивируется наблюдением, что во многих практических приложениях hom-множество часто имеет дополнительную структуру, которую следует учитывать, например, быть векторным пространством морфизмов или топологическим пространством морфизмов. В обогащенной категории множество морфизмов (hom-множество), связанное с каждой парой объектов, заменяется объектом из некоторой фиксированной моноидальной категории «hom-объектов» . Для того чтобы эмулировать (ассоциативную) композицию морфизмов в обычной категории, гомокатегория должна иметь средства для составления гомообъектов ассоциативным образом: то есть должна быть бинарная операция над объектами, дающая нам по крайней мере структуру моноидальной категории , хотя в некоторых контекстах операция может также быть коммутативной и, возможно, также иметь правый сопряженный (то есть делая категорию симметричной моноидальной или даже симметричной замкнутой моноидальной соответственно). ^{[ требуется ссылка ]}

Таким образом, обогащенная теория категорий охватывает в рамках одной и той же структуры широкий спектр структур, включая

• обычные категории, где hom-set несет дополнительную структуру помимо того, чтобы быть множеством. То есть, есть операции или свойства морфизмов, которые должны соблюдаться композицией (например, существование 2-клеток между морфизмами и их горизонтальная композиция в 2-категории или операция сложения морфизмов в абелевой категории )
• категориально-подобные сущности, которые сами по себе не имеют никакого понятия об индивидуальном морфизме, но чьи гомо-объекты имеют схожие композиционные аспекты (например, предпорядки , где правило композиции обеспечивает транзитивность, или метрические пространства Ловера , где гомо-объекты являются числовыми расстояниями, а правило композиции обеспечивает неравенство треугольника).

В случае, когда категория гомообъектов оказывается категорией множеств с обычным декартовым произведением, определения обогащенной категории, обогащенного функтора и т. д. сводятся к исходным определениям из обычной теории категорий.

Обогащенная категория с hom-объектами из моноидальной категории M называется обогащенной категорией над M или обогащенной категорией в M , или просто M-категорией . Из-за предпочтения Маклейна к букве V при обозначении моноидальной категории обогащенные категории иногда также обычно называют V-категориями .

Пусть ( M , ⊗, I , α , λ , ρ ) — моноидальная категория . Тогда обогащенная категория C (альтернативно, в ситуациях, когда выбор моноидальной категории должен быть явным, категория, обогащенная над M , или M - категория ), состоит из

• класс ob ( C ) объектов C ,​ ​
• объект C ( a , b ) из M для каждой пары объектов a , b из C , используемый для определения стрелки в C как стрелки в M ,${\displaystyle f:a\rightarrow b}$${\displaystyle f:I\rightarrow C(a,b)}$
• стрелка id _a  : I → C ( a , a ) в M , обозначающая идентичность для каждого объекта a в C , и
• стрелка ° _abc  : C ( b , c ) ⊗ C ( a , b ) → C ( a , c ) в M , обозначающая композицию для каждой тройки объектов a , b , c в C , используемая для определения композиции и в C вместе с тремя коммутирующими диаграммами, обсуждаемыми ниже.${\displaystyle f:a\rightarrow b}$${\displaystyle g:b\rightarrow c}$${\displaystyle g\circ _{\textbf {C}}f={^{\circ }}_{abc}(g\otimes f)}$

Первая диаграмма выражает ассоциативность композиции:

То есть требование ассоциативности теперь берет на себя ассоциатор моноидальной категории M.

Для случая, когда M — категория множеств , а (⊗, I , α , λ , ρ ) — моноидальная структура (×, {•}, ...), заданная декартовым произведением , конечным одноточечным множеством и каноническими изоморфизмами, которые они индуцируют, то каждое C ( a , b ) — это множество, элементы которого можно рассматривать как «индивидуальные морфизмы» C , в то время как °, теперь уже функция, определяет, как составляются последовательные морфизмы. В этом случае каждый путь, ведущий к C ( a , d ) на первой диаграмме, соответствует одному из двух способов составления трех последовательных индивидуальных морфизмов a → b → c → d , т. е. элементов из C ( a , b ) , C ( b , c ) и C ( c , d ) . Коммутативность диаграммы тогда является просто утверждением, что оба порядка композиции дают один и тот же результат, точно такой, как требуется для обычных категорий.

Новым здесь является то, что вышеизложенное выражает требование ассоциативности без какой-либо явной ссылки на индивидуальные морфизмы в обогащенной категории C — опять же, эти диаграммы предназначены для морфизмов в моноидальной категории M , а не в C — таким образом, делая концепцию ассоциативности композиции осмысленной в общем случае, когда гомообъекты C ( a , b ) являются абстрактными, а сама C даже не нуждается в каком-либо понятии индивидуального морфизма.

Представление о том, что обычная категория должна иметь тождественные морфизмы, заменяется второй и третьей диаграммами, которые выражают тождество в терминах левых и правых униторов :

и

Возвращаясь к случаю, когда M — это категория множеств с декартовым произведением, морфизмы id _a : I → C ( a , a ) становятся функциями из одноточечного множества I и должны затем для любого заданного объекта a идентифицировать конкретный элемент каждого множества C ( a , a ) , что мы можем тогда рассматривать как «тождественный морфизм для a в C ». Коммутативность последних двух диаграмм тогда является утверждением, что композиции (как определено функциями °), включающие эти выделенные индивидуальные «тождественные морфизмы в C », ведут себя точно так же, как в соответствии с правилами тождества для обычных категорий.

Обратите внимание, что здесь упоминается несколько различных понятий «идентичности»:

• моноидальный тождественный объект I множества M , являющийся тождеством для ⊗ только в моноидно -теоретическом смысле, и даже тогда только с точностью до канонического изоморфизма ( λ , ρ ) .
• тождественный морфизм 1 _{C ( a , b )}  : C ( a , b ) → C ( a , b ), который M имеет для каждого из своих объектов в силу того, что он является (по крайней мере) обычной категорией.
• обогащенное тождество категории id _a  : I → C ( a , a ) для каждого объекта a в C , которое снова является морфизмом M , который, даже в случае, когда считается , что C имеет свои собственные индивидуальные морфизмы, не обязательно идентифицирует конкретный объект.

• Обычные категории — это категории, обогащенные относительно ( Set , ×, {•}), категории множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции, как отмечено выше.
• 2-Категории — это категории, обогащенные над Cat , категорией малых категорий , с моноидальной структурой, заданной декартовым произведением. В этом случае 2-клетки между морфизмами a → b и правило вертикальной композиции, связывающее их, соответствуют морфизмам обычной категории C ( a ,  b ) и ее собственному правилу композиции.
• Локально малые категории — это категории, обогащенные относительно ( SmSet , ×), категории малых множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции. (Локально малая категория — это категория, чьи hom-объекты являются малыми множествами.)
• Локально конечные категории , по аналогии, являются категориями, обогащенными относительно ( FinSet , ×), категории конечных множеств с декартовым произведением в качестве моноидальной операции.
• Если C — замкнутая моноидальная категория , то C обогащается сама по себе.
• Предварительно упорядоченные множества — это категории, обогащенные по некоторой моноидальной категории 2 , состоящие из двух объектов и одной нетождественной стрелки между ними, которую мы можем записать как ЛОЖЬ → ИСТИНА , конъюнкцию как моноидальную операцию и ИСТИНА как ее моноидальную идентичность. Гом-объекты 2 ( a ,  b ) затем просто отрицают или подтверждают конкретное бинарное отношение на данной паре объектов ( a ,  b ); ради более привычной нотации мы можем записать это отношение как a ≤ b . Существование композиций и идентичности, требуемых для категории, обогащенной по 2 , немедленно переводится в следующие аксиомы соответственно

b ≤ c и a ≤ b ⇒ a ≤ c (транзитивность)

ИСТИНА ⇒ a ≤ a (рефлексивность)

которые являются ничем иным, как аксиомами для ≤, являющимися предпорядком. И поскольку все диаграммы в 2 коммутируют, это единственное содержание аксиом обогащенной категории для категорий, обогащенных над 2 .

• Обобщенные метрические пространства Уильяма Ловера , также известные как псевдоквазиметрические пространства , являются категориями, обогащенными над неотрицательными расширенными действительными числами R ^+∞ , где последним дана обычная структура категории через обратный ее обычный порядок (т. е. существует морфизм r → s тогда и только тогда, когда r ≥ s ) и моноидальная структура через сложение (+) и ноль (0). Гом-объекты R ^+∞ ( a , b ) по сути являются расстояниями d( a ,  b ), а существование композиции и тождества переводится в

d( b ,  c ) + d( a ,  b ) ≥ d( a ,  c ) (неравенство треугольника)

0 ≥ d( а ,  а )

• Категории с нулевыми морфизмами — это категории, обогащенные относительно ( Set* , ∧ ), категории точечных множеств с произведением smash в качестве моноидальной операции; особая точка гомо-объекта Hom( A ,  B ) соответствует нулевому морфизму из A в B .
• Категория Ab абелевых групп и категория R-Mod модулей над коммутативным кольцом , а также категория Vect векторных пространств над заданным полем обогащаются над собой, где морфизмы наследуют алгебраическую структуру «поточечно». В более общем смысле предаддитивные категории — это категории, обогащенные над ( Ab , ⊗) с тензорным произведением в качестве моноидальной операции (рассматривая абелевы группы как Z -модули).

Если существует моноидальный функтор из моноидальной категории M в моноидальную категорию N , то любая категория, обогащенная над M , может быть переинтерпретирована как категория, обогащенная над N . Каждая моноидальная категория M имеет моноидальный функтор M ( I , –) в категорию множеств, поэтому любая обогащенная категория имеет базовую обычную категорию. Во многих примерах (таких как приведенные выше) этот функтор является точным , поэтому категория, обогащенная над M , может быть описана как обычная категория с определенной дополнительной структурой или свойствами.

Обогащенный функтор — это соответствующее обобщение понятия функтора на обогащенные категории. Обогащенные функторы — это отображения между обогащенными категориями, которые уважают обогащенную структуру.

Если C и D являются M -категориями (то есть категориями, обогащенными над моноидальной категорией M ), то M -обогащенный функтор T : C → D является отображением, которое сопоставляет каждому объекту C объект D и для каждой пары объектов a и b в C обеспечивает морфизм в M T _ab  : C ( a , b ) → D ( T ( a ), T ( b )) между hom-объектами C и D (которые являются объектами в M ), удовлетворяющий обогащенным версиям аксиом функтора, а именно сохранению тождества и композиции.

Поскольку hom-объекты не обязательно должны быть множествами в обогащенной категории, нельзя говорить о конкретном морфизме. Больше нет понятия тождественного морфизма или конкретной композиции двух морфизмов. Вместо этого морфизмы из единицы в hom-объект следует рассматривать как выбор тождества, а морфизмы из моноидального произведения следует рассматривать как композицию. Обычные функториальные аксиомы заменяются соответствующими коммутативными диаграммами, включающими эти морфизмы.

В деталях, можно сказать, что диаграмма

коммутирует, что равносильно уравнению

${\displaystyle T_{aa}\circ \operatorname {id} _{a}=\operatorname {id} _{T(a)},}$

где I — единичный объект M . Это аналогично правилу F (id _a ) = id _{F ( a )} для обычных функторов. Кроме того, требуется, чтобы диаграмма

коммутируют, что аналогично правилу F ( fg )= F ( f ) F ( g ) для обычных функторов.

• Внутренняя категория
• спряжение Исбелла