Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями , которые сохраняют моноидальную структуру. Более конкретно, моноидальный функтор между двумя моноидальными категориями состоит из функтора между категориями, а также двух отображений когерентности — естественного преобразования и морфизма, которые сохраняют моноидальное умножение и единицу соответственно. Математикам требуются эти отображения когерентности для удовлетворения дополнительных свойств в зависимости от того, насколько строго они хотят сохранить моноидальную структуру; каждое из этих свойств приводит к немного отличающемуся определению моноидальных функторов

• Отображения когерентности нестрогих моноидальных функторов не удовлетворяют никаким дополнительным свойствам; они не обязательно обратимы.
• Отображения когерентности сильных моноидальных функторов обратимы.
• Отображения когерентности строгих моноидальных функторов являются тождественными отображениями.

Хотя мы здесь различаем эти определения, авторы могут называть любой из них просто моноидальным функтором .

Пусть и будут моноидальными категориями. Нестрогий моноидальный функтор из в (который также можно назвать просто моноидальным функтором) состоит из функтора вместе с естественным преобразованием${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {D}}, \ Bullet, I _ {\ mathcal {D}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}$

между функторами и морфизмом${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}$,

называемые картами когерентности или структурными морфизмами , которые таковы, что для каждых трех объектов и диаграмм${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle С}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

,

   и   

коммутируют в категории . Выше различные естественные преобразования, обозначенные с помощью , являются частями моноидальной структуры на и . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \альфа,\ро,\лямбда}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• Двойственный моноидальному функтору — это комоноидальный функтор ; это моноидальный функтор, отображения когерентности которого обращены. Комоноидальные функторы также могут называться опмоноидальными, колакс моноидальными или оплакс моноидальными функторами.
• Сильный моноидальный функтор — это моноидальный функтор, отображения когерентности которого обратимы.${\displaystyle \phi _{A,B},\phi }$
• Строгий моноидальный функтор — это моноидальный функтор, отображения когерентности которого являются тождествами.
• Сплетенный моноидальный функтор — это моноидальный функтор между сплетенными моноидальными категориями (сплетения обозначаются ), такой что следующая диаграмма коммутативна для каждой пары объектов A , B в  :${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Симметричный моноидальный функтор — это сплетенный моноидальный функтор, область определения и кодомен которого являются симметричными моноидальными категориями .

• Базовый функтор из категории абелевых групп в категорию множеств. В этом случае отображение отправляет (a, b) в ; отображение отправляет в 1.${\displaystyle U\двоеточие (\mathbf {Ab},\otimes _{\mathbf {Z}},\mathbf {Z})\rightarrow (\mathbf {Set},\times,\{\ast \})}$${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$${\displaystyle a\otimes b}$${\displaystyle \phi \ двоеточие \{*\}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle \аст}$
• Если — (коммутативное) кольцо, то свободный функтор продолжается до сильно моноидального функтора (и также, если — коммутативно).${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$${\displaystyle R}$
• Если — гомоморфизм коммутативных колец, то функтор ограничения моноидален, а функтор индукции сильно моноидален.${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$
• Важным примером симметричного моноидального функтора является математическая модель топологической квантовой теории поля . Пусть — категория кобордизмов n -1,n -мерных многообразий с тензорным произведением, заданным дизъюнктным объединением, а единица — пустое многообразие. Топологическая квантовая теория поля в размерности n — это симметричный моноидальный функтор${\displaystyle \mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }}$${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).}$
• Гомологический функтор моноиден, как и через отображение .${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$

Если и являются замкнутыми моноидальными категориями с внутренними hom-функторами (мы опускаем нижние индексы для удобства чтения), то существует альтернативная формулировка ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}$

ψ _AB  : F ( А ⇒ B ) → FA ⇒ FB

φ _AB обычно используется в функциональном программировании . Связь между ψ _AB и φ _AB проиллюстрирована на следующих коммутативных диаграммах:

• Если — моноидный объект в , то — моноидный объект в . ^[2]${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$${\displaystyle D}$

Предположим, что функтор слева сопряжен с моноидальным . Тогда имеет комоноидальную структуру, индуцированную , определяемую формулой${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,m)}$${\displaystyle (G,n)}$

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

и

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$.

Если индуцированная структура на является сильной, то единица и коединица присоединения являются моноидальными естественными преобразованиями , а присоединение называется моноидальным присоединением ; и наоборот, левый сопряженный элемент моноидального присоединения всегда является сильным моноидальным функтором.${\displaystyle F}$

Аналогично, правый сопряженный элемент к комоноидальному функтору является моноидальным, а правый сопряженный элемент комоноидального сопряжения является сильным моноидальным функтором.

• Моноидальное естественное преобразование

• Келли, Г. Макс (1974). «Доктринальное присоединение». Категория Семинар . Заметки лекций по математике. Том 420. Springer. С.  257– 280. doi :10.1007/BFb0063105. ISBN 978-3-540-37270-7.
• Перроне, Паоло (2024). Начальная теория категорий. World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.