Малое множество (теория категорий)

В теории категорий малое множество — это множество в фиксированной вселенной множеств (в том смысле, в каком слово «вселенная» используется в математике в целом). Таким образом, категория малых множеств — это категория всех множеств, которые кто-то хочет рассмотреть. Это используется, когда кто-то не желает беспокоиться о теоретико-множественных вопросах о том, что считается множеством, а что нет, которые возникли бы, если бы кто-то попытался говорить о категории «все множества».

Малый набор не следует путать с малой категорией , в которой совокупность стрелок (и, следовательно, совокупность объектов) является множеством.

В других вариантах оснований, таких как вселенные Гротендика, существуют как множества, принадлежащие вселенной, называемые «малыми множествами», так и множества, которые не принадлежат, такие как сама вселенная, «большие множества». Мы получаем промежуточное понятие умеренного множества: подмножество вселенной, которое может быть малым или большим. Каждое малое множество является умеренным, но не наоборот.

Поскольку во многих случаях выбор фундаментов не имеет значения, имеет смысл всегда говорить «малый набор» для большей выразительности, даже если имеется в виду фундамент, в котором все наборы малы.

Аналогично, малая семья — это семья, индексированная малым множеством; аксиома замещения (если она применима в рассматриваемом основании) тогда гласит, что образ семьи также мал.

• Категория наборов

• S. Mac Lane, Ieke Moerdijk , Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов , ISBN  0-387-97710-4 , ISBN 3-540-97710-4 , глава «Категорические предварительные сведения» 
• Небольшой набор в n Lab