Соленоид (математика)

На этой странице обсуждается класс топологических групп. Для обернутой петли провода см. Соленоид .

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем по теории групп
Конечные группы Циклическая группа Z n Симметричная группа S n Переменная группа A n Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема Холла p -группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический
Дискретные группы Решетки Целые числа (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Бесплатная группа Модульные группы ПСЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) СЛ(2,${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Евклидово E( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Симплектический Sp( n ) Г 2 Ф 4 Е 6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В математике соленоид — это компактное связное топологическое пространство (т.е. континуум ), которое может быть получено как обратный предел обратной системы топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

${\displaystyle f_{i}:S_{i+1}\to S_{i}\quad \forall i\geq 0}$

где каждое из них является окружностью , а f _i — отображение, равномерно оборачивающее окружность за раз ( ) вокруг окружности . ^{[1] : Гл. 2 Определение. (10.12)} Это построение можно осуществить геометрически в трехмерном евклидовом пространстве R ³ . Соленоид — это однородный однородный неразложимый континуум , имеющий структуру абелевой компактной топологической группы .${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i+1}}$${\displaystyle n_{i+1}}$${\displaystyle n_{i+1}\geq 2}$${\displaystyle S_{i}}$

Соленоиды были впервые введены Виеторисом для случая ^[2] и ван Данцигом для случая, когда фиксировано. ^[3] Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор , или аттрактор Смейла–Вильямса , и образует важный пример в теории гиперболических динамических систем .${\displaystyle n_{i}=2}$${\displaystyle n_{i}=n}$${\displaystyle n\geq 2}$

Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы вложенных полноторий в R ³ .

Зафиксируем последовательность натуральных чисел { n _i }, n _i ≥ 2. Пусть T ₀ = S ¹ × D — полноторий . Для каждого i ≥ 0 выберем полноторий T _{i +1} , который продольно обернут n _i раз внутри полнотора T _i . Тогда их пересечение

${\displaystyle \Lambda =\bigcap _{i\geq 0}T_{i}}$

гомеоморфен соленоиду , построенному как обратный предел системы окружностей с отображениями, определяемыми последовательностью { n _i }.

Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивеном Смейлом в качестве примера расширяющегося аттрактора в теории гладких динамических систем. Обозначим угловую координату на окружности S ¹ через t (она определена mod 2π) и рассмотрим комплексную координату z на двумерном единичном круге D . Пусть f — отображение полнотория T = S ¹ × D в себя, заданное явной формулой

${\displaystyle f(t,z)=\left(2t,{\tfrac {1}{4}}z+{\tfrac {1}{2}}e^{it}\right).}$

Это отображение является гладким вложением T в себя, сохраняющим слоение меридиональными дисками (константы 1/2 и 1/4 несколько произвольны, но существенно, что 1/4 < 1/2 и 1/4 + 1/2 < 1). Если представить T как резиновую трубку, отображение f растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды обертывает деформированную трубку внутри T с закручиванием, но без самопересечений. Гиперболическое множество Λ дискретной динамической системы ( T , f ) является пересечением последовательности вложенных полноторий, описанной выше, где T _i - образ T при i -й итерации отображения f . Это множество является одномерным (в смысле топологической размерности ) аттрактором , а динамика f на Λ обладает следующими интересными свойствами:

• Меридиональные диски — это устойчивые многообразия , каждое из которых пересекает Λ по канторовскому множеству.
• Периодические точки f плотны в Λ​
• отображение f топологически транзитивно на Λ

Общая теория соленоидов и расширяющихся аттракторов, не обязательно одномерных, была разработана Р. Ф. Уильямсом и включает в себя проективную систему бесконечного числа копий компактного разветвленного многообразия вместо окружности, вместе с расширяющимся самопогружением .

В тороидальных координатах с радиусом соленоид можно параметризовать следующим образом : где${\displaystyle R}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle \zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {1}{n_{1}\cdots n_{k}}},\quad r_{k}=R\delta _{1}\cdots \delta _{k}}$

Здесь, регулируемые параметры формы, с ограничением . В частности, работает.${\displaystyle \delta _{k}}$${\displaystyle 0<\delta <1-{\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n_{k}}}}}}$${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2n_{k}}}}$

Пусть — соленоид, построенный таким образом, тогда топология соленоида — это просто топология подмножества, индуцированная евклидовой топологией на .${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Поскольку параметризация является биективной, мы можем оттянуть топологию на , что делает себя соленоидом. Это позволяет нам явно построить обратные предельные отображения:${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle g_{k}:\mathbb {R} \to S_{k},\quad g_{k}(t)=(r,\theta ,\zeta ){\text{ in toroidal coordinates, where }}\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{k}r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

Рассматриваемый как набор, соленоид представляет собой просто континуум Кантора из окружностей, соединенных вместе определенным образом. Это подсказывает нам конструкцию с помощью символической динамики , где мы начинаем с окружности как «гоночной трассы» и добавляем «одометр», чтобы отслеживать, на какой окружности мы находимся.

Определим как соленоид. Далее, определим сложение на одометре , так же как p-адические числа. Далее, определим сложение на соленоиде с помощью Топология на соленоиде генерируется базисом, содержащим подмножества , где — любой открытый интервал в , а — множество всех элементов , начиная с начального сегмента .${\displaystyle S=S^{1}\times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}\to \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$${\displaystyle +:\mathbb {R} \times S\to S}$$${\displaystyle r+(\theta ,n)=((r+\theta \mod 1),\lfloor r+\theta \rfloor +n)}$$${\displaystyle S'\times Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$${\displaystyle (m_{1},...,m_{k})}$

Соленоиды — это компактные метризуемые пространства , которые связны , но не локально связны или не связаны путями . Это отражается в их патологическом поведении по отношению к различным теориям гомологии , в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальных комплексов . В гомологии Чеха можно построить неточную длинную гомологическую последовательность, используя соленоид. В теориях гомологии в стиле Стинрода ^[4] 0-я группа гомологии соленоида может иметь довольно сложную структуру, даже если соленоид является связным пространством.

• Протор , класс топологических групп, включающий соленоиды
• Двойственность Понтрягина
• Обратный предел
• p-адическое число
• Проконечное целое число

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (January 2012) (Learn how and when to remove this message)

• Д. ван Данциг, Ueber topologisch homogene Kontinua , Fund. Математика. 15 (1930), стр. 102–125.
• «Соленоид», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кларк Робинсон, Динамические системы: Устойчивость, Символическая динамика и хаос , 2-е издание, CRC Press, 1998 ISBN 978-0-8493-8495-0 
• С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы, Бюлл. Американского математического общества , 73 (1967), 747 – 817.
• Л. Виеторис, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen , Math. Энн. 97 (1927), стр. 454–472.
• Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы, Publ. Math. IHÉS, т. 43 (1974), стр. 169–203

• Semmes, Stephen (12 января 2012 г.), Некоторые замечания о соленоидах , arXiv : 1201.2647 , Bibcode : 2012arXiv1201.2647S