Тороидальные и полоидальные координаты

Термины тороидальный и полоидальный относятся к направлениям относительно тора отсчета. Они описывают трехмерную систему координат , в которой полоидальное направление следует небольшому круговому кольцу вокруг поверхности, в то время как тороидальное направление следует большому круговому кольцу вокруг тора, окружая центральную пустоту.

Самое раннее использование этих терминов, упомянутое в Оксфордском словаре английского языка, принадлежит Уолтеру М. Эльзассеру (1946) в контексте генерации магнитного поля Земли токами в ядре, при этом «тороидальный» означает параллельный линиям постоянной широты , а «полоидальный» — направленный в направлении магнитного поля (т. е. к полюсам ).

В OED также зафиксировано более позднее использование этих терминов в контексте тороидально ограниченной плазмы, как это встречается в термоядерном синтезе с магнитным удержанием . В контексте плазмы тороидальное направление — это длинный путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается как z в приближении пластины или как ζ или φ в магнитных координатах; полоидальное направление — это короткий путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается как y в приближении пластины или как θ в магнитных координатах. (Третье направление, нормальное к магнитным поверхностям, часто называют «радиальным направлением», обозначаемым как x в приближении пластины и по-разному как ψ , χ , r , ρ или s в магнитных координатах.)

В качестве простого примера из физики магнитно-удерживаемой плазмы рассмотрим осесимметричную систему с круговыми концентрическими поверхностями магнитного потока радиуса (грубое приближение к геометрии магнитного поля в раннем токамаке , но топологически эквивалентное любой тороидальной системе магнитного удержания с вложенными поверхностями потока) и обозначим тороидальный угол как , а полоидальный угол как . Тогда тороидальная/полоидальная система координат соотносится со стандартными декартовыми координатами с помощью следующих правил преобразования:${\displaystyle r}$${\displaystyle \дзета}$${\displaystyle \тета}$

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta}(R_{0}+r\cos \theta)\sin \zeta}$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

где .${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$

Геометрически естественным выбором является взятие , задавая тороидальное и полоидальное направления, показанные стрелками на рисунке выше, но это делает левостороннюю криволинейную систему координат. Поскольку обычно предполагается при настройке координат потока для описания магнитно-удерживаемой плазмы, что набор образует правостороннюю систему координат, , мы должны либо обратить полоидальное направление, взяв , либо обратить тороидальное направление, взяв . Оба варианта используются в литературе.${\displaystyle s_{\theta}=s_{\zeta}=+1}$${\displaystyle г,\тета,\дзета}$${\displaystyle г,\тета,\дзета}$${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$${\displaystyle s_{\theta}=-1,s_{\zeta}=+1}$${\displaystyle s_{\theta}=+1,s_{\zeta}=-1}$

Для изучения движения отдельных частиц в тороидально ограниченных плазменных устройствах необходимо знать векторы скорости и ускорения. Учитывая естественный выбор , единичные векторы тороидальной и полоидальной систем координат можно выразить как:${\displaystyle s_{\theta}=s_{\zeta}=+1}$${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}} \quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

Согласно декартовым координатам. Вектор положения выражается как:

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{ \тета }}$

Вектор скорости тогда определяется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r {\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+ {\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

а вектор ускорения равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} = {}&\left({\ddot {r}}-r {\dot {\theta }}^{2}-r{\ dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^ {2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{ выровнено}}}$

Найдите термины «тороидальный»  и «полоидальный» в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Тороидальные координаты
• Тор
• Зональный и полоидальный
• Полоидально-тороидальное разложение
• Зональный поток (плазма)

• "Oxford English Dictionary Online". poloidal . Oxford University Press . Получено 10 августа 2007 г.
• Elsasser, WM (1946). "Эффекты индукции в земном магнетизме, часть I. Теория". Phys. Rev. 69 ( 3–4): 106–116. doi :10.1103/PhysRev.69.106 . Получено 10 августа 2007 г.