Гиперболическое множество

В теории динамических систем говорят , что подмножество Λ гладкого многообразия M имеет гиперболическую структуру относительно гладкого отображения f, если его касательное расслоение можно разбить на два инвариантных подрасслоения , одно из которых сжимается, а другое расширяется под действием f относительно некоторой римановой метрики на M. Аналогичное определение применимо к случаю потоков .

В частном случае, когда все многообразие M является гиперболическим, отображение f называется диффеоморфизмом Аносова . Динамика f на гиперболическом множестве, или гиперболическая динамика , проявляет черты локальной структурной устойчивости и была хорошо изучена, см. Аксиома A.

Пусть M — компактное гладкое многообразие , f : M → M — диффеоморфизм , а Df : TM → TM — дифференциал f . F - инвариантное подмножество Λ множества M называется гиперболическим или имеет гиперболическую структуру , если ограничение на Λ касательного расслоения M допускает разбиение на сумму Уитни двух Df -инвариантных подрасслоений, называемых стабильным расслоением и нестабильным расслоением и обозначаемых E ^s и E ^u . Относительно некоторой римановой метрики на M ограничение Df на E ^s должно быть сжатием, а ограничение Df на E ^u должно быть расширением. Таким образом, существуют константы 0 < λ <1 и c >0 такие, что

${\displaystyle T_{\Lambda}M=E^{s}\oplus E^{u}}$

и

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}}$и для всех${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}}$${\displaystyle x\in \Лямбда}$

и

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$для всех и${\displaystyle v\in E^{s}}$${\displaystyle n>0}$

и

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|}$для всех и .${\displaystyle v\in E^{u}}$${\displaystyle n>0}$

Если Λ гиперболическая, то существует риманова метрика, для которой c  = 1 — такая метрика называется адаптированной .

• Гиперболическая точка равновесия p — это неподвижная точка или точка равновесия функции f , такая, что ( Df ) _p не имеет собственного значения с абсолютным значением 1. В этом случае Λ = { p }.
• В более общем случае периодическая орбита функции f с периодом n является гиперболической тогда и только тогда, когда Df ⁿ в любой точке орбиты не имеет собственного значения с абсолютным значением 1, и достаточно проверить это условие в одной точке орбиты.

• Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Брин, Майкл; Штук, Гарретт (2002). Введение в динамические системы . Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.

В данной статье использованы материалы из Hyperbolic Set на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .