Правильный многоугольник

Правильный многоугольник

Ребра и вершины	${\displaystyle n}$
Символ Шлефли	${\displaystyle \{n\}}$
Диаграмма Коксетера–Дынкина
Группа симметрии	D n , порядок 2n
Двойной полигон	Самодвойственный
Площадь (с длиной стороны )${\displaystyle с}$	${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Внутренний угол	${\displaystyle (n-2)\times {\frac {\pi }{n}}}$
Сумма внутренних углов	${\displaystyle \left(n-2\right)\times {\pi }}$
Диаметр вписанной окружности	${\displaystyle d_{\text{IC}}=s\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Диаметр описанной окружности	${\displaystyle d_{\text{OC}}=s\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это многоугольник , который является прямым равноугольным (все углы равны по размеру) и равносторонним (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть либо выпуклыми , либо звездчатыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямой линии ), если длина ребра фиксирована.

Эти свойства применимы ко всем правильным многоугольникам, как выпуклым, так и звездчатым :

• Правильный n -сторонний многоугольник имеет вращательную симметрию порядка n .

• Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. являются конциклическими точками. То есть правильный многоугольник является циклическим многоугольником .

• Вместе со свойством равной длины сторон это подразумевает, что каждый правильный многоугольник также имеет вписанную или вписанную окружность , которая касается каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник является касательным многоугольником .

• Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители n являются различными простыми числами Ферма . (См. конструируемый многоугольник .)

• Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью оригами тогда и только тогда, когда для некоторого , где каждое отличное число является простым числом Пьерпонта . ^[1]${\displaystyle n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p_{i}}$

Группа симметрии n -стороннего правильного многоугольника — это диэдральная группа D _n (порядка 2 n ): D ₂ , D ₃ , D ₄ , ... Она состоит из вращений в C _n , а также симметрии отражения относительно n осей, проходящих через центр. Если n четное, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечетное, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Все правильные простые многоугольники (простой многоугольник — это такой, который нигде не пересекает себя) являются выпуклыми. Те, которые имеют одинаковое число сторон, также подобны .

n - сторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается символом Шлефли . Для мы имеем два вырожденных случая:${\displaystyle \{n\}}$${\displaystyle n<3}$

Моногон {1}

Вырождается в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не считают моногон истинным многоугольником, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не является структурой какого-либо абстрактного многоугольника .)

Дигон {2}; «двойной отрезок»

Вырождается в обычном пространстве . (Некоторые авторитеты ^{[ обидные слова ]} не считают двуугольник настоящим многоугольником из-за этого.)

В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких обстоятельствах принято опускать префикс «правильный». Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет величину:

${\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}}$степени;

${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi {n}}}$радианы; или

${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}$полные обороты ,

и каждый внешний угол (т.е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру в градусах, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радиан или одному полному обороту.${\displaystyle {\tfrac {360}{n}}}$

Когда n стремится к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. Для правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагон ) внутренний угол равен 179,964°. По мере увеличения числа сторон внутренний угол может очень близко приблизиться к 180°, а форма многоугольника приблизиться к форме круга. Однако многоугольник никогда не может стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180°, так как окружность фактически станет прямой линией (см. апейрогон ). По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.

Для число диагоналей равно ; т.е. 0, 2, 5, 9, ..., для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, ... . Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... частей. ^[a]${\displaystyle n>2}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-3)}$

Для правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса , произведение расстояний от данной вершины до всех остальных вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .${\displaystyle 1}$

Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d _i от произвольной точки плоскости до вершин имеем ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.}$

Для более высоких степеней расстояний от произвольной точки плоскости до вершин правильного -угольника, если${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

тогда ^[3]

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

и

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

где — положительное целое число, меньшее .${\displaystyle м}$${\displaystyle n}$

Если — расстояние от произвольной точки плоскости до центра тяжести правильного -угольника с радиусом описанной окружности , то ^[3]${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n{\Biggl (}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}{\Biggr )}}$,

где = 1, 2, …, .${\displaystyle м}$${\displaystyle n-1}$

Для правильного n- угольника сумма перпендикулярных расстояний от любой внутренней точки до n сторон равна n раз апофеме ^{[4] : стр. 72} (апофема — это расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. ^{[5] [6]}

Радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одной из вершин связан с длиной стороны s или с апофемой a соотношением

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

Для конструктивных многоугольников существуют алгебраические выражения для этих отношений (см. Бицентрический многоугольник § Правильные многоугольники ) .

Сумма перпендикуляров из вершин правильного n- угольника на любую прямую, касательную к описанной окружности, равна n- кратному радиусу описанной окружности. ^{[4] : стр. 73}

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n- угольника до любой точки его описанной окружности равна 2 nR ² , где R — радиус описанной окружности. ^{[4] : стр. 73}

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n- угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR ² − ⁠1/4⁠ ns ² , где s — длина стороны, а R — радиус описанной окружности. ^{[4] : стр. 73}

Если — расстояния от вершин правильного -угольника до любой точки его описанной окружности, то ^[3]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на или ⁠${\displaystyle {\tbinom {m}{2}}}$1/2⁠ m ( m − 1) параллелограммов. Эти мозаики содержатся как подмножества вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . ^[7] В частности, это верно для любого правильного многоугольника с четным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших многоугольников.

Примеры разрезов для выбранных правильных многоугольников с четными сторонами

2 м	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Изображение
Ромбы	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

Площадь A выпуклого правильного n -угольника со стороной s , радиусом описанной окружности R , апофемой a и периметром p вычисляется по формуле ^{[8] [9]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}nsa\\&={\tfrac {1}{2}}pa\\&={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)\end{aligned}}}$$

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 это дает следующую таблицу: ^[b] ( Поскольку при${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$${\displaystyle x\rightarrow 0}$ , площадь при стремится к при увеличивается.)${\displaystyle s=1}$${\displaystyle n^{2}/4\pi }$${\displaystyle n}$

Количество сторон	Площадь при стороне s = 1		Площадь, когда радиус описанной окружности R = 1			Площадь при апофеме a = 1
	Точный	Приближение	Точный	Приближение	Относительно площади описанной окружности	Точный	Приближение	Относительно площади вписанной окружности
н	${\displaystyle {\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$		${\displaystyle {\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$
3	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}}$	0,433012702	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}}$	1.299038105	0,4134966714	⁠ ⁠${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0,6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	1.720477401	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	2.377641291	0,7568267288	⁠ ⁠${\displaystyle 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	3.632712640	1.156328347
6	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2.598076211	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2.598076211	0,8269933428	⁠ ⁠${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0,8710264157		3.371022333	1.073029735
8	⁠ ⁠${\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}$	4.828427125	⁠ ⁠${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$	2.828427125	0,9003163160	⁠ ⁠${\displaystyle 8\left({\sqrt {2}}-1\right)}$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0,9207254290		3.275732109	1.042697914
10	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	7.694208843	⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	2.938926262	0,9354892840	⁠ ⁠${\displaystyle 2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0,9465022440		3.229891423	1.028106371
12	⁠ ⁠${\displaystyle 6+3{\sqrt {3}}}$	11.19615242	3	3.000000000	0,9549296586	⁠ ⁠${\displaystyle 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0,9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0,9667663859		3.195408642	1.017130161
15	[с]	17.64236291	[г]	3.050524822	0,9710122088	[э]	3.188348426	1.014882824
16	[ф]	20.10935797	⁠ ⁠${\displaystyle 4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	3.061467460	0,9744953584	[г]	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0,9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0,9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0,9818729854		3.170539238	1.009213984
20	[час]	31.56875757	[я]	3.090169944	0,9836316430	[дж]	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0,9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0,9999934200		3.141602989	1.000003290
10,000		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
1,000,000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

Из всех n -угольников с заданным периметром правильный имеет наибольшую площадь. ^[10]

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще не могут быть построены. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами, ^{[11] : с. xi} , и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон заданного правильного многоугольника. ^{[11] : с. 49–50} Это привело к постановке вопроса: возможно ли построить все правильные n -угольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольники могут быть построены, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовых периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени числа 2 и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простым числом Ферма является простое число вида ) Гаусс утверждал без доказательства, что это условие также необходимо , но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса–Ванцеля .${\displaystyle 2^{\left(2^{n}\right)}+1.}$

Эквивалентно, правильный n -угольник конструктивен тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом , то есть может быть записан в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Куб содержит перекошенный правильный шестиугольник , который выглядит как 6 красных ребер, расположенных зигзагообразно между двумя плоскостями, перпендикулярными диагональной оси куба.

Зигзагообразные боковые грани n - антипризмы представляют собой правильный косой 2 n -угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме.

Правильный косой многоугольник в 3-мерном пространстве можно рассматривать как неплоские пути, зигзагообразные между двумя параллельными плоскостями, определяемыми как боковые ребра однородной антипризмы . Все ребра и внутренние углы равны.

Платоновы тела ( тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) имеют многоугольники Петри, показанные здесь красным цветом, со сторонами 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем смысле правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примерами являются многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и рассматриваются как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники

2 < 2q < p, НОД (p, q) = 1
{5/2} {7/2} {7/3}
Символ Шлефли	{п/д}
Вершины и ребра	п
Плотность	д
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	Двугранный (D p )
Двойной полигон	Самодвойственный
Внутренний угол ( градусы )	${\displaystyle 180-{\frac {360q}{p}}}$[12]

Невыпуклый правильный многоугольник — это правильный звездчатый многоугольник . Наиболее распространенным примером является пентаграмма , которая имеет те же вершины, что и пятиугольник , но соединяет чередующиеся вершины.

Для n -стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли модифицируется для указания плотности или «звездности» m многоугольника, как { n / m }. Например, если m равно 2, то каждая вторая точка соединяется. Если m равно 3, то каждая третья точка соединяется. Граница многоугольника обвивается вокруг центра m раз.

Правильные (невырожденные) звезды с числом сторон до 12:

• Пентаграмма – {5/2}
• Гептаграмма – {7/2} и {7/3}
• Октаграмма – {8/3}
• Эннеаграмма – {9/2} и {9/4}
• Декаграмм – {10/3}
• Хендекаграм – {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}
• Додекаграмма – {12/5}

m и n должны быть взаимно простыми , иначе число выродится.

Вырожденные правильные звезды, имеющие до 12 сторон:

• Тетрагон – {4/2}
• Шестиугольники – {6/2}, {6/3}
• Восьмиугольники – {8/2}, {8/4}
• Эннеагон – {9/3}
• Декагоны – {10/2}, {10/4} и {10/5}
• Двенадцатиугольники – {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}

Две интерпретации {6/2}

Грюнбаум {6/2} или 2{3} [13]	Коксетер 2 {3} или {6}[2{3}]{6}
Шестигранник двойной обмотки	Гексаграмма как соединение двух треугольников

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения о природе вырожденной фигуры различаются. Например, {6/2} можно трактовать одним из двух способов:

• На протяжении большей части 20-го века (см., например, Коксетер (1948)) мы обычно использовали /2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого треугольника {6} с его ближайшими соседями, находящимися на расстоянии двух шагов, для получения правильного соединения двух треугольников, или гексаграммы .
  Коксетер поясняет это регулярное соединение с помощью обозначения {kp}[k{p}]{kp} для соединения {p/k}, так что гексаграмма представляется как {6}[2{3}]{6}. ^[14] Более компактно Коксетер также записывает 2 {n/2}, как 2 {3} для гексаграммы как соединения, как чередования правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем множителе, чтобы отличить его от совпадающей интерпретации. ^[15]
• Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), ^[13] считают это неверным. Они принимают /2 за обозначение перемещения двух мест вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник «двойной обмотки», который имеет две вершины, наложенные на каждую угловую точку, и два ребра вдоль каждого отрезка линии. Это не только лучше соответствует современным теориям абстрактных многогранников , но и более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создал свои звездные многоугольники — взяв один отрезок проволоки и согнув его в последовательных точках на один и тот же угол, пока фигура не замкнется.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (December 2024)

Все правильные многоугольники самодвойственны подобию, а для нечетных n они самодвойственны тождеству.

Кроме того, правильные звездчатые фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также являются самодвойственными.

Однородный многогранник имеет в качестве граней правильные многоугольники, так что для каждых двух вершин существует изометрия , отображающая одну вершину в другую (так же, как и для правильного многоугольника).

Квазиправильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий всего два вида граней, чередующихся вокруг каждой вершины.

Правильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий только один тип граней.

Оставшиеся (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник, имеющий в качестве граней правильные треугольники, называется дельтаэдром .

• Евклидовы мозаики выпуклыми правильными многоугольниками
• Платоновы тела
• Список правильных многогранников и соединений
• Равносторонний многоугольник
• Карлайл круг

• Ли, Хва Янг; «Числа, которые можно построить с помощью оригами».
• Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн и Ко.
• Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?, Дискретная и вычислительная геометрия: сборник трудов Гудмена-Поллака , под ред. Аронова и др., Springer (2003), стр. 461–488.
• Пуансо, Л .; Мемуар о многоугольниках и многогранниках. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.

• Вайсштейн, Эрик В. "Правильный многоугольник". MathWorld .
• Описание правильного многоугольника с интерактивной анимацией
• Окружность, вписанная в правильный многоугольник с интерактивной анимацией
• Площадь правильного многоугольника Три различные формулы с интерактивной анимацией
• Построения правильных многоугольников художниками эпохи Возрождения на выставке Convergence