Бицентрический многоугольник

В геометрии бицентрический многоугольник — это касательный многоугольник (многоугольник, все стороны которого касаются внутренней вписанной окружности ), который также является циклическим — то есть вписанным во внешнюю окружность , проходящую через каждую вершину многоугольника. Все треугольники и все правильные многоугольники являются бицентрическими. С другой стороны, прямоугольник с неравными сторонами не является бицентрическим, потому что никакая окружность не может касаться всех четырех сторон.

Каждый треугольник является бицентрическим. ^[1] В треугольнике радиусы r и R вписанной и описанной окружностей соответственно связаны уравнением

${\displaystyle {\frac {1}{Rx}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$

где x — расстояние между центрами окружностей. ^[2] Это одна из версий формулы треугольника Эйлера .

Не все четырехугольники являются бицентрическими (имеющими как вписанную, так и описанную окружность). Даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r , где , существует выпуклый четырехугольник, вписанный в одну из них и касающийся другой, тогда и только тогда, когда их радиусы удовлетворяют${\displaystyle R>r}$

${\displaystyle {\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

где x — расстояние между их центрами. ^{[2] [3]} Это условие (и аналогичные условия для многоугольников более высокого порядка) известно как теорема Фусса . ^[4]

Известна сложная общая формула для любого числа сторон n для соотношения между радиусом описанной окружности R , радиусом вписанной окружности r и расстоянием x между центром описанной окружности и центром вписанной окружности. ^[5] Вот некоторые из них для конкретных значений n :

${\displaystyle n=5:\quad r(Rx)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(Rrx)}}+(R+x){\sqrt {2R(Rrx)}},}$

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$

где и${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$${\displaystyle q={\tfrac {R-x}{r}}.}$

Каждый правильный многоугольник является бицентрическим. ^[2] В правильном многоугольнике вписанная и описанная окружности концентричны , то есть имеют общий центр, который также является центром правильного многоугольника, поэтому расстояние между центром вписанной и центром описанной окружности всегда равно нулю. Радиус вписанной окружности — это апофема (кратчайшее расстояние от центра до границы правильного многоугольника).

Для любого правильного многоугольника соотношения между длиной общего ребра a , радиусом r вписанной окружности и радиусом R описанной окружности следующие:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Для некоторых правильных многоугольников, которые можно построить с помощью циркуля и линейки , мы имеем следующие алгебраические формулы для этих соотношений:

${\displaystyle n\!\,}$	${\displaystyle R\,{\text{and}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{and}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{and}}\,R\!\,}$
3	${\displaystyle R{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle 2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R\!\,}$
4	${\displaystyle R{\sqrt {2}}=a\!\,}$	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R{\sqrt {2}}\!\,}$
5	${\displaystyle R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,}$	${\displaystyle r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,}$	${\displaystyle r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,}$
6	${\displaystyle R=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,}$
8	${\displaystyle R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,}$	${\displaystyle r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,}$	${\displaystyle 2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,}$
10	${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,}$	${\displaystyle 2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,}$

Таким образом, мы имеем следующие десятичные приближения:

${\displaystyle n\!\,}$		${\displaystyle R/a\!\,}$		${\displaystyle r/a\!\,}$		${\displaystyle R/r\!\,}$
${\displaystyle 3\,}$		${\displaystyle 0.577\,}$		${\displaystyle 0.289}$		${\displaystyle 2.000\,}$
${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 0.707\,}$		${\displaystyle 0.500}$		${\displaystyle 1.414\,}$
${\displaystyle 5}$		${\displaystyle 0.851\,}$		${\displaystyle 0.688}$		${\displaystyle 1.236\,}$
${\displaystyle 6}$		${\displaystyle 1.000\,}$		${\displaystyle 0.866}$		${\displaystyle 1.155\,}$
${\displaystyle 8}$		${\displaystyle 1.307\,}$		${\displaystyle 1.207}$		${\displaystyle 1.082\,}$
${\displaystyle 10}$		${\displaystyle 1.618\,}$		${\displaystyle 1.539}$		${\displaystyle 1.051\,}$

Если две окружности являются вписанной и описанной окружностями конкретного бицентрического n -угольника, то те же две окружности являются вписанной и описанной окружностями бесконечного числа бицентрических n -угольников. Точнее, каждая касательная линия к внутренней из двух окружностей может быть продолжена до бицентрического n -угольника путем размещения вершин на линии в точках, где она пересекает внешнюю окружность, продолжая от каждой вершины вдоль другой касательной линии и продолжая таким же образом, пока полученная многоугольная цепь не замкнется до n -угольника. Тот факт, что это всегда будет так, следует из теоремы о замыкании Понселе , которая в более общем случае применяется для вписанных и описанных коник . ^[6]

Более того, если заданы описанная и вписанная окружности, каждая диагональ переменного многоугольника касается фиксированной окружности. ^[7]

• Вайсштейн, Эрик В. "Двухцентрический многоугольник". MathWorld .