Гептадекагон
Многоугольник с 17 гранями

Правильный гептадекагон
Правильный гептадекагон
ТипПравильный многоугольник
Ребра и вершины17
Символ Шлефли{17}
Диаграммы Кокстера–Дынкина
Группа симметрииДвугранный (D 17 ), порядок 2×17
Внутренний угол ( градусы )≈158.82°
ХарактеристикиВыпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигонСебя

В геометрии гептадекагон , септадекагон или 17-угольник — это семнадцатиугольник .

Правильный гептадекагон

Правильный гептадекагон обозначается символом Шлефли {17} .

Строительство

Публикация К. Ф. Гаусса в Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung.

Так как 17 является простым числом Ферма , правильный семиугольник является конструируемым многоугольником (то есть таким, который можно построить с помощью циркуля и неразмеченной линейки ): это показал Карл Фридрих Гаусс в 1796 году в возрасте 19 лет . [1] Это доказательство представляло собой первый прогресс в построении правильных многоугольников за более чем 2000 лет. [1] Доказательство Гаусса опирается, во-первых, на тот факт, что конструируемость эквивалентна выразимости тригонометрических функций общего угла в терминах арифметических операций и извлечения квадратных корней , а во-вторых, на его доказательстве того, что это можно сделать, если нечетные простые множители , числа сторон правильного многоугольника, являются различными простыми числами Ферма, которые имеют вид для некоторого неотрицательного целого числа . Таким образом, построение правильного семиугольника включает в себя нахождение косинуса в терминах квадратных корней. В книге Гаусса Disquisitiones Arithmeticae [2] это (в современных обозначениях) дается как [3] Н {\displaystyle N} Ф н = 2 2 н + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} н {\displaystyle n} 2 π / 17 {\displaystyle 2\пи /17}

потому что ⁡ 2 π 17 = 1 16 ( 17 − 1 + 34 − 2 17 ) + 1 8 ( 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ) . {\displaystyle {\begin{align}\cos {\frac {2\pi }{17}}=&{\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\right)\\&+{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right).\\\end{align}}}
Гауссово построение правильного гептадекагона.

Построения правильного треугольника , пятиугольника , пятнадцатиугольника и многоугольников с числом сторон в 2 h раз больше были даны Евклидом, но построения, основанные на простых числах Ферма, отличных от 3 и 5, были неизвестны древним. (Единственными известными простыми числами Ферма являются F n для n = 0, 1, 2, 3, 4. Это 3, 5, 17, 257 и 65537.)

Явное построение гептадекагона было дано Гербертом Уильямом Ричмондом в 1893 году. Следующий метод построения использует окружности Карлейля , как показано ниже. Основываясь на построении правильного 17-угольника, можно легко построить n -угольники, где n является произведением 17 на 3 или 5 (или на оба) и любую степень 2: правильный 51-угольник, 85-угольник или 255-угольник и любой правильный n -угольник с 2 h раз большим числом сторон.

Конструкция по Дуэйну В. ДеТемплу с кругами Карлейля, [4] анимация 1 мин 57 сек

Другое построение правильного гептадекагона с использованием линейки и циркуля выглядит следующим образом:

TP Stowell из Рочестера, штат Нью-Йорк, ответил на запрос WE Heal, Wheeling, Indiana в The Analyst в 1877 году: [5]

«Построить правильный многоугольник с семнадцатью сторонами в окружности. Провести радиус CO под прямым углом к ​​диаметру AB. На OC и OB взять OQ, равный половине, а OD — равной восьмой части радиуса. Сделать DE и DF равными DQ, а EG и FH — соответственно EQ и FQ; взять OK как среднее пропорциональное между OH и OQ и через K провести KM параллельно AB, пересекая полуокружность, описанную на OG в точке M; провести MN параллельно OC, пересекая данную окружность в точке N — дуга AN составляет семнадцатую часть всей окружности».

Построение согласно
"отправлено TP Stowell, зачислено в Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Добавлено: "возьмем OK как среднее пропорциональное между OH и OQ"
Построение согласно
"отправлено TP Stowell, зачислено в Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Добавлено: "принять OK как среднее пропорциональное между OH и OQ" , анимация

Следующий простой дизайн принадлежит Герберту Уильяму Ричмонду и датируется 1893 годом: [6]

«Пусть OA, OB (рис. 6) будут двумя перпендикулярными радиусами окружности. Пусть OI составляет одну четвертую OB, а угол OIE — одну четвертую OIA; также найдите в OA точку F, такую, что EIF равен 45°. Пусть окружность на AF как диаметр пересекает OB в K, и пусть окружность с центром в E и радиусом EK пересекает OA в N 3 и N 5 ; тогда, если ординаты N 3 P 3 , N 5 P 5 провести к окружности, дуги AP 3 , AP 5 будут составлять 3/17 и 5/17 окружности».
Строительство по HW Richmond
Строительство по HW Richmond в виде анимации

Следующая конструкция является вариацией конструкции Г. У. Ричмонда.

Отличия от оригинала:

  • Окружность k 2 определяет точку H вместо биссектрисы w 3 .
  • Окружность k4 вокруг точки G' (отражение точки G относительно m) дает точку N, которая уже не так близка к M, для построения касательной.
  • Некоторые имена изменены.
Гептадекагон в принципе по Г. У. Ричмонду, вариант конструкции относительно точки N

Еще одна более поздняя конструкция представлена ​​Каллаги. [3]

Тригонометрический вывод с использованием вложенных квадратных уравнений

Объедините вложенную формулу двойного угла с формулой дополнительного угла, чтобы получить вложенный квадратный многочлен ниже.

потому что ⁡ 2 м π 17 = 2 потому что 2 ⁡ м π 17 − 1 {\displaystyle \cos {\frac {2m\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {m\pi }{17}}-1} , И
потому что ⁡ 16 π 17 = потому что ⁡ ( π − π 17 ) = − потому что ⁡ π 17 = − Х {\displaystyle \cos {\frac {16\pi }{17}}=\cos({\pi - {\frac {\pi }{17}}})=-\cos {\frac {\pi }{17}}=-X}

Поэтому,

− Х = − потому что ⁡ π 17 = потому что ⁡ 16 π 17 = 2 потому что 2 ⁡ 8 π 17 − 1 = 2 × ( 2 потому что 2 ⁡ 4 π 17 − 1 ) 2 − 1 {\displaystyle -X=-\cos {\frac {\pi }{17}}=\cos {\frac {16\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {8\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {4\pi }{17}}-1)}^{2}-1}
потому что ⁡ 4 π 17 = 2 потому что 2 ⁡ 2 π 17 − 1 = 2 × ( 2 потому что 2 ⁡ π 17 − 1 ) 2 − 1 = 2 ( 2 Х 2 − 1 ) 2 − 1 {\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {\pi }{17}}-1)}^{2}-1=2(2X^{2}-1)^{2}-1}

При упрощении и решении для X,

32768 Х 16 − 131072 Х 14 + 212992 Х 12 − 180224 Х 10 + 84480 Х 8 − 21504 Х 6 + 2688 Х 4 − 128 Х 2 + 1 = − Х {\displaystyle 32768X^{16}-131072X^{14}+212992X^{12}-180224X^{10}+84480X^{8}-21504X^{6}+2688X^{4}-128X^{2}+1=-X}
потому что ⁡ π 17 = Х = 34 − 68 − 17 + 1 + 2 34 − 68 + 17 − 1 17 + 272 16 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=X={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}

Точное значение синуса и косинуса⁠м π/(17 × 2n )⁠

Если , и тогда, в зависимости от любого целого числа m А = 2 ( 17 ± 17 ) {\displaystyle A={\sqrt {2(17\pm {\sqrt {17}})}}} Б = ( 17 ± 1 ) {\displaystyle B=({\sqrt {17}}\pm 1)} С = 17 ∓ 4 17 {\displaystyle C=17\mp 4{\sqrt {17}}}

потому что ⁡ м π 17 = ± ( А ± Б ) ± 2 ( А ∓ Б ) С 16 {\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{17}}=\pm {\frac {(A\pm B)\pm 2{\sqrt {(A\mp B){\sqrt {C}}}}}{16}}}
= ± 34 ± 68 ± ( 17 ± 1 ) ± 2 34 ± 68 ∓ ( 17 ± 1 ) 17 ∓ 272 16 {\displaystyle =\pm {\frac {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\pm ({\sqrt {17}}\pm 1)\pm 2{\sqrt {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\mp ({\sqrt {17}}\pm 1)}}{\sqrt {\sqrt {17\mp {\sqrt {272}}}}}}{16}}}

Например, если м = 1

потому что ⁡ π 17 = 34 − 68 − 17 + 1 + 2 34 − 68 + 17 − 1 17 + 272 16 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}

Вот выражения, упрощенные в следующей таблице.

Cos и Sin (m π / 17) в первом квадранте, из которого вычисляются другие квадранты.
м16 cos (м π / 17)8 sin (м π / 17)
1 + 1 − 17 + 34 − 68 + 68 + 2448 + 2720 + 6284288 {\displaystyle +1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 − 136 − 1088 − 272 + 39168 − 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}-{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
2 − 1 + 17 + 34 − 68 + 68 + 2448 − 2720 + 6284288 {\displaystyle -1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 + 136 − 1088 − 272 + 39168 + 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}+{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
3 + 1 + 17 + 34 + 68 + 68 − 2448 − 2720 − 6284288 {\displaystyle +1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 − 136 + 1088 − 272 − 39168 + 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}-{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
4 − 1 + 17 − 34 − 68 + 68 + 2448 + 2720 + 6284288 {\displaystyle -1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 − 136 − 1088 + 272 + 39168 − 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}-{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
5 + 1 + 17 + 34 + 68 − 68 − 2448 − 2720 − 6284288 {\displaystyle +1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 − 136 + 1088 + 272 − 39168 + 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}-{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
6 − 1 − 17 + 34 + 68 + 68 − 2448 + 2720 − 6284288 {\displaystyle -1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 + 136 + 1088 − 272 − 39168 − 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}+{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
7 + 1 + 17 − 34 + 68 + 68 − 2448 + 2720 − 6284288 {\displaystyle +1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 + 68 + 136 + 1088 + 272 − 39168 − 43520 − 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}+{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}
8 − 1 + 17 + 34 − 68 − 68 + 2448 − 2720 + 6284288 {\displaystyle -1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}} 34 − 68 + 136 − 1088 + 272 + 39168 + 43520 + 1608777728 {\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}+{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}

Поэтому, применяя индукцию с m=1 и начиная с n=0:

cos ⁡ π 17 × 2 0 = 1 − 17 + 34 − 68 + 68 + 2448 + 2720 + 6284288 16 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}{16}}}
cos ⁡ π 17 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos ⁡ π 17 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}} и sin ⁡ π 17 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos ⁡ π 17 × 2 n 2 . {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}

Симметрия

Симметрии правильного гептадекагона. Вершины окрашены в соответствии с их позициями симметрии. Синие зеркальные линии проведены через вершины и ребра. Порядки вращения указаны в центре.

Правильный гептадекагон имеет симметрию Dih 17 порядка 34. Поскольку 17 — простое число, то существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih 1 и 2 циклические группы симметрии: Z 17 и Z 1 .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на гептадекагоне. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. [7] Полная симметрия правильной формы — r34 , и ни одна симметрия не обозначена как a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центральных порядков инерции.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g17 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Гептадекаграммы

Гептадекаграмма — это 17-сторонний звездчатый многоугольник . Существует семь правильных форм, задаваемых символами Шлефли : {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} и {17/8}. Поскольку 17 — простое число, все они являются правильными звездами, а не составными фигурами.

Картина
{17/2}
{17/3}
{17/4}
{17/5}
{17/6}
{17/7}
{17/8}
Внутренний угол≈137.647°≈116.471°≈95.2941°≈74.1176°≈52.9412°≈31.7647°≈10.5882°

Петри полигоны

Правильный гептадекагон — это многоугольник Петри для одного правильного выпуклого многогранника большей размерности, спроецированный в косоортогональной проекции :


16-симплекс (16D)

Ссылки

  1. ^ ab Артур Джонс, Сидней А. Моррис, Кеннет Р. Пирсон, Абстрактная алгебра и знаменитые невозможности , Springer, 1991, ISBN  0387976612 , стр. 178.
  2. ^ Карл Фридрих Гаусс "Disquisitiones Arithmeticae" eod book2ebooks, стр. 662 пункт 365.
  3. ^ Каллаги, Джеймс Дж. «Центральный угол правильного 17-угольника», Mathematical Gazette 67, декабрь 1983 г., 290–292.
  4. ^ Duane W. DeTemple "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions" в The American Mathematical Monthly, том 98, выпуск 1 (февраль 1991 г.), 97–108. "4. Construction of the Regular Heptadecagon (17-gon)" стр. 101–104, стр. 103, документ web.archive, выбранный 28 января 2017 г.
  5. ^ Хендрикс, Дж. Э. (1877). «Ответ на вопрос г-на Хила; Т. П. Стоуэлл из Рочестера, штат Нью-Йорк» Аналитик: Ежемесячный журнал чистой и прикладной математики, том 1 : 94–95 .Запрос, автор WE Heal, Wheeling, Indiana, стр. 64; дата доступа 30 апреля 2017 г.
  6. ^ Герберт В. Ричмонд, описание иллюстрации "Построение правильного многоугольника с семнадцатью сторонами" (рис. 6), The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 26: стр. 206–207. Получено 4 декабря 2015 г.
  7. ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278) 

Дальнейшее чтение

  • Данэм, Уильям (сентябрь 1996 г.). «1996—тройная годовщина». Math Horizons . 4 : 8– 13. doi :10.1080/10724117.1996.11974982. Архивировано из оригинала 13 июля 2010 г. Получено 6 декабря 2009 г.
  • Клейн, Феликс и др. Знаменитые проблемы и другие монографии . – Описывает алгебраический аспект, по Гауссу.
Викискладе есть медиафайлы, связанные с 17-угольниками .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Гептадекагон». MathWorld .Содержит описание конструкции.
  • «Построение гептадекагона». MathPages.com .
  • Гептадекагон тригонометрические функции
  • Видео BBC о новом центре исследований и разработок SolarUK
  • Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Eisenbud, David (13 февраля 2015 г.). "Удивительный гептадекагон (17-угольник)" (видео) . Брэди Харан . Получено 2 марта 2015 г.
  • OEIS : A210644
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Heptadecagon&oldid=1268705256"