Тетрадекагон

Правильный тетрадекагон
Правильный тетрадекагон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	14
Символ Шлефли	{14}, т{7}
Диаграммы Кокстера–Дынкина
Группа симметрии	Двугранный (D 14 ), порядок 2×14
Внутренний угол ( градусы )	154+2/7°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии тетрадекагон , тетракайдекагон или 14- угольник — это четырнадцатиугольник .

Правильный тетрадекагон имеет символ Шлефли {14} и может быть построен как квазиправильный усеченный семиугольник , t{7}, который чередует два типа ребер.

Площадь правильного тетрадекагона со стороной длиной a определяется по формуле

${\displaystyle A={\frac {14}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}\approx 15.3345a^{2}}$

Так как 14 = 2 × 7, то правильный четырнадцатиугольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки . ^[1] Однако его можно построить с помощью невзиса с использованием трисектрисы угла ^[2] или с помощью отмеченной линейки ^[3] , как показано в следующих двух примерах.

Правильный тетрадекагон имеет симметрию Dih ₁₄ , порядок 28. Существует 3 подгруппы диэдральных симметрий: Dih ₇ , Dih ₂ и Dih ₁ , а также 4 циклические группы симметрии: Z ₁₄ , Z ₇ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти 8 симметрий можно увидеть в 10 различных симметриях на тетрадекагоне, большем числе, поскольку линии отражений могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. ^[4] Полная симметрия правильной формы — r28 , и ни одна симметрия не обозначена a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражений проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центрального порядка инерции.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g14 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Неправильные тетрадекагоны с самой высокой симметрией — это d14 , изогональный тетрадекагон, построенный семью зеркалами, которые могут чередовать длинные и короткие стороны, и p14 , изотоксальный тетрадекагон, построенный с равными длинами сторон, но вершинами, чередующими два различных внутренних угла. Эти две формы являются дуальными друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного тетрадекагона.

14-кубовая проекция

84 ромбовидная диссекция

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 m -угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограммов. ^[5] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного тетрадекагона m = 7 , и его можно разделить на 21:3 набора по 7 ромбов. Это разложение основано на проекции многоугольника Петри 7-куба с 21 из 672 граней. Список OEIS : A006245 определяет число решений как 24698, включая до 14-кратных вращений и хиральных форм в отражении.

Разбиение на 21 ромб

Правильный четырнадцатиугольник используется в качестве формы некоторых памятных золотых и серебряных малазийских монет, число сторон которых представляет 14 штатов Малазийской Федерации. ^[6]

Тетрадекаграмма — это 14-сторонний звездчатый многоугольник, представленный символом {14/n}. Существует два правильных звездчатых многоугольника : {14/3} и {14/5}, использующие одни и те же вершины, но соединяющие каждую третью или пятую точку. Существует также три соединения: {14/2} сокращается до 2{7} как два семиугольника , в то время как {14/4} и {14/6} сокращаются до 2{7/2} и 2{7/3} как два различных семиугольника , и, наконец, {14/7} сокращается до семи двуугольников .

Знаменательное применение четырнадцатиконечной звезды — флаг Малайзии , в правом верхнем углу которого изображена желтая тетрадекаграмма {14/6}, символизирующая единство тринадцати штатов с федеральным правительством .

Соединения и звездчатые многоугольники
н	1	2	3	4	5	6	7
Форма	Обычный	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{14/1} = {14}	{14/2} = 2{7}	{14/3}	{14/4} = 2{7/2}	{14/5}	{14/6} = 2{7/3}	{14/7} или 7{2}
Внутренний угол	≈154.286°	≈128.571°	≈102.857°	≈77.1429°	≈51.4286°	≈25.7143°	0°

Более глубокие усечения правильного семиугольника и гептаграмм могут производить изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы тетрадекаграмм с равноотстоящими вершинами и двумя длинами ребер. Другие усечения могут образовывать двойные покрывающие многоугольники 2{p/q}, а именно: t{7/6}={14/6}=2{7/3}, t{7/4}={14/4}=2{7/2} и t{7/2}={14/2}=2{7}. ^[7]

Изогональные усечения семиугольника и гептаграммы
Квазирегулярный	Изогональный			Квазирегулярное двойное покрытие
т{7}={14}				{7/6}={14/6} =2{7/3}
т{7/3}={14/3}				т{7/4}={14/4} =2{7/2}
т{7/5}={14/5}				т{7/2}={14/2} =2{7}

Изотоксальный многоугольник можно обозначить как {p _α } с внешним самым внутренним углом α, а звездчатый многоугольник {( p / q ) _α }, где q — число витков , а gcd( p , q ) = 1, q < p . Изотоксальные тетрадекагоны имеют p = 7, и поскольку 7 — простое число, все решения, q = 1..6, являются многоугольниками.

{7 α }

{(7/2) α }

{(7/3) α }

{(7/4) α }

{(7/5) α }

{(7/6) α }

Правильные косые тетрадекагоны существуют как многоугольники Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанных в этих косых ортогональных проекциях , включая:

Петри полигоны
Б 7		2И 2 (7) (4Д)
7-ортоплекс	7-кубовый	7-7 дуопирамида	7-7 дуопризма
А 13	Д 8		Е 8
13-симплекс	5 11	1 51	4 21	2 41

• Вайсштейн, Эрик В. «Тетрадекагон». MathWorld .