Уравнение Пуассона
Выражение, часто встречающееся в математической физике, обобщение уравнения Лапласа
Симеон Дени Пуассон

Уравнение Пуассона — это эллиптическое уравнение в частных производных , широко используемое в теоретической физике . Например, решением уравнения Пуассона является потенциальное поле, вызванное заданным распределением плотности электрического заряда или массы; зная потенциальное поле, можно вычислить соответствующее электростатическое или гравитационное (силовое) поле. Это обобщение уравнения Лапласа , которое также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика Симеона Дени Пуассона, который опубликовал его в 1823 году. [1] [2]

Формулировка уравнения

Уравнение Пуассона имеет вид , где — оператор Лапласа , а и — действительные или комплексные функции на многообразии . Обычно задано, а ищется. Когда многообразие — евклидово пространство , оператор Лапласа часто обозначается как ∇ 2 , и поэтому уравнение Пуассона часто записывается как Δ φ = ф , {\displaystyle \Delta \varphi =f,} Δ {\displaystyle \Дельта} ф {\displaystyle f} φ {\displaystyle \varphi} ф {\displaystyle f} φ {\displaystyle \varphi} ∇ 2 φ = ф . {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f.}

В трехмерных декартовых координатах он принимает вид ( ∂ 2 ∂ х 2 + ∂ 2 ∂ у 2 + ∂ 2 ∂ з 2 ) φ ( х , у , з ) = ф ( х , у , з ) . {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}

При тождестве получаем уравнение Лапласа . ф = 0 {\displaystyle f=0}

Уравнение Пуассона может быть решено с помощью функции Грина : где интеграл берется по всему пространству. Общее изложение функции Грина для уравнения Пуассона дано в статье об экранированном уравнении Пуассона . Существуют различные методы численного решения, такие как метод релаксации , итерационный алгоритм. φ ( г ) = − ∭ ф ( г ′ ) 4 π | г − г ′ | г 3 г ′ , {\displaystyle \varphi (\mathbf {r}) =-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}} \,\mathrm {d} ^{3}r',}

Приложения в физике и технике

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационного поля g, вызванного притягивающим массивным объектом с плотностью ρ , закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме может быть использован для получения соответствующего уравнения Пуассона для гравитации. Закон Гаусса для гравитации имеет вид ∇ ⋅ г = − 4 π Г ρ . {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}

Поскольку гравитационное поле является консервативным (и безвихревым ), его можно выразить через скалярный потенциал ϕ : g = − ∇ ϕ . {\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}

Подставляя это в закон Гаусса, получаем уравнение Пуассона для гравитации: ∇ ⋅ ( − ∇ ϕ ) = − 4 π G ρ , {\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,} ∇ 2 ϕ = 4 π G ρ . {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}

Если плотность массы равна нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. Соответствующая функция Грина может быть использована для вычисления потенциала на расстоянии r от центральной точечной массы m (т.е. фундаментального решения ). В трех измерениях потенциал равен что эквивалентно закону всемирного тяготения Ньютона . ϕ ( r ) = − G m r , {\displaystyle \phi (r)={\frac {-Gm}{r}},}

Электростатика

Многие задачи электростатики решаются с помощью уравнения Пуассона, которое связывает электрический потенциал φ с плотностью свободных зарядов , например, тех, которые встречаются в проводниках . ρ f {\displaystyle \rho _{f}}

Математические детали уравнения Пуассона, обычно выражаемые в единицах СИ (в отличие от гауссовых единиц ), описывают, как распределение свободных зарядов создает электростатический потенциал в заданной области .

Исходя из закона Гаусса для электричества (также одного из уравнений Максвелла ) в дифференциальной форме, имеем где — оператор дивергенции , D — электрическое поле смещения , а ρ f — плотность свободных зарядов (описывающая заряды, привнесенные извне). ∇ ⋅ D = ρ f , {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},} ∇ ⋅ {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }

Предполагая, что среда линейна, изотропна и однородна (см. плотность поляризации ), мы имеем уравнение состояния , где ε — диэлектрическая проницаемость среды, а E — электрическое поле . D = ε E , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,}

Подставляя это в закон Гаусса и предполагая, что ε является пространственно постоянной в интересующей области, получаем В электростатике мы предполагаем, что магнитное поле отсутствует (следующее рассуждение справедливо и при наличии постоянного магнитного поля). [3] Тогда мы имеем, что где ∇× — оператор ротора . Это уравнение означает, что мы можем записать электрическое поле как градиент скалярной функции φ (называемой электрическим потенциалом ), поскольку ротор любого градиента равен нулю. Таким образом, мы можем записать, где вводится знак минус, так что φ определяется как электрическая потенциальная энергия на единицу заряда. [4] ∇ ⋅ E = ρ f ε . {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.} ∇ × E = 0 , {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,} E = − ∇ φ , {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}

Вывод уравнения Пуассона при таких обстоятельствах прост. Подстановка градиента потенциала для электрического поля напрямую приводит к уравнению Пуассона для электростатики, которое имеет вид ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ ( − ∇ φ ) = − ∇ 2 φ = ρ f ε , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},} ∇ 2 φ = − ρ f ε . {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}

Задание уравнения Пуассона для потенциала требует знания распределения плотности заряда. Если плотность заряда равна нулю, то получается уравнение Лапласа . Если плотность заряда следует распределению Больцмана , то получается уравнение Пуассона–Больцмана . Уравнение Пуассона–Больцмана играет роль в развитии теории Дебая–Хюккеля для разбавленных растворов электролитов .

Используя функцию Грина, потенциал на расстоянии r от центрального точечного заряда Q (т.е. фундаментальное решение ) равен , что является законом электростатики Кулона . (По историческим причинам и в отличие от модели гравитации выше, этот фактор появляется здесь, а не в законе Гаусса.) φ ( r ) = Q 4 π ε r , {\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},} 4 π {\displaystyle 4\pi }

Приведенное выше обсуждение предполагает, что магнитное поле не меняется со временем. То же самое уравнение Пуассона возникает даже если оно меняется со временем, пока используется калибровка Кулона . В этом более общем классе случаев вычисление φ уже недостаточно для вычисления E , поскольку E также зависит от магнитного векторного потенциала A , который должен быть независимо вычислен. См. уравнение Максвелла в потенциальной формулировке для получения дополнительной информации о φ и A в уравнениях Максвелла и о том, как получить соответствующее уравнение Пуассона в этом случае.

Потенциал гауссовой плотности заряда

Если существует статическая сферически симметричная гауссовская плотность заряда , где Q — полный заряд, то решение φ ( r ) уравнения Пуассона определяется как где erf( x ) — функция ошибок . [5] Это решение можно проверить явно, вычислив ∇ 2 φ . ρ f ( r ) = Q σ 3 2 π 3 e − r 2 / ( 2 σ 2 ) , {\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},} ∇ 2 φ = − ρ f ε {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}} φ ( r ) = 1 4 π ε Q r erf ⁡ ( r 2 σ ) , {\displaystyle \varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}

Обратите внимание, что для r , намного больше σ , приближается к единице, [6] и потенциал φ ( r ) приближается к потенциалу точечного заряда , как и следовало ожидать. Более того, функция ошибки приближается к 1 чрезвычайно быстро по мере увеличения ее аргумента; на практике для r > 3 σ относительная ошибка меньше одной части на тысячу. [6] erf ⁡ ( r / 2 σ ) {\textstyle \operatorname {erf} (r/{\sqrt {2}}\sigma )} φ ≈ 1 4 π ε Q r , {\displaystyle \varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},}

Реконструкция поверхности

Реконструкция поверхности — это обратная задача . Цель состоит в том, чтобы в цифровом виде реконструировать гладкую поверхность на основе большого количества точек p i ( облако точек ), где каждая точка также несет оценку локальной нормали поверхности n i . [7] Уравнение Пуассона можно использовать для решения этой задачи с помощью метода, называемого реконструкцией поверхности Пуассона. [8]

Целью этого метода является восстановление неявной функции f , значение которой равно нулю в точках p i и градиент которой в точках p i равен нормальным векторам n i . Таким образом, набор ( p i , n i ) моделируется как непрерывное векторное поле V . Неявная функция f находится путем интегрирования векторного поля V . Поскольку не каждое векторное поле является градиентом функции, задача может иметь или не иметь решение: необходимое и достаточное условие для того, чтобы гладкое векторное поле V было градиентом функции f , состоит в том, что ротор V должен быть тождественно равен нулю. В случае, если это условие трудно наложить, все еще возможно выполнить подгонку методом наименьших квадратов, чтобы минимизировать разницу между V и градиентом f .

Для эффективного применения уравнения Пуассона к задаче реконструкции поверхности необходимо найти хорошую дискретизацию векторного поля V . Основной подход заключается в связывании данных с помощью конечно-разностной сетки. Для функции, имеющей значения в узлах такой сетки, ее градиент может быть представлен как имеющий значения на смещенных сетках, т. е. на сетках, узлы которых лежат между узлами исходной сетки. Удобно определить три смещенные сетки, каждая из которых смещена в одном и только одном направлении, соответствующем компонентам нормальных данных. На каждой смещенной сетке мы выполняем трилинейную интерполяцию на множестве точек. Затем веса интерполяции используются для распределения величины соответствующего компонента n i по узлам конкретной ячейки смещенной сетки, содержащей p i . Каждан и соавторы предлагают более точный метод дискретизации с использованием адаптивной конечно-разностной сетки, т. е. ячейки сетки меньше (сетка более мелко разделена) там, где больше точек данных. [8] Они предлагают реализовать эту технику с помощью адаптивного октодерева .

Динамика жидкости

Для несжимаемой жидкости уравнения Навье–Стокса задаются как ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ ∇ p + ν Δ v + g , ∇ ⋅ v = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}

Уравнение для поля давления является примером нелинейного уравнения Пуассона: Обратите внимание, что приведенный выше след не является знакоопределенным. p {\displaystyle p} Δ p = − ρ ∇ ⋅ ( v ⋅ ∇ v ) = − ρ Tr ⁡ ( ( ∇ v ) ( ∇ v ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Джексон, Джулия А.; Мель, Джеймс П.; Нойендорф, Клаус К.Е., ред. (2005), Глоссарий геологии, Американский геологический институт, Springer, стр. 503, ISBN 9780922152766
  2. ^ Пуассон (1823). «Mémoire sur la theorie du Magnetisme en mouvement» [Мемуары о теории магнетизма в движении]. Мемуары Королевской академии наук Института Франции (на французском языке). 6 : 441–570 .Со стр. 463: «Donc, d'après ce qui précède, nous aurons enfin: selon que le point M sera situé en dehors, à la surface ou en dedans du volume que l'on considère». (Таким образом, согласно тому, что было сказано выше, мы в конечном итоге будем иметь: в зависимости от того, расположена ли точка M снаружи, на поверхности или внутри рассматриваемого объема.) V определяется (стр. 462) как где в случае электростатики интеграл выполняется по объему заряженного тела, координаты точек, находящихся внутри или на объеме заряженного тела, обозначаются как , является заданной функцией от и в электростатике будет мерой плотности заряда и определяется как длина радиуса, простирающегося от точки M до точки, которая лежит внутри или на заряженном теле. Координаты точки М обозначаются через , а обозначает значение (плотность заряда) в точке М. ∂ 2 V ∂ x 2 + ∂ 2 V ∂ y 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 , = − 2 k π , = − 4 k π , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,} ∂ 2 V ∂ x 2 + ∂ 2 V ∂ y 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 , = − 2 k π , = − 4 k π , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,} V = ∭ k ′ ρ d x ′ d y ′ d z ′ , {\displaystyle V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz',} ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle (x',y',z')} k ′ {\displaystyle k'} ( x ′ , y , ′ z ′ ) {\displaystyle (x',y,'z')} k ′ {\displaystyle k'} ρ {\displaystyle \rho } ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} k {\displaystyle k} k ′ {\displaystyle k'}
  3. ^ Гриффитс, DJ (2017). Введение в электродинамику (4-е изд.). Cambridge University Press. С.  77–78 .
  4. ^ Гриффитс, DJ (2017). Введение в электродинамику (4-е изд.). Cambridge University Press. С.  83–84 .
  5. ^ Салем, М.; Олдаббаг, О. (2024). «Численное решение уравнения Пуассона для оценки электростатических свойств, возникающих из аксиально-симметричного гауссовского распределения плотности заряда». Математика . 12 (13): 1948. doi : 10.3390/math12131948 .
  6. ^ ab Oldham, KB; Myland, JC; Spanier, J. (2008). "Функция ошибок erf(x) и ее дополнение erfc(x)". Атлас функций . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. стр.  405–415 . doi :10.1007/978-0-387-48807-3_41. ISBN 978-0-387-48806-6.
  7. ^ Калакли, Фатих; Таубин, Габриэль (2011). «Плавная реконструкция поверхности со знаком расстояния» (PDF) . Pacific Graphics . 30 (7).
  8. ^ ab Kazhdan, Michael; Bolitho, Matthew; Hoppe, Hugues (2006). "Реконструкция поверхности Пуассона". Труды четвертого симпозиума Eurographics по обработке геометрии (SGP '06) . Ассоциация Eurographics, Эр-ла-Виль, Швейцария. стр.  61–70 . ISBN 3-905673-36-3.

Дальнейшее чтение

  • Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.
  • Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
  • Полянин, Андрей Д. (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон (Флорида): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Poisson%27s_equation&oldid=1272988940"