Дискретное уравнение Пуассона

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Апрель 2009 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике дискретное уравнение Пуассона является конечно-разностным аналогом уравнения Пуассона . В нем дискретный оператор Лапласа занимает место оператора Лапласа . Дискретное уравнение Пуассона часто используется в численном анализе в качестве замены непрерывного уравнения Пуассона, хотя оно также изучается само по себе как тема в дискретной математике .

Использование конечно-разностного численного метода для дискретизации двумерного уравнения Пуассона (предполагая равномерную пространственную дискретизацию, ) на сетке m × n дает следующую формулу: ^[1] где и . Предпочтительным расположением вектора решения является использование естественного порядка , который до удаления граничных элементов будет выглядеть следующим образом:${\displaystyle \Delta x=\Delta y}$$${\displaystyle ({\nabla }^{2}u)_{ij}={\frac {1}{\Delta x^{2}}}(u_{i+1,j}+u_{i-1 ,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{ij})=g_{ij}}$$${\displaystyle 2\leq i\leq m-1}$${\displaystyle 2\leq j\leq n-1}$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{11},u_{21},\ldots ,u_{m1},u_{12},u_{22},\ldots ,u_{m2},\ldots ,u_{mn}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

Это приведет к линейной системе mn × mn : где$${\displaystyle A\mathbf {u} =\mathbf {b} }$$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}~D&-I&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-I&~D&-I&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-I&~D&-I&~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-I&~D&-I&~0\\~0&\cdots &\cdots &~0&-I&~D&-I\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-I&~D\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle I}$является единичной матрицей m × m , а также m × m , задается формулой: ^[2] и определяется формулой${\displaystyle D}$$${\displaystyle D={\begin{bmatrix}~4&-1&~0&~0&~0&\cdots &~0\\-1&~4&-1&~0&~0&\cdots &~0\\~0&-1&~4&-1&~0&\cdots &~0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\~0&\cdots &~0&-1&~4&-1&~0\\~0&\cdots &\cdots &~0&-1&~4&-1\\~0&\cdots &\cdots &\cdots &~0&-1&~4\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {b} }$$${\displaystyle \mathbf {b} =-\Delta x^{2}{\begin{bmatrix}g_{11},g_{21},\ldots ,g_{m1},g_{12},g_{22},\ldots ,g_{m2},\ldots ,g_{mn}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$$

Для каждого уравнения столбцы соответствуют блоку компонентов в : в то время как столбцы слева и справа от каждого соответствуют другим блокам компонентов в : и${\displaystyle u_{ij}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1j},&u_{2j},&\ldots ,&u_{i-1,j},&u_{ij},&u_{i+1,j},&\ldots ,&u_{mj}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle D}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1,j-1},&u_{2,j-1},&\ldots ,&u_{i-1,j-1},&u_{i,j-1},&u_{i+1,j-1},&\ldots ,&u_{m,j-1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1,j+1},&u_{2,j+1},&\ldots ,&u_{i-1,j+1},&u_{i,j+1},&u_{i+1,j+1},&\ldots ,&u_{m,j+1}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$

соответственно.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что существуют столбцы блоков в . Важно отметить, что заданные значения (обычно лежащие на границе) будут иметь соответствующие им элементы, удаленные из и . Для общего случая, когда все узлы на границе заданы, мы имеем и , и система будет иметь размеры ( m − 2)( n − 2) × ( m − 2)( n − 2) , где и будут иметь размеры  ( m − 2) × ( m − 2) .${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle u}$${\displaystyle I}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 2\leq i\leq m-1}$${\displaystyle 2\leq j\leq n-1}$${\displaystyle D}$${\displaystyle I}$

Для сетки 3×3 ( и ) со всеми заданными граничными узлами система будет выглядеть следующим образом: с и${\displaystyle m=3}$${\displaystyle n=3}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}U\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{22},u_{32},u_{42},u_{23},u_{33},u_{43},u_{24},u_{34},u_{44}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$$$${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc|ccc|ccc}~4&-1&~0&-1&~0&~0&~0&~0&~0\\-1&~4&-1&~0&-1&~0&~0&~0&~0\\~0&-1&~4&~0&~0&-1&~0&~0&~0\\\hline -1&~0&~0&~4&-1&~0&-1&~0&~0\\~0&-1&~0&-1&~4&-1&~0&-1&~0\\~0&~0&-1&~0&-1&~4&~0&~0&-1\\\hline ~0&~0&~0&-1&~0&~0&~4&-1&~0\\~0&~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4&-1\\~0&~0&~0&~0&~0&-1&~0&-1&~4\end{array}}\right]}$$

$${\displaystyle \mathbf {b} =\left[{\begin{array}{l}-\Delta x^{2}g_{22}+u_{12}+u_{21}\\-\Delta x^{2}g_{32}+u_{31}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{42}+u_{52}+u_{41}\\-\Delta x^{2}g_{23}+u_{13}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{33}~~~~~~~~~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{43}+u_{53}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{24}+u_{14}+u_{25}\\-\Delta x^{2}g_{34}+u_{35}~~~~~~~~\\-\Delta x^{2}g_{44}+u_{54}+u_{45}\end{array}}\right].}$$

Как можно видеть, граничные элементы переносятся в правую часть уравнения. ^[3] Вся система имеет размеры 9 × 9, тогда как и имеют размеры 3 × 3 и определяются как: и${\displaystyle u}$${\displaystyle D}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle D={\begin{bmatrix}~4&-1&~0\\-1&~4&-1\\~0&-1&~4\\\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle -I={\begin{bmatrix}-1&~0&~0\\~0&-1&~0\\~0&~0&-1\end{bmatrix}}.}$$

Поскольку является блоком трехдиагональным и разреженным, было разработано много методов решения для оптимального решения этой линейной системы для . Среди методов - обобщенный алгоритм Томаса с результирующей вычислительной сложностью , циклическая редукция , последовательная сверхрелаксация , имеющая сложность , и быстрые преобразования Фурье , которые являются . Оптимальное решение также может быть вычислено с использованием многосеточных методов . ^[4]${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}U\end{bmatrix}}}$${\displaystyle O(n^{2.5})}$${\displaystyle O(n^{1.5})}$${\displaystyle O(n\log(n))}$${\displaystyle O(n)}$

В вычислительной гидродинамике для решения задачи несжимаемого потока условие несжимаемости действует как ограничение для давления. В этом случае явная форма для давления недоступна из-за сильной связи полей скорости и давления. В этом условии, взяв дивергенцию всех членов в уравнении импульса, получаем уравнение Пуассона давления.

Для несжимаемого потока это ограничение задается как: где — скорость в направлении, — скорость в , а — скорость в направлении. Принимая во внимание дивергенцию уравнения импульса и используя ограничение несжимаемости, уравнение Пуассона давления формируется как: где — кинематическая вязкость жидкости, а — вектор скорости. ^[5]$${\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}=0}$$${\displaystyle v_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v_{z}}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \nabla ^{2}p=f(\nu ,V)}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle V}$

Дискретное уравнение Пуассона возникает в теории цепей Маркова . Оно появляется как функция относительного значения для уравнения динамического программирования в процессе принятия решений Маркова , а также как контрольная переменная для применения в снижении дисперсии моделирования. ^{[6] [7] [8]}

• Хоффман, Джо Д., Численные методы для инженеров и ученых, 4-е изд. , McGraw–Hill Inc., Нью-Йорк, 1992.
• Свит, Роланд А. , Журнал SIAM по численному анализу, т. 11, № 3 , июнь 1974 г., 506–520.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 20.4. Методы Фурье и циклической редукции". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 11 августа 2011 г. . Получено 18 августа 2011 г. .