Экранированное уравнение Пуассона

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Screened Poisson equation» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В физике экранированное уравнение Пуассона — это уравнение Пуассона , которое возникает (например) в уравнении Клейна–Гордона , экранировании электрического поля в плазме и нелокальной гранулярной текучести ^[1] в гранулярном течении .

Уравнение имеет вид$${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r}) = -f(\mathbf {r}),}$$

где — оператор Лапласа , λ — константа, выражающая «экранирование», f — произвольная функция положения (известная как «функция источника»), а u — функция, которую необходимо определить.${\displaystyle \Дельта}$

В однородном случае ( f =0) экранированное уравнение Пуассона совпадает с независимым от времени уравнением Клейна–Гордона . В неоднородном случае экранированное уравнение Пуассона очень похоже на неоднородное уравнение Гельмгольца , единственное отличие — знак в скобках.

При экранировании электрического поля экранированное уравнение Пуассона для электрического потенциала обычно записывается как (единицы СИ)${\displaystyle \phi (\mathbf {r})}$

$${\displaystyle \left[\Delta -k_{0}^{2}\right]\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}},}$$

где — длина экранирования, — плотность заряда, создаваемая внешним полем при отсутствии экранирования, — диэлектрическая проницаемость вакуума . Это уравнение можно вывести в нескольких моделях экранирования, таких как экранирование Томаса–Ферми в физике твердого тела и экранирование Дебая в плазме .${\displaystyle k_{0}^{-1}}$${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$

Без потери общности будем считать λ неотрицательным. Когда λ равно нулю , уравнение сводится к уравнению Пуассона . Поэтому, когда λ очень мало, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое в размерности представляет собой суперпозицию функций 1/ r, взвешенных по функции источника f :${\displaystyle n=3}$

$${\displaystyle u(\mathbf {r})_{({\text{Пуассон}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ') }{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

С другой стороны, когда λ чрезвычайно велико, u приближается к значению f / λ ² , которое стремится к нулю, когда λ стремится к бесконечности. Как мы увидим, решение для промежуточных значений λ ведет себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) функций 1/ r , причем λ ведет себя как сила экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего f с использованием метода функций Грина . Функция Грина G определяется как

$${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r}) = -\delta ^{3}(\mathbf {r}),}$$где δ ³ — дельта-функция с единичной массой, сосредоточенной в начале координат R ³ .

Предполагая, что u и его производные обращаются в нуль при больших r , мы можем выполнить непрерывное преобразование Фурье в пространственных координатах:

$${\displaystyle G(\mathbf {k})=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r})e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r } }}$$

где интеграл берется по всему пространству. Тогда легко показать, что

$${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k})=1.}$$

Таким образом, функция Грина в r задается обратным преобразованием Фурье:

$${\displaystyle G(\mathbf {r})={\frac {1}{(2\pi)^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\ frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

Этот интеграл можно оценить, используя сферические координаты в k -пространстве. Интегрирование по угловым координатам выполняется просто, и интеграл сводится к единице по радиальному волновому числу :${\displaystyle k_{r}}$

$${\displaystyle G(\mathbf {r})={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r }\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

Это можно оценить с помощью контурной интеграции . Результат:

$${\displaystyle G(\mathbf {r})={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}$$

Решение полной задачи тогда дается как

$${\displaystyle u(\mathbf {r})=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')= \int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$$

Как указано выше, это суперпозиция экранированных 1/ r функций, взвешенных функцией источника f , и с λ, действующей как сила экранирования. Экранированная 1/ r функция часто встречается в физике как экранированный кулоновский потенциал, также называемый « потенциалом Юкавы ».

В двух измерениях: В случае замагниченной плазмы экранированное уравнение Пуассона является квазидвумерным: с и , с магнитным полем и представляет собой (ионный) радиус Лармора . Двумерное преобразование Фурье соответствующей функции Грина : Двумерное экранированное уравнение Пуассона дает: Таким образом, функция Грина задается обратным преобразованием Фурье : Этот интеграл можно вычислить с использованием полярных координат в k-пространстве : Интегрирование по угловой координате дает функцию Бесселя , а интеграл сводится к единице по радиальному волновому числу :$${\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}$$${\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }}$${\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle G(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.}$$$${\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1.}$$$${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}$$ ${\displaystyle k_{r}}$$${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).}$$

Функции Грина как в 2D, так и в 3D идентичны функции плотности вероятности многомерного распределения Лапласа для двух и трех измерений соответственно.

Однородный случай, изучаемый в контексте дифференциальной геометрии, включающий искривленные произведения многообразий Эйнштейна, исследует случаи, когда искривленная функция удовлетворяет однородной версии экранированного уравнения Пуассона. При определенных условиях размер многообразия, кривизна Риччи и параметр экранирования связаны между собой квадратичным соотношением ^[2] .

• Взаимодействие Юкавы