Уравнение Пуассона–Больцмана
Уравнение, используемое для физиологических интерфейсов, полимерной науки и полупроводников.

Уравнение Пуассона–Больцмана описывает распределение электрического потенциала в растворе в направлении, нормальном к заряженной поверхности. Это распределение важно для определения того, как электростатические взаимодействия будут влиять на молекулы в растворе. Уравнение Пуассона–Больцмана выводится с помощью предположений о среднем поле . [1] [2] Из уравнения Пуассона–Больцмана было выведено много других уравнений с рядом различных предположений.

Происхождение

Предыстория и происхождение

Уравнение Пуассона-Больцмана описывает модель, предложенную независимо Луи Жоржем Гуи и Дэвидом Леонардом Чепменом в 1910 и 1913 годах соответственно. [3] В модели Гуи-Чепмена заряженное твердое тело вступает в контакт с ионным раствором, создавая слой поверхностных зарядов и противоионов или двойной слой . [4] Из-за теплового движения ионов слой противоионов представляет собой диффузный слой и более протяженный, чем один молекулярный слой, как ранее предполагал Герман Гельмгольц в модели Гельмгольца. [3] Модель слоя Штерна идет на шаг дальше и учитывает конечный размер иона.

ТеорияВажные характеристикиПредположения
ГельмгольцПоверхностный заряд нейтрализуется молекулярным слоем противоионов; потенциал поверхностного заряда линейно рассеивается от поверхности к противоионам для удовлетворения заряда [5]Тепловое движение, диффузия ионов, адсорбция на поверхности, взаимодействия растворителя с поверхностью считаются незначительными [5]
Гуи-ЧапманУчтено тепловое движение ионов; ионы ведут себя как точечные заряды [6]Конечный размер иона игнорируется; равномерно заряженная поверхность; некулоновские взаимодействия игнорируются [6]
СтернРассматривается конечный размер иона и сфера гидратации; некоторые ионы специфически адсорбируются поверхностью в плоскости, известной как слой Штерна [7]Слой Штерна тонкий по сравнению с размером частиц; скорость жидкости = 0 в слое Штерна [7]

Модель Гуи–Чепмена объясняет емкостные качества электрического двойного слоя. [4] Простой плоский случай с отрицательно заряженной поверхностью можно увидеть на рисунке ниже. Как и ожидалось, концентрация противоионов выше вблизи поверхности, чем в объеме раствора.

Простой плоский случай для модели Гуи–Чепмена

Уравнение Пуассона–Больцмана описывает электрохимический потенциал ионов в диффузном слое. Трехмерное распределение потенциала можно описать уравнением Пуассона [4] , где ∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ х 2 + ∂ 2 ψ ∂ у 2 + ∂ 2 ψ ∂ з 2 = − ρ е ε г ε 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}},}

Свобода движения ионов в растворе может быть учтена статистикой Больцмана . Уравнение Больцмана используется для расчета локальной плотности ионов таким образом, что где с я = с я 0 ⋅ е − Вт я к Б Т , {\displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}\cdot e^{\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}},}

  • с я 0 {\displaystyle c_{i}^{0}} — концентрация ионов в объеме, [8]
  • Вт я {\displaystyle W_{i}} это работа, необходимая для перемещения иона ближе к поверхности с бесконечно большого расстояния,
  • к Б {\displaystyle k_ {\mathrm {B} }} постоянная Больцмана ,
  • Т {\displaystyle Т} температура в градусах Кельвина .

Уравнение для локальной плотности ионов можно подставить в уравнение Пуассона, предположив, что совершаемая работа представляет собой только электрическую работу, что наш раствор состоит из соли 1:1 (например, NaCl), и что концентрация соли намного выше концентрации ионов. [4] Электрическая работа по перемещению заряженного катиона или заряженного аниона на поверхность с потенциалом ψ может быть представлена ​​как и соответственно. [4] Эти уравнения работы можно подставить в уравнение Больцмана, получив два выражения и , где e — заряд электрона, 1,602 × 10 Вт + = е ψ {\displaystyle W^{+}=e\psi } Вт − = − е ψ {\displaystyle W^{-}=-e\psi } с − = с 0 ⋅ е е ψ ( х , у , з ) к Б Т {\displaystyle c^{-}=c_{0}\cdot e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}} с + = с 0 ⋅ е − е ψ ( х , у , з ) к Б Т {\displaystyle c^{+}=c_{0}\cdot e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}} −19 кулонов.

Подставляя эти соотношения Больцмана в выражение локальной плотности электрического заряда, можно получить следующее выражение ρ е = е ( с + − с − ) = с 0 е ⋅ [ е − е ψ ( х , у , з ) к Б Т − е е ψ ( х , у , з ) к Б Т ] . {\displaystyle \rho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}e\cdot \left[e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}-e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right].}

Наконец, плотность заряда можно подставить в уравнение Пуассона, чтобы получить уравнение Пуассона–Больцмана. [4]

Уравнение Пуассона–Больцмана может принимать различные формы в различных научных областях. В биофизике и некоторых приложениях химии поверхности оно известно просто как уравнение Пуассона–Больцмана. [9] Оно также известно в электрохимии как теория Гуи-Чепмена; в химии растворов как теория Дебая–Хюккеля ; в коллоидной химии как теория Дерягина–Ландау–Фервея–Овербека (DLVO) . [9] Для применения уравнения Пуассона–Больцмана к различным моделям интерфейса необходимы лишь незначительные изменения, что делает его весьма полезным инструментом для определения электростатического потенциала на поверхностях. [4]

Аналитическое решение

Поскольку уравнение Пуассона–Больцмана является частным дифференциалом второго порядка, его обычно решают численно ; однако при определенных геометриях его можно решить аналитически.

Геометрии

Геометрия, которая наиболее легко способствует этому, — это плоская поверхность. В случае бесконечно протяженной плоской поверхности есть два измерения, в которых потенциал не может измениться из-за симметрии. Предполагая, что эти измерения — измерения y и z, остается только измерение x. Ниже приведено уравнение Пуассона–Больцмана, решенное аналитически в терминах производной второго порядка по x. [4]

г 2 ψ г х 2 = с 0 е ε ε 0 ⋅ [ е е ψ ( х ) к Б Т − е − е ψ ( х ) к Б Т ] {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {c_{0}e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot \left[ e^{\frac {e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}-e^{\frac {-e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T }}\верно]}

Аналитические решения были также найдены для осевых и сферических случаев в конкретном исследовании. [10] Уравнение имеет форму логарифма степенного ряда и выглядит следующим образом: г 2 ψ г г 2 + Л г г ψ г г = е ψ − δ е − ψ {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{ \psi }-\delta e^{-\psi }}

Он использует безразмерный потенциал , а длины измеряются в единицах радиуса электрона Дебая в области нулевого потенциала (где обозначает плотность числа отрицательных ионов в области нулевого потенциала). Для сферического случая L=2, аксиального случая L=1 и плоского случая L=0. ψ = е Ф к Т {\displaystyle \psi = {\frac {e\Phi {kT}}} Р е Д = к Т 4 π е 2 н е 0 {\displaystyle R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}} н е 0 {\displaystyle n_{e0}}

Случаи с низким и высоким потенциалом

При использовании уравнения Пуассона–Больцмана важно определить, является ли конкретный случай низким или высоким потенциалом . Случай высокого потенциала становится более сложным, поэтому, если применимо, используйте уравнение низкого потенциала. В условиях низкого потенциала линеаризованная версия уравнения Пуассона–Больцмана (показано ниже) действительна, и она обычно используется, поскольку она более проста и охватывает широкий спектр случаев. [11] ψ = ψ 0 е − К х {\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{-\mathrm {K} x}}

Низкопотенциальные условия

Строго говоря, низкий потенциал означает, что ; однако результаты, которые дают уравнения, справедливы для более широкого диапазона потенциалов, от 50 до 80 мВ. [4] Тем не менее, при комнатной температуре, и это, как правило, стандарт. [4] Некоторые граничные условия, которые применяются в случаях низкого потенциала, таковы: на поверхности потенциал должен быть равен поверхностному потенциалу, а на больших расстояниях от поверхности потенциал стремится к нулевому значению. Эта длина затухания расстояния получается из уравнения длины Дебая . [4] е | ψ | ≪ к Б Т {\displaystyle e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T} ψ ≤ 25 м В {\displaystyle \psi \leq \mathrm {25мВ} } λ Д {\displaystyle \лямбда _{D}}

К = 2 с 0 е 2 ε ε 0 к Б Т {\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_ {\mathrm {B} }T}}}}

λ Д = К − 1 {\displaystyle \lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}}

По мере увеличения концентрации соли длина Дебая уменьшается из-за того, что ионы в растворе экранируют поверхностный заряд. [12] Особый случай этого уравнения — случай воды с одновалентной солью. [4] Тогда уравнение длины Дебая имеет вид: 25 ∘ С {\displaystyle 25^{\circ }С}

λ Д = 0,304 н м с 0 {\displaystyle \lambda _{D}={\frac {\mathrm {0,304 нм} }{\sqrt {c_{0}}}}}

где — концентрация соли в моль/л. Все эти уравнения требуют случаев концентрации соли 1:1, но если присутствуют ионы с более высокой валентностью, используется следующий случай. [4] с 0 {\displaystyle c_{0}}

К = е 2 ε ε 0 к Б Т ∑ с я З я 2 {\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{Z_{i}}^{2}}}}

Дело с высоким потенциалом

Случай высокого потенциала называется «полным одномерным случаем». Для получения уравнения используется общее решение уравнения Пуассона–Больцмана, а случай низких потенциалов опускается. Уравнение решается с безразмерным параметром , который не следует путать с символом пространственной координаты y. [4] Используя несколько тригонометрических тождеств и граничных условий, что на больших расстояниях от поверхности безразмерный потенциал и его производная равны нулю, раскрывается уравнение высокого потенциала. [4] у ≡ е ψ к Б Т {\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}

е − К х = ( е у / 2 − 1 ) ( е у 0 / 2 + 1 ) ( е у / 2 + 1 ) ( е у 0 / 2 − 1 ) {\displaystyle e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{ y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}}

Решенное уравнение показано ниже. е у / 2 {\displaystyle e^{y/2}}

е у / 2 = е у 0 / 2 + 1 + ( е у 0 / 2 − 1 ) ⋅ е − К х е у 0 / 2 + 1 − ( е у 0 / 2 − 1 ) ⋅ е − К х {\displaystyle e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}

Чтобы получить более полезное уравнение, облегчающее построение графиков распределений высокого потенциала, возьмите натуральный логарифм обеих сторон и решите его относительно безразмерного потенциала y.

y = 2 ln ⁡ e y 0 / 2 + 1 + ( e y 0 / 2 − 1 ) ⋅ e − K x e y 0 / 2 + 1 − ( e y 0 / 2 − 1 ) ⋅ e − K x {\displaystyle y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}

Зная, что , подставим это вместо y в предыдущее уравнение и решим относительно . Получается следующее уравнение. y ≡ e ψ k B T {\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}} ψ {\displaystyle \psi }

ψ = 2 k B T e ⋅ ln ⁡ e y 0 / 2 + 1 + ( e y 0 / 2 − 1 ) ⋅ e − K x e y 0 / 2 + 1 − ( e y 0 / 2 − 1 ) ⋅ e − K x {\displaystyle \psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}\cdot \ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}

y 0 = e ψ 0 k B T {\displaystyle y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}}

Условия

В случаях низкого потенциала можно использовать уравнение высокого потенциала, и оно все равно даст точные результаты. По мере повышения потенциала линейный случай низкого потенциала переоценивает потенциал как функцию расстояния от поверхности. Эта переоценка видна на расстояниях, меньших половины длины Дебая , где спад круче экспоненциального спада. На следующем рисунке используются линеаризованное уравнение и графическое уравнение высокого потенциала, выведенное выше. Это график зависимости потенциала от расстояния для различных поверхностных потенциалов 50, 100, 150 и 200 мВ. Уравнения, используемые на этом рисунке, предполагают раствор NaCl 80 мМ.

Потенциал против расстояния для различных поверхностных потенциалов 50, 100, 150 и 200 мВ. Уравнения, используемые на этом рисунке, предполагают 80 мМ раствор NaCl.

Общие приложения

Уравнение Пуассона–Больцмана может применяться в различных областях, главным образом как инструмент моделирования для создания приближений для таких приложений, как заряженные биомолекулярные взаимодействия, динамика электронов в полупроводниках или плазме и т. д. Большинство приложений этого уравнения используются в качестве моделей для получения более глубокого понимания электростатики .

Физиологическое применение

Уравнение Пуассона-Больцмана может быть применено к биомолекулярным системам. Одним из примеров является связывание электролитов с биомолекулами в растворе. Этот процесс зависит от электростатического поля, генерируемого молекулой, электростатического потенциала на поверхности молекулы, а также электростатической свободной энергии. [13]

Линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана может быть использовано для расчета электростатического потенциала и свободной энергии высокозаряженных молекул, таких как тРНК в ионном растворе с различным числом связанных ионов при различных физиологических ионных силах. Показано, что электростатический потенциал зависит от заряда молекулы, в то время как электростатическая свободная энергия учитывает чистый заряд системы. [14]

Другим примером использования уравнения Пуассона-Больцмана является определение профиля электрического потенциала в точках, перпендикулярных фосфолипидному бислою эритроцита . При этом учитываются как гликокаликсный , так и спектриновый слои мембраны эритроцита. Эта информация полезна по многим причинам, включая изучение механической стабильности мембраны эритроцита. [15]

Электростатическая свободная энергия

Уравнение Пуассона–Больцмана можно также использовать для расчета электростатической свободной энергии для гипотетической зарядки сферы с использованием следующего интеграла зарядки: где — конечный заряд на сфере Δ G el = ∫ τ q U ( τ ′ ) d τ ′ {\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '} τ q {\displaystyle \tau q}

Электростатическая свободная энергия может быть также выражена с помощью процесса зарядной системы. Следующее выражение использует химический потенциал молекул растворенного вещества и реализует уравнение Пуассона-Больцмана с функционалом Эйлера-Лагранжа : Δ G el = ∫ V ( k T ∑ i c i ∞ [ 1 − exp ⁡ ( − z i q U k T ) ] + p f U − − ε ( ∇ U ) 2 8 π ) d V {\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2}}{8\pi }}\right)dV}

Обратите внимание, что свободная энергия не зависит от пути зарядки [5c].

Вышеприведенное выражение можно переписать в виде отдельных членов свободной энергии на основе различных вкладов в общую свободную энергию, где Δ G el = Δ G ef + Δ G em + Δ G mob + Δ G solv {\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\Delta G^{\text{ef}}+\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}

  • Электростатические фиксированные заряды = Δ G ef = ∫ V p f U 2 d V {\displaystyle \Delta G^{\text{ef}}=\int _{V}{\frac {p^{f}U}{2}}dV}
  • Электростатические подвижные заряды = Δ G em = ∫ V ∑ i c i z i q U 2 d V {\displaystyle \Delta G^{\text{em}}=\int _{V}{\frac {\sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV}
  • Энтропийная свободная энергия смешения мобильных видов = Δ G mob = k T ∫ V c i ln ⁡ c i c i ∞ d V {\displaystyle \Delta G^{\text{mob}}=kT\int _{V}c_{i}\ln {\frac {c_{i}}{c_{i}^{\infty }}}dV}
  • Энтропийная свободная энергия смешения растворителя = Δ G solv = k T ∫ V ∑ i c i ∞ [ 1 − exp ⁡ ( − z i q U k T ) ] d V {\displaystyle \Delta G^{\text{solv}}=kT\int _{V}\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]dV}

Наконец, объединив последние три члена, получим следующее уравнение, представляющее вклад внешнего пространства в интеграл плотности свободной энергии: Δ G out = Δ G em + Δ G mob + Δ G solv {\displaystyle \Delta G^{\text{out}}=\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}

Эти уравнения могут действовать как простые геометрические модели для биологических систем, таких как белки , нуклеиновые кислоты и мембраны. [13] Это включает в себя уравнения, решаемые с простыми граничными условиями, такими как постоянный поверхностный потенциал. Эти приближения полезны в таких областях, как коллоидная химия . [13]

Материаловедение

Аналитическое решение уравнения Пуассона–Больцмана может быть использовано для описания электрон-электронного взаимодействия в металл-диэлектрик- полупроводнике (MIS). [16] Это может быть использовано для описания как временной, так и позиционной зависимости диссипативных систем , таких как мезоскопическая система. Это делается путем аналитического решения уравнения Пуассона–Больцмана в трехмерном случае. Решение этого приводит к выражениям функции распределения для уравнения Больцмана и самосогласованного среднего потенциала для уравнения Пуассона . Эти выражения полезны для анализа квантового транспорта в мезоскопической системе. В туннельных переходах металл-диэлектрик-полупроводник электроны могут накапливаться близко к границе раздела между слоями, и в результате квантовый транспорт системы будет зависеть от электрон-электронных взаимодействий. [16] Некоторые транспортные свойства, такие как электрический ток и электронная плотность, могут быть известны путем решения для самосогласованного кулоновского среднего потенциала из электрон-электронных взаимодействий, которые связаны с электронным распределением. Поэтому важно аналитически решить уравнение Пуассона-Больцмана, чтобы получить аналитические величины в туннельных переходах МИС. [16] Применяя следующее аналитическое решение уравнения Пуассона-Больцмана (см. раздел 2) к туннельным переходам МИС, можно сформировать следующее выражение для выражения электронных транспортных величин, таких как электронная плотность и электрический ток f 1 f 0 − f 0 + e E z τ 0 m ∂ f 0 ∂ v z ( 1 − e − τ τ 0 ) − ∫ 0 t e m e t − τ ′ τ 0 ∇ ρ [ r − v ( t − t ′ ) ] × ∂ f 0 ∂ v d t ′ {\displaystyle f_{1}f^{0}-f_{0}+{\frac {eE_{z}\tau _{0}}{m}}{\frac {\partial f_{0}}{\partial v_{z}}}\left(1-e^{\frac {-\tau }{\tau _{0}}}\right)-\int _{0}^{t}{\frac {e}{m}}e{^{\frac {t-\tau '}{\tau _{0}}}}\nabla \rho [r-v(t-t')]\times {\frac {\partial f_{0}}{\partial v}}dt'}

Применяя приведенное выше уравнение к туннельному переходу MIS, электронный транспорт можно проанализировать вдоль оси z, которая перпендикулярна плоскости слоев. В этом случае выбирается переход n-типа со смещением V, приложенным вдоль оси z. Самосогласованный средний потенциал системы можно найти с помощью где ρ ρ 1 + ρ 2 {\displaystyle \rho \rho _{1}+\rho _{2}}

  • ρ 1 ≈ a E z 2 λ D 1 e − λ D 1 z {\displaystyle \rho _{1}\approx {\frac {aE_{z}}{2\lambda _{D1}}}e^{-\lambda _{D1}z}} и
  • ρ 2 ≈ n e π G ( i λ D 1 ) e − t τ 0 − λ D 1 z 3 3 ε 0 ε r λ D 1 ( 1 − e 1 − 2 n e 2 t 2 m ε 0 ε r ) {\displaystyle \rho _{2}\approx {\frac {ne{\sqrt {\pi }}G(i\lambda _{D1})e^{{\frac {-t}{\tau _{0}}}-\lambda _{D1}z}}{3{\sqrt {3}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\lambda _{D1}}}\left(1-e^{1-{\sqrt {\frac {2ne^{2}t^{2}}{m\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}}\right)}

λ называется длиной Дебая .

Электронная плотность и электрический ток могут быть найдены путем манипуляции с уравнением 16 выше как функциями положения z. Эти величины электронного транспорта могут быть использованы для понимания различных свойств транспорта в системе.

Ограничения[4]

Как и любая приближенная модель, уравнение Пуассона–Больцмана является приближением, а не точным представлением. Было сделано несколько предположений для аппроксимации потенциала диффузного слоя. Конечный размер ионов считался незначительным, и ионы рассматривались как отдельные точечные заряды, где предполагалось, что ионы взаимодействуют со средним электростатическим полем всех своих соседей, а не с каждым соседом по отдельности. Кроме того, некулоновские взаимодействия не рассматривались, и некоторые взаимодействия не учитывались, такие как перекрытие сфер гидратации ионов в водной системе. Диэлектрическая проницаемость растворителя предполагалась постоянной, что приводило к грубому приближению, поскольку полярные молекулы не могут свободно перемещаться, когда они сталкиваются с сильным электрическим полем на твердой поверхности.

Хотя модель сталкивается с определенными ограничениями, она очень хорошо описывает электрические двойные слои. Ошибки, возникающие из-за ранее упомянутых предположений, по большей части компенсируют друг друга. Учет некулоновских взаимодействий увеличивает концентрацию ионов на поверхности и приводит к снижению поверхностного потенциала. С другой стороны, включение конечного размера ионов вызывает противоположный эффект. Уравнение Пуассона–Больцмана наиболее подходит для аппроксимации электростатического потенциала на поверхности для водных растворов одновалентных солей при концентрациях менее 0,2 М и потенциалах, не превышающих 50–80 мВ.

В пределе сильных электростатических взаимодействий теория сильной связи более применима, чем слабая связь, предполагаемая при выводе теории Пуассона-Больцмана. [17]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Нетц, Р. Р.; Орланд, Х. (2000-02-01). «За пределами Пуассона-Больцмана: эффекты флуктуации и корреляционные функции». The European Physical Journal E . 1 (2): 203–214. arXiv : cond-mat/9902085 . Bibcode :2000EPJE....1..203N. doi :10.1007/s101890050023. ISSN  1292-8941. S2CID  119468015.
  2. ^ Аттард, Фил (2002-08-07). Термодинамика и статистическая механика: Равновесие путем максимизации энтропии. Academic Press. стр. 318. ISBN 978-0-12-066321-7.
  3. ^ ab Fogolari, F.; Brigo, A.; Molinari, H. (2002). «Уравнение Пуассона–Больцмана для биомолекулярной электростатики: инструмент для структурной биологии». J. Mol. Recogniz . 15 (6): 379–385. doi :10.1002/jmr.577. PMID  12501158. S2CID  17184352.
  4. ^ abcdefghijklmnop Батт, Х.; Граф, Л.; Каппль, М. (2006). Физика и химия интерфейсов (2-е изд.). Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40629-6.
  5. ^ ab New Mexico State University. "Electric Double Layer" . Получено 1 июня 2014 г.
  6. ^ ab Simon Fraser University. "Химия 465 Лекция 10" (PDF) . Получено 1 июня 2014 г.
  7. ^ ab Department of Chemical Engineering, Carnegie Mellon University. "Применение динамической модели слоя Штерна к измерениям электрофоретической подвижности частиц латекса" (PDF) . Получено 1 июня 2014 г.
  8. ^ "Электрический двойной слой". web.nmsu.edu . Получено 2018-06-01 .
  9. ^ ab Lu, BZ; et al. (2008). «Последний прогресс в численных методах для уравнения Пуассона-Больцмана в биофизических приложениях». Commun. Comput. Phys. 3 (5): 973–1009 [стр. 974–980].
  10. ^ Д'Ячков, LG (2005). "Аналитическое решение уравнения Пуассона–Больцмана в случаях сферической и осевой симметрии". Technical Physics Letters . 31 (3): 204–207. Bibcode :2005TePhL..31..204D. doi :10.1134/1.1894433. S2CID  120529487.
  11. ^ Tuinier, R. (2003). «Приближенные решения уравнения Пуассона–Больцмана в сферической и цилиндрической геометрии». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 258 (1): 45–49. Bibcode : 2003JCIS..258...45T. doi : 10.1016/S0021-9797(02)00142-X.
  12. ^ Sperelakis, N. (2012). Справочник по клеточной физиологии: молекулярный подход (3-е изд.). Сан-Диего: Acad. ISBN 978-0-12-387738-3.
  13. ^ abc Fogolari, Federico; Zuccato, Pierfrancesco; Esposito, Gennaro; Viglino, Paola (1999). «Биомолекулярная электростатика с линеаризованным уравнением Пуассона–Больцмана». Biophysical Journal . 76 (1): 1–16. Bibcode :1999BpJ....76....1F. doi :10.1016/S0006-3495(99)77173-0. PMC 1302495 . PMID  9876118. 
  14. ^ Грузиэль, Магдалена; Гроховский, Павел; Трильска, Иоанна (2008). «Модель Пуассона-Больцмана для тРНК». Дж. Компьютер. хим. 29 (12): 1970–1981. дои : 10.1002/jcc.20953. ПМК 2599918 . ПМИД  18432617.  
  15. ^ Cruz, Frederico AO; Vilhena, Fernando SDS; Cortez, Celia M. (2000). «Решения нелинейного уравнения Пуассона–Больцмана для мембраны эритроцитов». Brazilian Journal of Physics . 30 (2): 403–409. Bibcode : 2000BrJPh..30..403C. doi : 10.1590/S0103-97332000000200023 .
  16. ^ abc Чжан Ли-Чжи; Ван Чжэн-Чуань (2009). «Аналитическое решение уравнения Больцмана-Пуассона и его применение к туннельным переходам МИС». Chinese Physics B . 18 (2): 2975–2980. Bibcode :2009ChPhB..18.2975Z. doi :10.1088/1674-1056/18/7/059. S2CID  250813154.
  17. ^ Moreira, AG; Netz, RR (2000). «Теория сильной связи для распределений противоионов». Europhysics Letters . 52 (6): 705–711. arXiv : cond-mat/0009376 . Bibcode : 2000EL.....52..705M. doi : 10.1209/epl/i2000-00495-1. S2CID  18058376.
Викиверситет содержит обучающие ресурсы о профиле Пуассона-Больцмана для ионного канала.
  • Адаптивный решатель Пуассона–Больцмана – бесплатный программный пакет с открытым исходным кодом для электростатики Пуассона–Больцмана и биомолекулярной сольватации.
  • Zap – решатель электростатики Пуассона-Больцмана
  • Решатель Пуассона-Больцмана на основе согласованного интерфейса и границ MIBPB
  • CHARMM-GUI: решатель PBEQ
  • AFMPB — адаптивный быстрый многополюсный решатель Пуассона–Больцмана, бесплатный и с открытым исходным кодом
  • Глобальные классические решения уравнения Больцмана с дальнодействующими взаимодействиями, Филип Т. Грессман и Роберт М. Стрейн, 2009, Пенсильванский университет, математический факультет, Филадельфия, Пенсильвания, США.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Poisson–Boltzmann_equation&oldid=1239513543"