Теорема единственности для уравнения Пуассона

Теорема единственности для уравнения Пуассона утверждает, что для большого класса граничных условий уравнение может иметь много решений, но градиент каждого решения один и тот же. В случае электростатики это означает, что существует единственное электрическое поле , полученное из потенциальной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона при граничных условиях.

Общее выражение для уравнения Пуассона в электростатике имеет вид

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =- {\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},}$

где — электрический потенциал , а — распределение заряда по некоторой области с граничной поверхностью .${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \rho _{f}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$

Единственность решения может быть доказана для большого класса граничных условий следующим образом.

Предположим, что мы утверждаем, что имеем два решения уравнения Пуассона. Назовем эти два решения и . Тогда${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}=- {\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},}$и

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=- {\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}.}$

Отсюда следует, что является решением уравнения Лапласа , которое является частным случаем уравнения Пуассона , которое равно . Вычитание двух решений выше дает ${\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}-\mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}= 0.}$$

( 1 )

Применяя векторное дифференциальное тождество, мы знаем, что

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi)=\,(\nabla \varphi)^{2}+\varphi \,\nabla ^{2}\varphi.}$

Однако из ( 1 ) мы также знаем, что во всей области Следовательно, второй член стремится к нулю, и мы находим, что${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0.}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \, \nabla \varphi) = \, (\nabla \varphi)^{2}.}$

Взяв объемный интеграл по области , находим, что${\displaystyle V}$

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi)\,\mathrm {d} V=\int _{V}(\mathbf { \nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.}$

Применяя теорему о дивергенции , перепишем приведенное выше выражение как

$${\displaystyle \int _{S}(\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}(\mathbf {\nabla } \ varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.}$$

( 2 )

Теперь последовательно рассмотрим три различных граничных условия: граничное условие Дирихле, граничное условие Неймана и смешанное граничное условие.

Сначала рассмотрим случай, когда граничные условия Дирихле заданы как на границе области. Если граничное условие Дирихле удовлетворяется на обоих решениях (т.е. если на границе), то левая часть ( 2 ) равна нулю. Следовательно, находим, что${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi =0}$

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi)^{2}\,\mathrm {d} V=0.}$

Так как это объемный интеграл положительной величины (из-за квадратичного члена), то мы должны иметь во всех точках. Далее, так как градиент везде равен нулю и равен нулю на границе, должен быть равен нулю во всей области. Наконец, так как во всей области, и так как во всей области, следовательно, во всей области. Это завершает доказательство того, что существует единственное решение уравнения Пуассона с граничным условием Дирихле.${\displaystyle \набла \varphi =0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$

Во-вторых, рассмотрим случай, когда граничные условия Неймана заданы как на границе области. Если граничное условие Неймана удовлетворяется на обоих решениях, то левая часть ( 2 ) снова равна нулю. Следовательно, как и прежде, находим, что${\displaystyle \набла \varphi =0}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi)^{2}\,\mathrm {d} V=0.}$

Как и прежде, поскольку это объемный интеграл положительной величины, мы должны иметь во всех точках. Далее, поскольку градиент везде равен нулю внутри объема , и поскольку градиент везде равен нулю на границе , следовательно, должен быть постоянным ---но не обязательно нулевым --- во всей области. Наконец, поскольку во всей области, и поскольку во всей области, следовательно, во всей области. Это завершает доказательство того, что существует единственное решение с точностью до аддитивной константы уравнения Пуассона с граничным условием Неймана.${\displaystyle \набла \varphi =0}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi =k}$${\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}-k}$

Смешанные граничные условия могут быть заданы, если либо градиент , либо потенциал указаны в каждой точке границы. Граничные условия на бесконечности также выполняются. Это является результатом того, что поверхностный интеграл в ( 2 ) все еще исчезает на больших расстояниях, поскольку подынтегральное выражение затухает быстрее, чем растет площадь поверхности.

• Уравнение Пуассона
• Закон Гаусса
• Закон Кулона
• Метод изображения
• Функция Грина
• Теорема единственности
• Сферические гармоники

• Л. Д. Ландау, Э. М. Лифшиц (1975). Классическая теория полей . Т. 2 (4-е изд.). Баттерворт–Хайнеман . ISBN 978-0-7506-2768-9.
• JD Jackson (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-30932-1.