Нелинейное уравнение Шредингера
Нелинейная форма уравнения Шредингера
Абсолютное значение комплексной огибающей точных аналитических бризерных решений нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) ​​в безразмерной форме. (A) Бризер Ахмедиева; (B) Бризер Перегрина ; (C) Бризер Кузнецова–Ма. [1]

В теоретической физике (одномерное) нелинейное уравнение Шредингера ( NLSE ) является нелинейной вариацией уравнения Шредингера . Это классическое уравнение поля , основные приложения которого — распространение света в нелинейных оптических волокнах и планарных волноводах [2] и конденсаты Бозе-Эйнштейна, ограниченные высокоанизотропными сигарообразными ловушками в режиме среднего поля . [3] Кроме того, уравнение появляется в исследованиях малоамплитудных гравитационных волн на поверхности глубокой невязкой (нулевой вязкости) воды; [2] волн Ленгмюра в горячей плазме ; [2] распространения плоскодифрагированных волновых пучков в фокусирующих областях ионосферы; [4] распространения солитонов альфа-спирали Давыдова , которые отвечают за перенос энергии вдоль молекулярных цепей; [5] и многих других. В более общем смысле, NLSE выступает как одно из универсальных уравнений, описывающих эволюцию медленно меняющихся пакетов квазимонохроматических волн в слабонелинейных средах, имеющих дисперсию . [2] В отличие от линейного уравнения Шредингера , NLSE никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния. [ необходима ссылка ] 1D NLSE является примером интегрируемой модели .

В квантовой механике одномерное нелинейное уравнение Шредингера является частным случаем классического нелинейного поля Шредингера , которое, в свою очередь, является классическим пределом квантового поля Шредингера. Наоборот, когда классическое поле Шредингера канонически квантуется , оно становится квантовой теорией поля (которая является линейной, несмотря на то, что она называется «квантовым нелинейным уравнением Шредингера»), которая описывает бозонные точечные частицы с дельта-функциональными взаимодействиями — частицы либо отталкиваются, либо притягиваются, когда они находятся в одной точке. Фактически, когда число частиц конечно, эта квантовая теория поля эквивалентна модели Либа–Линигера . Как квантовые, так и классические одномерные нелинейные уравнения Шредингера интегрируемы. Особый интерес представляет предел бесконечной силы отталкивания, в этом случае модель Либа–Линигера становится газом Тонкса–Жирардо (также называемым жестким бозе-газом или непроницаемым бозе-газом). В этом пределе бозоны могут быть преобразованы в систему одномерных невзаимодействующих бесспиновых [6] фермионов путем замены переменных, которая является континуальным обобщением преобразования Жордана–Вигнера . [7]

Нелинейное уравнение Шредингера представляет собой упрощенную 1+1-мерную форму уравнения Гинзбурга–Ландау, введенного в 1950 году в их работе по сверхпроводимости, и было явно записано Р. Я. Чиао, Э. Гармиром и К. Х. Таунсом (1964, уравнение (5)) при изучении оптических пучков.

Многомерная версия заменяет вторую пространственную производную на лапласиан. В более чем одном измерении уравнение не интегрируется, оно допускает коллапс и волновую турбулентность. [8]

Определение

Нелинейное уравнение Шредингера — это нелинейное уравнение в частных производных , применимое к классической и квантовой механике .

Классическое уравнение

Классическое уравнение поля (в безразмерной форме) имеет вид: [9]

Нелинейное уравнение Шредингера (Классическая теория поля)

я ∂ т ψ = − 1 2 ∂ х 2 ψ + к | ψ | 2 ψ {\displaystyle i\partial _{t}\psi =-{1 \over 2}\partial _{x}^{2}\psi +\kappa |\psi |^{2}\psi }

для комплексного поля ψ ( x , t ).

Это уравнение возникает из гамильтониана [9]

ЧАС = ∫ г х [ 1 2 | ∂ х ψ | 2 + к 2 | ψ | 4 ] {\displaystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{4}\right]}

со скобками Пуассона

{ ψ ( х ) , ψ ( у ) } = { ψ ∗ ( х ) , ψ ∗ ( у ) } = 0 {\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}
{ ψ ∗ ( х ) , ψ ( у ) } = я δ ( х − у ) . {\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (xy).\,}

В отличие от своего линейного аналога, он никогда не описывает временную эволюцию квантового состояния. [ необходима цитата ]

Случай с отрицательным κ называется фокусировкой и допускает яркие солитонные решения (локализованные в пространстве и имеющие пространственное затухание к бесконечности), а также бризерные решения. Его можно решить точно с помощью обратного преобразования рассеяния , как показано Захаровым и Шабатом (1972) (см. ниже). Другой случай с положительным κ — это дефокусирующий NLS, который имеет темные солитонные решения (имеющие постоянную амплитуду на бесконечности и локальный пространственный провал в амплитуде). [10]

Квантовая механика

Чтобы получить квантованную версию , просто замените скобки Пуассона на коммутаторы.

[ ψ ( х ) , ψ ( у ) ] = [ ψ ∗ ( х ) , ψ ∗ ( у ) ] = 0 [ ψ ∗ ( х ) , ψ ( у ) ] = − δ ( х − у ) {\displaystyle {\begin{align}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (xy)\end{align}}}

и нормальный порядок гамильтониана

ЧАС = ∫ г х [ 1 2 ∂ х ψ † ∂ х ψ + к 2 ψ † ψ † ψ ψ ] . {\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}

Квантовая версия была решена методом Бете Либом и Линигером . Термодинамика была описана Чен-Нин Янгом . Квантовые корреляционные функции также были оценены Корепиным в 1993 году. [7] Модель имеет более высокие законы сохранения - Дэвис и Корепин в 1989 году выразили их в терминах локальных полей. [11]

Решение

Нелинейное уравнение Шредингера интегрируемо в 1d: Захаров и Шабат (1972) решили его с помощью обратного преобразования рассеяния . Соответствующая линейная система уравнений известна как система Захарова–Шабата:

ϕ х = Дж. ϕ Λ + У ϕ ϕ т = 2 Дж. ϕ Λ 2 + 2 У ϕ Λ + ( Дж. У 2 − Дж. У х ) ϕ , {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{x}&=J\phi \Lambda +U\phi \\\phi _{t}&=2J\phi \Lambda ^{2}+2U\phi \Lambda +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\phi ,\end{aligned}}}

где

Λ = ( λ 1 0 0 λ 2 ) , Дж. = я σ з = ( я 0 0 − я ) , У = я ( 0 д г 0 ) . {\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\quad J=i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad U=i{\begin{pmatrix}0&q\\r&0\end{pmatrix}}.}

Нелинейное уравнение Шредингера возникает как условие совместности системы Захарова–Шабата:

ϕ х т = ϕ т х ⇒ У т = − Дж. У х х + 2 Дж. У 2 У ⇔ { я д т = д х х + 2 д г д я г т = − г х х − 2 д г г . {\displaystyle \phi _{xt}=\phi _{tx}\quad \Rightarrow \quad U_{t}=-JU_{xx}+2JU^{2}U\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}iq_{t}=q_{xx}+2qrq\\ir_{t}=-r_{xx}-2qrr.\end{cases}}}

Полагая q = r * или q = − r *, получаем нелинейное уравнение Шредингера с притягивающим или отталкивающим взаимодействием.

Альтернативный подход использует систему Захарова–Шабата напрямую и применяет следующее преобразование Дарбу :

ϕ → ϕ [ 1 ] = ϕ Λ − σ ϕ У → У [ 1 ] = У + [ Дж. , σ ] σ = φ Ω φ − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\phi \to \phi [1]&=\phi \Lambda -\sigma \phi \\U\to U[1]&=U+[J,\sigma ]\\\sigma &=\varphi \Omega \varphi ^{-1}\end{aligned}}}

что оставляет систему инвариантной.

Здесь φ — другое обратимое матричное решение (отличное от ϕ ) системы Захарова–Шабата со спектральным параметром Ω:

φ х = Дж. φ Ω + У φ φ т = 2 Дж. φ Ω 2 + 2 У φ Ω + ( Дж. У 2 − Дж. У х ) φ . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{x}&=J\varphi \Omega +U\varphi \\\varphi _{t}&=2J\varphi \Omega ^{2}+2U\varphi \Omega +\left(JU^{2}-JU_{x}\right)\varphi .\end{aligned}}}

Начиная с тривиального решения U = 0 и итерируя, получаем решения с n солитонами . Этого можно достичь с помощью прямого численного моделирования, используя, например, метод расщепления шага . [12]

Приложения

Волоконная оптика

В оптике нелинейное уравнение Шредингера встречается в системе Манакова , модели распространения волн в волоконной оптике. Функция ψ представляет волну, а нелинейное уравнение Шредингера описывает распространение волны через нелинейную среду. Производная второго порядка представляет дисперсию, в то время как член κ представляет нелинейность. Уравнение моделирует множество эффектов нелинейности в волокне, включая, но не ограничиваясь, самомодуляцию фазы , четырехволновое смешение , генерацию второй гармоники , вынужденное комбинационное рассеяние , оптические солитоны , сверхкороткие импульсы и т. д.

Волны на воде

Гиперболический секанс (sech) огибающая солитона для поверхностных волн на глубокой воде.
Синяя линия: волны на воде.
Красная линия: огибающая солитона.

Для волн на воде нелинейное уравнение Шредингера описывает эволюцию огибающей модулированных волновых групп. В статье 1968 года Владимир Е. Захаров описывает гамильтонову структуру волн на воде. В той же статье Захаров показывает, что для медленно модулированных волновых групп амплитуда волны удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера, приблизительно. [13] Значение параметра нелинейности к зависит от относительной глубины воды. Для глубокой воды, когда глубина воды велика по сравнению с длиной волны волн на воде, к отрицательно и могут возникать солитоны огибающей . Кроме того, групповая скорость этих солитонов огибающей может быть увеличена ускорением, вызванным внешним зависящим от времени потоком воды. [14]

Для мелководья, с длинами волн, превышающими глубину воды более чем в 4,6 раза, параметр нелинейности к положителен и волновые группы с огибающими солитонами не существуют. В мелководье существуют солитоны возвышения поверхности или волны трансляции , но они не подчиняются нелинейному уравнению Шредингера.

Нелинейное уравнение Шредингера считается важным для объяснения образования волн-убийц . [15]

Комплексное поле ψ , как оно появляется в нелинейном уравнении Шредингера, связано с амплитудой и фазой волн на воде. Рассмотрим медленно модулированную несущую волну с возвышением поверхности воды η вида:

η = а ( х 0 , т 0 ) потому что ⁡ [ к 0 х 0 − ω 0 т 0 − θ ( х 0 , т 0 ) ] , {\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}

где a ( x 0 , t 0 ) и θ ( x 0 , t 0 ) — медленно модулированные амплитуда и фаза . Далее ω 0 и k 0 — (постоянная) угловая частота и волновое число несущих волн, которые должны удовлетворять дисперсионному соотношению ω 0 = Ω( k 0 ). Тогда

ψ = а эксп ⁡ ( я θ ) . {\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}

Таким образом, его модуль | ψ | — это амплитуда волны a , а его аргумент arg( ψ ) — это фаза θ .

Соотношение между физическими координатами ( x 0 , t 0 ) и координатами ( x, t ), используемое в нелинейном уравнении Шредингера, приведенном выше, определяется выражением:

х = к 0 [ х 0 − Ω ′ ( к 0 ) т 0 ] , т = к 0 2 [ − Ω ″ ( к 0 ) ] т 0 {\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}

Таким образом, ( x, t ) представляет собой преобразованную систему координат, движущуюся с групповой скоростью Ω'( k 0 ) несущих волн. Кривизна дисперсионного соотношения Ω"( k 0 ) – представляющая дисперсию групповой скорости – всегда отрицательна для волн на воде под действием силы тяжести, для любой глубины воды.

Для волн на поверхности глубокой воды коэффициенты важности нелинейного уравнения Шредингера равны:

κ = − 2 k 0 2 , Ω ( k 0 ) = g k 0 = ω 0 {\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}  так  Ω ′ ( k 0 ) = 1 2 ω 0 k 0 , Ω ″ ( k 0 ) = − 1 4 ω 0 k 0 2 , {\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}

где g — ускорение свободного падения на поверхности Земли.

В исходных координатах ( x 0 , t 0 ) нелинейное уравнение Шредингера для волн на воде имеет вид: [16]

i ∂ t 0 A + i Ω ′ ( k 0 ) ∂ x 0 A + 1 2 Ω ″ ( k 0 ) ∂ x 0 x 0 A − ν | A | 2 A = 0 , {\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}

с (т.е. комплексно сопряженным числом ) и So для волн на глубокой воде. A = ψ ∗ {\displaystyle A=\psi ^{*}} ψ {\displaystyle \psi } ν = κ k 0 2 Ω ″ ( k 0 ) . {\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).} ν = 1 2 ω 0 k 0 2 {\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}

Вихри

Хасимото (1972) показал, что работа да Риоса  (1906) по вихревым нитям тесно связана с нелинейным уравнением Шредингера. Впоследствии Салман (2013) использовал это соответствие, чтобы показать, что бризерные решения могут также возникать для вихревой нити.

Галилеевская инвариантность

Нелинейное уравнение Шредингера является галилеевски инвариантным в следующем смысле:

При наличии решения ψ ( x, t ) новое решение может быть получено путем замены x на x + vt везде в ψ( x, t ) и добавления фазового множителя : e − i v ( x + v t / 2 ) {\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}

ψ ( x , t ) ↦ ψ [ v ] ( x , t ) = ψ ( x + v t , t ) e − i v ( x + v t / 2 ) . {\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}

Эквивалентный аналог калибра

NLSE (1) калибровочно эквивалентно следующему изотропному уравнению Ландау-Лифшица (LLE) или уравнению ферромагнетика Гейзенберга

S → t = S → ∧ S → x x . {\displaystyle {\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.\qquad }

Обратите внимание, что это уравнение допускает несколько интегрируемых и неинтегрируемых обобщений в 2 + 1 измерениях, таких как уравнение Ишимори и т. д.

Формулировка нулевой кривизны

NLSE эквивалентен кривизне конкретной -связи , равной нулю . [17] s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

Явно, с координатами на компоненты связи задаются как где — матрицы Паули . Тогда уравнение нулевой кривизны ( x , t ) {\displaystyle (x,t)} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} A μ {\displaystyle A_{\mu }} A x = ( i λ i φ ∗ i φ − i λ ) {\displaystyle A_{x}={\begin{pmatrix}i\lambda &i\varphi ^{*}\\i\varphi &-i\lambda \end{pmatrix}}} A t = ( 2 i λ 2 − i | φ | 2 2 i λ φ ∗ + φ x ∗ 2 i λ φ − φ x − 2 i λ 2 + i | φ | 2 ) {\displaystyle A_{t}={\begin{pmatrix}2i\lambda ^{2}-i|\varphi |^{2}&2i\lambda \varphi ^{*}+\varphi _{x}^{*}\\2i\lambda \varphi -\varphi _{x}&-2i\lambda ^{2}+i|\varphi |^{2}\end{pmatrix}}} σ i {\displaystyle \sigma _{i}} ∂ t A x − ∂ x A t + [ A x , A t ] = 0 {\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0}

эквивалентно NLSE . Уравнение нулевой кривизны так названо, поскольку оно соответствует кривизне, равной нулю, если она определена . i φ t + φ x x + 2 | φ | 2 φ = 0 {\displaystyle i\varphi _{t}+\varphi _{xx}+2|\varphi |^{2}\varphi =0} F μ ν = [ ∂ μ − A μ , ∂ ν − A ν ] {\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}

Пара матриц и также известна как пара Лакса для нелинейного уравнения Шрёдингера в том смысле, что уравнение нулевой кривизны восстанавливает уравнение в частных производных, а не удовлетворяет уравнению Лакса. A x {\displaystyle A_{x}} A t {\displaystyle A_{t}}

Смотрите также

Ссылки

Примечания

  1. ^ Рисунок 1 из: Onorato, M.; Proment, D.; Clauss, G .; Klein, M. (2013), "Бродячие волны: от нелинейных решений для дыхательных аппаратов Шредингера до испытаний на мореходность", PLOS ONE , 8 (2): e54629, Bibcode : 2013PLoSO...854629O, doi : 10.1371/journal.pone.0054629 , PMC  3566097 , PMID  23405086
  2. ^ abcd Маломед, Борис (2005), «Нелинейные уравнения Шредингера», в Скотт , Олвин (ред.), Энциклопедия нелинейной науки , Нью-Йорк: Routledge, стр.  639–643
  3. ^ Питаевский, Л.; Стрингари, С. (2003), Конденсация Бозе-Эйнштейна , Оксфорд, Великобритания: Кларендон
  4. ^ Гуревич, А.В. (1978), Нелинейные явления в ионосфере , Берлин: Springer
  5. ^ Балакришнан, Р. (1985). «Распространение солитона в неоднородных средах». Physical Review A. 32 ( 2): 1144– 1149. Bibcode : 1985PhRvA..32.1144B. doi : 10.1103/PhysRevA.32.1144. PMID  9896172.
  6. ^ Возможным источником путаницы здесь является теорема о спиновой статистике , которая требует, чтобы фермионы имели полуцелый спин; однако это теорема релятивистских 3+1-мерных квантовых теорий поля и, таким образом, неприменима в этом одномерном нерелятивистском случае.
  7. ^ ab Корепин, VE; Боголюбов, NM; Изергин, AG (1993). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58646-7.
  8. ^ Г. Фалькович (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00575-4.
  9. ^ ab VE Zakharov ; SV Manakov (1974). "О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шредингера". Журнал теоретической и математической физики . 19 (3): 551– 559. Bibcode :1974TMP....19..551Z. doi :10.1007/BF01035568. S2CID  121253212. Первоначально в: Теоретическая и математическая физика 19 (3): 332–343. Июнь 1974 года.
  10. ^ Ablowitz, MJ (2011), Нелинейные дисперсионные волны. Асимптотический анализ и солитоны , Cambridge University Press, стр.  152–156 , ISBN 978-1-107-01254-7
  11. ^ "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-05-16 . Получено 2011-09-04 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
  12. ^ Ablowitz, Mark J. (2023). «Нелинейные волны и обратное преобразование рассеяния». Optik . 278 : 170710. doi : 10.1016/j.ijleo.2023.170710.
  13. ^ В. Е. Захаров (1968). «Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости». Журнал прикладной механики и технической физики . 9 (2): 190– 194. Bibcode :1968JAMTP...9..190Z. doi :10.1007/BF00913182. S2CID  55755251.Первоначально в: Журнал Прикладной Механики и Технической Физики 9 (2): 86–94, 1968.]
  14. ^ GG Rozenman, A. Arie, L. Shemer (2019). «Наблюдение ускоряющихся одиночных волновых пакетов». Phys. Rev. E. 101 ( 5): 050201. doi :10.1103/PhysRevE.101.050201. PMID  32575227. S2CID  219506298.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  15. ^ Dysthe, K.; Krogstad, HE; ​​Müller, P. (2008). «Океанические волны-убийцы». Annual Review of Fluid Mechanics . 40 (1): 287– 310. Bibcode : 2008AnRFM..40..287D. doi : 10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203.
  16. ^ Whitham, GB (1974). Линейные и нелинейные волны . Wiley-Interscience. С. 601–606 и 489–491. ISBN 0-471-94090-9.
  17. ^ Дунайски, Мачей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Oxford University Press. стр. 49. ISBN 978-0-19-857063-9.

Другой

  • Chiao, RY; Garmire, E.; Townes, CH (1964), «Самозахват оптических лучей», Phys. Rev. Lett. , 13 (15): 479– 482, Bibcode : 1964PhRvL..13..479C, doi : 10.1103/PhysRevLett.13.479
  • да Риос, Луиджи Санте (1906), «Sul moto d'un Liquido Indefinito con un filetto vorticoso di forma qualunque», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке), 22 : 117–135 , doi : 10.1007/BF03018608, JFM  37.0764.01, S2CID  120549348
  • Хасимото, Хиденори (1972), «Солитон на вихревой нити», Журнал механики жидкости , 51 (3): 477– 485, Bibcode : 1972JFM....51..477H, doi : 10.1017/S0022112072002307, S2CID  123315958
  • Салман, Хайдер (2013), «Бризеры на квантованных сверхтекучих вихрях», Phys. Rev. Lett. , 111 (16): 165301, arXiv : 1307.7531 , Bibcode : 2013PhRvL.111p5301S, doi : 10.1103/PhysRevLett.111.165301, PMID  24182275, S2CID  25062555
  • Захаров, VE; Шабат, AB (1972), "Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах", Журнал экспериментальной и теоретической физики , 34 (1): 62– 69, Bibcode : 1972JETP...34...62Z, MR  0406174, архивировано из оригинала 2016-03-07 , извлечено 2013-05-11
  • «Нелинейные системы Шредингера». Scholarpedia .
  • Учебная лекция по нелинейному уравнению Шредингера (видео).
  • Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью в EqWorld: Мир математических уравнений.
  • Нелинейное уравнение Шредингера со степенной нелинейностью в EqWorld: Мир математических уравнений.
  • Нелинейное уравнение Шредингера общего вида в EqWorld: Мир математических уравнений.
  • Математические аспекты нелинейного уравнения Шредингера на Dispersive Wiki
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Nonlinear_Schrödinger_equation&oldid=1258736026"