Групповая скорость

Групповая скорость волны — это скорость , с которой общая огибающая амплитуд волны , известная как модуляция или огибающая волны, распространяется в пространстве.

Например, если бросить камень в середину очень спокойного пруда, в воде появится круговой рисунок волн с неподвижным центром, также известный как капиллярная волна . Расширяющееся кольцо волн — это волновая группа или волновой пакет , внутри которого можно различить отдельные волны, которые движутся быстрее, чем вся группа в целом. Амплитуды отдельных волн растут по мере того, как они выходят из заднего края группы, и уменьшаются по мере приближения к переднему краю группы.

Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена У. Р. Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было дано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году. ^[2]

Групповая скорость v _g определяется уравнением: ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,}$

где ω — угловая частота волны (обычно выражается в радианах в секунду ), а k — угловое волновое число (обычно выражается в радианах на метр). Фазовая скорость равна: v _p = ω / k .

Функция ω ( k ) , которая определяет ω как функцию k , известна как дисперсионное соотношение .

• Если ω прямо пропорционально k , то групповая скорость в точности равна фазовой скорости. Волна любой формы будет распространяться неискаженной с этой скоростью .
• Если ω является линейной функцией k , но не прямо пропорциональной ( ω = ak + b ) , то групповая скорость и фазовая скорость различны. Огибающая волнового пакета (см. рисунок справа) будет перемещаться с групповой скоростью, в то время как отдельные пики и впадины внутри огибающей будут перемещаться с фазовой скоростью.
• Если ω не является линейной функцией k , огибающая волнового пакета будет искажаться по мере его перемещения. Поскольку волновой пакет содержит диапазон различных частот (и, следовательно, различных значений k ), групповая скорость ∂ω/∂k будет различной для различных значений k . Следовательно, огибающая не движется с единой скоростью, но ее компоненты волнового числа ( k ) движутся с разными скоростями, искажая огибающую. Если волновой пакет имеет узкий диапазон частот, а ω ( k ) приблизительно линейна в этом узком диапазоне, искажение импульса будет небольшим по сравнению с небольшой нелинейностью. См. дальнейшее обсуждение ниже. Например, для глубоководных гравитационных волн , , и, следовательно, v _g = v _p /2 .${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$
  Это лежит в основе модели следа Кельвина для носовой волны всех кораблей и плавающих объектов. Независимо от того, насколько быстро они движутся, пока их скорость постоянна, с каждой стороны след образует угол 19,47° = arcsin(1/3) с линией движения. ^[7]

Один из выводов формулы для групповой скорости выглядит следующим образом. ^{[8] [9]}

Рассмотрим волновой пакет как функцию положения x и времени t : α ( x , t ) .

Пусть A ( k ) — его преобразование Фурье в момент времени t = 0 ,

${\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}$

По принципу суперпозиции волновой пакет в любой момент времени t равен

${\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},}$

где ω неявно является функцией k .

Предположим , что волновой пакет α почти монохроматичен , так что A ( k ) имеет острый пик около центрального волнового числа k0 _.

Тогда линеаризация дает

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}}$

где

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$и${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}}$

(см. следующий раздел для обсуждения этого шага). Затем, после некоторой алгебры,

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}$

В этом выражении есть два фактора. Первый фактор, , описывает идеальную монохроматическую волну с волновым вектором k ₀ , с пиками и впадинами, движущимися с фазовой скоростью внутри огибающей волнового пакета.${\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}$ ${\displaystyle \omega _{0}/k_{0}}$

Другой фактор,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}}$,

дает огибающую волнового пакета. Эта огибающая функция зависит от положения и времени только через комбинацию .${\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}$

Следовательно, огибающая волнового пакета распространяется со скоростью

${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,}$

что объясняет формулу групповой скорости.

Для света показатель преломления n , длина волны в вакууме λ ₀ и длина волны в среде λ связаны соотношением

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{\rm {p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\rm {p}}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},}$

при v _p  =  ω / k фазовая скорость .

Таким образом, групповую скорость можно рассчитать по любой из следующих формул:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\rm {g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\rm {p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\rm {p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial \lambda }}=v_{\rm {p}}+k{\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial к}}.\end{выровнено}}}$

Частью предыдущего вывода является аппроксимация ряда Тейлора , которая:

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}$

Если волновой пакет имеет относительно большой разброс частот или если дисперсия ω(k) имеет резкие изменения (например, из-за резонанса ), или если пакет распространяется на очень большие расстояния, это предположение недействительно, и члены более высокого порядка в разложении Тейлора становятся важными.

В результате огибающая волнового пакета не только перемещается, но и искажается, что можно описать дисперсией групповой скорости материала . Грубо говоря, различные частотные компоненты волнового пакета движутся с разной скоростью, причем более быстрые компоненты движутся к передней части волнового пакета, а более медленные — к задней. В конце концов, волновой пакет растягивается. Это важный эффект при распространении сигналов по оптоволокну и при проектировании мощных короткоимпульсных лазеров.

Групповая скорость совокупности волн определяется как

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}$

Когда несколько синусоидальных волн распространяются вместе, результирующая суперпозиция волн может привести к образованию волны "конверта", а также волны "несущей", которая лежит внутри конверта. Это обычно происходит в беспроводной связи, когда для передачи данных используется модуляция (изменение амплитуды и/или фазы). Чтобы получить некоторое интуитивное представление об этом определении, мы рассмотрим суперпозицию (косинусоидальных) волн f(x, t) с их соответствующими угловыми частотами и волновыми векторами.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}}$

Итак, мы имеем произведение двух волн: огибающей волны, образованной f ₁ , и несущей волны, образованной f ₂ . Мы называем скорость огибающей волны групповой скоростью. Мы видим, что фазовая скорость f ₁ равна

${\displaystyle {\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

В случае непрерывного дифференциала это становится определением групповой скорости.

В контексте электромагнетизма и оптики частота является некоторой функцией ω ( k ) волнового числа, поэтому в общем случае фазовая скорость и групповая скорость зависят от конкретной среды и частоты. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью v _p известно как показатель преломления , n = c / v _p = ck / ω .

Таким образом, мы можем получить другую форму для групповой скорости для электромагнетизма. Записывая n = n (ω) , быстрый способ вывести эту форму — наблюдать

${\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .}$

Затем мы можем переставить вышесказанное, чтобы получить

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}$

Из этой формулы видно, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления не зависит от частоты . В этом случае среда называется недисперсионной, в отличие от дисперсионной , где различные свойства среды зависят от частоты ω . Это соотношение известно как дисперсионное соотношение среды.${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$${\displaystyle \omega (k)}$

Для волн, распространяющихся в трех измерениях, таких как световые волны, звуковые волны и волны материи, формулы для фазовой и групповой скорости обобщаются простым образом: ^[10]

• Одно измерение:${\displaystyle v_{\rm {p}}=\omega /k,\quad v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,}$
• Три измерения:${\displaystyle (v_{\rm {p}})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{\rm {g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}$

где означает градиент угловой частоты ω как функцию волнового вектора , а — единичный вектор в направлении k .$${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }$$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Если волны распространяются через анизотропную (т.е. не имеющую вращательной симметрии) среду, например кристалл , то вектор фазовой скорости и вектор групповой скорости могут быть направлены в разные стороны.

Групповая скорость часто рассматривается как скорость, с которой энергия или информация передаются вдоль волны. В большинстве случаев это верно, и групповую скорость можно рассматривать как скорость сигнала формы волны . Однако, если волна распространяется через поглощающую или усиливающую среду, это не всегда выполняется. В этих случаях групповая скорость может не быть четко определенной величиной или не быть значимой величиной.

В своем тексте «Распространение волн в периодических структурах» ^[11] Бриллюэн утверждал, что в среде с потерями групповая скорость перестает иметь ясный физический смысл. Пример, касающийся передачи электромагнитных волн через атомарный газ, приводит Лаудон. ^[12] Другой пример — механические волны в солнечной фотосфере : волны затухают (потоком лучистого тепла от пиков к впадинам), и в связи с этим скорость энергии часто существенно ниже групповой скорости волн. ^[13]

Несмотря на эту неоднозначность, распространенный способ расширить концепцию групповой скорости на комплексные среды состоит в том, чтобы рассмотреть пространственно затухающие плоские волновые решения внутри среды, которые характеризуются комплексным волновым вектором. Затем мнимая часть волнового вектора произвольно отбрасывается, и обычная формула для групповой скорости применяется к действительной части волнового вектора, т. е.

${\displaystyle v_{\rm {g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.}$

Или, что эквивалентно, в терминах действительной части комплексного показателя преломления , n = n + iκ , имеем ^[14]

${\displaystyle {\frac {c}{v_{\rm {g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.}$

Можно показать, что это обобщение групповой скорости продолжает быть связанным с кажущейся скоростью пика волнового пакета. ^[15] Однако приведенное выше определение не является универсальным: в качестве альтернативы можно рассмотреть затухание стоячих волн во времени (действительное k , комплексное ω ) или позволить групповой скорости быть комплексной величиной. ^{[16] [17]} Различные соображения дают различные скорости, однако все определения согласуются для случая среды без потерь и усиления.

Вышеуказанное обобщение групповой скорости для сложных сред может вести себя странно, и пример аномальной дисперсии служит хорошей иллюстрацией. На краях области аномальной дисперсии становится бесконечной (превосходя даже скорость света в вакууме) и может легко стать отрицательной (ее знак противоположен Re k ) внутри полосы аномальной дисперсии. ^{[18] [19] [20]}${\displaystyle v_{\rm {g}}}$${\displaystyle v_{\rm {g}}}$

Начиная с 1980-х годов, различные эксперименты подтвердили, что групповая скорость (определенная выше) лазерных световых импульсов, посылаемых через материалы с потерями или материалы с усилением, может значительно превышать скорость света в вакууме c . Также было замечено, что пики волновых пакетов движутся быстрее c .

Однако во всех этих случаях нет возможности, что сигналы могли бы передаваться быстрее скорости света в вакууме , поскольку высокое значение v _g не помогает ускорить истинное движение острого волнового фронта, которое возникло бы в начале любого реального сигнала. По сути, кажущаяся сверхсветовой передача является артефактом узкополосного приближения, использованного выше для определения групповой скорости, и происходит из-за резонансных явлений в промежуточной среде. При анализе широкой полосы видно, что кажущаяся парадоксальной скорость распространения огибающей сигнала на самом деле является результатом локальной интерференции более широкой полосы частот в течение многих циклов, все из которых распространяются идеально причинно и с фазовой скоростью. Результат сродни тому факту, что тени могут перемещаться быстрее света, даже если вызывающий их свет всегда распространяется со скоростью света; поскольку измеряемое явление лишь слабо связано с причинностью, оно не обязательно соблюдает правила причинного распространения, даже если при нормальных обстоятельствах это так, и приводит к общей интуиции. ^{[14] [18] [19] [21] [22]}

• У Грега Эгана на сайте есть превосходный Java-апплет, иллюстрирующий очевидную разницу между групповой и фазовой скоростью .
• У Мартена Амбаума есть веб-страница с фильмом, заархивированным 04.05.2019 на Wayback Machine, демонстрирующим важность групповой скорости для последующего развития погодных систем.
• Фазовая и групповая скорости – различные соотношения фазовой и групповой скорости (анимация)