Модель Либа–Линигера

В физике модель Либа–Линигера описывает газ частиц, движущихся в одном измерении и удовлетворяющих статистике Бозе–Эйнштейна . Более конкретно, она описывает одномерный бозе-газ с дельта -взаимодействиями Дирака. Она названа в честь Эллиотта Х. Либа и Вернера Линигера  [de], которые представили эту модель в 1963 году. ^[1] Модель была разработана для сравнения и проверки теории Николая Боголюбова о бозе-газе со слабым взаимодействием. ^[2]

Учитывая, что бозоны движутся в одном измерении по оси , определяемой с периодическими граничными условиями , состояние системы N тел должно описываться волновой функцией многих тел . Гамильтониан этой модели вводится как${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle [0,L]}$ ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\точки,x_{j},\точки,x_{N})}$

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}+2c\sum _{i=1}^{N}\sum _{j>i}^{N}\delta (x_{i}-x_{j})\ ,}$

где — дельта-функция Дирака . Константа обозначает силу взаимодействия, представляет отталкивающее взаимодействие и притягивающее взаимодействие. ^[3] Предел жесткого ядра известен как газ Тонкса–Жирардо . ^[3]${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle с}$${\displaystyle с>0}$${\displaystyle с<0}$${\displaystyle c\to \infty }$

Для набора бозонов волновая функция не изменяется при перестановке любых двух частиц (симметрия перестановки), т.е. для всех и удовлетворяет для всех .${\displaystyle \psi (\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots )=\psi (\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots )}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \psi (\dots ,x_{j}=0,\dots )=\psi (\dots ,x_{j}=L,\dots )}$${\displaystyle j}$

Дельта-функция в гамильтониане порождает граничное условие, когда две координаты, скажем, и равны; это условие состоит в том , что при производная удовлетворяет условию ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{2}\searrow x_{1}}$

${\displaystyle \left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)\psi (x_{1},x_{2})\right|_{x_{2}=x_{1}+}=c\psi (x_{1}=x_{2})}$.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера решается явным построением . Поскольку оно симметрично, оно полностью определяется своими значениями в симплексе , определяемом условием .${\displaystyle H\psi =E\psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots ,\leq x_{N}\leq L}$

Решение можно записать в виде анзаца Бете как ^[2]

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^{N}k_{Pj}x_{j}\right)}$,

с волновыми векторами , где сумма берется по всем перестановкам, , целых чисел , и отображается в . Коэффициенты , а также ' определяются условием , и это приводит к полной энергии${\displaystyle 0\leq k_{1}\leq k_{2}\leq \dots ,\leq k_{N}}$${\displaystyle N!}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{N}}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H\psi =E\psi }$

${\displaystyle E=\sum _{j=1}^{N}\,k_{j}^{2}}$,

с амплитудами, заданными как

${\displaystyle a(P)=\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+{\frac {ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}}\right)\,.}$^[4]

Эти уравнения определяются в терминах 's. Это приводит к уравнениям: ^[2]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle L\,k_{j}=2\pi I_{j}\ -2\sum _{i=1}^{N}\arctan \left({\frac {k_{j}-k_{i}}{c}}\right)\qquad \qquad {\text{for }}j=1,\,\dots ,\,N\ ,}$

где целые числа, когда нечетное и, когда четное, они принимают значения . Для основного состояния ' удовлетворяют${\displaystyle I_{1}<I_{2}<\cdots <I_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dots }$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I_{j+1}-I_{j}=1,\quad {\rm {for}}\ 1\leq j<N\qquad {\text{and }}I_{1}=-I_{N}.}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (June 2024)