Передышка

В физике бризер — это нелинейная волна , в которой энергия концентрируется локализованным и колебательным образом. Это противоречит ожиданиям, полученным из соответствующей линейной системы для бесконечно малых амплитуд , которая стремится к равномерному распределению изначально локализованной энергии.

Дискретный бризер — это бризерное решение на нелинейной решетке .

Термин «бризер» происходит от того, что большинство бризеров локализованы в пространстве и колеблются ( дышат ) во времени. ^[1] Но и противоположная ситуация: колебания в пространстве и локализованы во времени ^{[ необходимо разъяснение ]} , обозначается как бризер.

Эта бризерная псевдосферическая поверхность соответствует решению нелинейного волнового уравнения.

Обзор

*Постоянный бризер синуса-Гордона* представляет собой качающееся во времени связанное кинк-антикинк 2-солитонное решение.

*Синусоидальный бризер Гордона с большой амплитудой* .

Бризер — это локализованное периодическое решение уравнений непрерывной среды или дискретных решеточных уравнений. Точно решаемое уравнение синус-Гордона ^[1] и фокусирующее нелинейное уравнение Шредингера ^[2] являются примерами одномерных частных дифференциальных уравнений , которые обладают бризерными решениями. ^[3] Дискретные нелинейные гамильтоновы решетки во многих случаях поддерживают бризерные решения.

Бризеры — солитонные структуры. Существует два типа бризеров: стоячие и бегущие . ^[4] Стоячие бризеры соответствуют локализованным решениям, амплитуда которых меняется во времени (иногда их называют осциллонами ). Необходимым условием существования бризеров в дискретных решетках является то, что основная частота бризера и все ее множители находятся вне фононного спектра решетки.

Пример бризерного решения для уравнения синус-Гордона

Уравнение синус-Гордона — это нелинейное дисперсионное уравнение в частных производных.

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\sin u=0,

причем поле u является функцией пространственной координаты x и времени t .

Точное решение, найденное с помощью обратного преобразования рассеяния, выглядит следующим образом: ^[1]

u=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right),

которая при ω < 1 периодична во времени t и экспоненциально затухает при удалении от x = 0 .

Пример бризерного решения для нелинейного уравнения Шредингера

Фокусирующее нелинейное уравнение Шредингера ^[5] представляет собой дисперсионное уравнение в частных производных:

i\,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+|u|^{2}u=0,

где u — комплексное поле как функция x и t . Далее i обозначает мнимую единицу .

Одним из бризерных решений (бризер Кузнецова-Ма) является ^[2]

u=\left({\frac {2b^{2}\cosh(\theta )+2ib{\sqrt {2-b^{2}}}\sinh(\theta )}{2\cosh(\theta )-{\sqrt {2}}{\sqrt {2-b^{2}}}\cos(abx)}}-1\right)a\,e^{ia^{2}t}

с

\theta =a^{2}\,b\,{\sqrt {2-b^{2}}}\;t,

что дает бризеры, периодические в пространстве x и приближающиеся к равномерному значению a при удалении от фокуса времени t = 0. Эти бризеры существуют для значений параметра модуляции b , меньших √ 2. Отметим, что предельным случаем решения бризера является солитон Перегрина . ^[6]

Смотрите также

Ссылки и примечания

^ abc MJ Ablowitz; DJ Kaup; AC Newell; H. Segur (1973). «Метод решения уравнения синус-Гордона». Physical Review Letters . 30 (25): 1262–1264. Bibcode :1973PhRvL..30.1262A. doi :10.1103/PhysRevLett.30.1262.
^ ab NN Akhmediev; VM Eleonskiǐ; NE Kulagin (1987). "Точные решения первого порядка нелинейного уравнения Шредингера". Теоретическая и математическая физика . 72 (2): 809–818. Bibcode :1987TMP....72..809A. doi :10.1007/BF01017105. S2CID 18571794.Перевод из Теоретическая и математическая физика 72(2): 183–196, август 1987 г.
^ Н. Н. Ахмедиев; А. Анкевич (1997). Солитоны, нелинейные импульсы и пучки . Springer. ISBN 978-0-412-75450-0.
^ Мирошниченко А., Васильев А., Дмитриев С. Солитоны и столкновения солитонов .
^ Фокусирующее нелинейное уравнение Шредингера имеет параметр нелинейности κ того же знака (математика) , что и дисперсионный член, пропорциональный ∂ 2 ^u /∂x ² , и имеет солитонные решения. В дефокусирующем нелинейном уравнении Шредингера параметр нелинейности имеет противоположный знак.
^ Kibler, B.; Fatome, J.; Finot, C.; Millot, G.; Dias, F.; Genty, G.; Akhmediev, N.; Dudley, JM (2010). "Солитон Перегрина в нелинейной волоконной оптике". Nature Physics . 6 (10): 790. Bibcode :2010NatPh...6..790K. doi : 10.1038/nphys1740 .

[AKNS73-1] MJ Ablowitz; DJ Kaup; AC Newell; H. Segur (1973). «Метод решения уравнения синус-Гордона». Physical Review Letters . 30 (25): 1262–1264. Bibcode :1973PhRvL..30.1262A. doi :10.1103/PhysRevLett.30.1262.

[AEK87-2] NN Akhmediev; VM Eleonskiǐ; NE Kulagin (1987). "Точные решения первого порядка нелинейного уравнения Шредингера". Теоретическая и математическая физика . 72 (2): 809–818. Bibcode :1987TMP....72..809A. doi :10.1007/BF01017105. S2CID 18571794.Перевод из Теоретическая и математическая физика 72(2): 183–196, август 1987 г.

[3] Н. Н. Ахмедиев; А. Анкевич (1997). Солитоны, нелинейные импульсы и пучки . Springer. ISBN 978-0-412-75450-0.

[4] Мирошниченко А., Васильев А., Дмитриев С. Солитоны и столкновения солитонов .

[5] Фокусирующее нелинейное уравнение Шредингера имеет параметр нелинейности κ того же знака (математика) , что и дисперсионный член, пропорциональный ∂ 2 ^u /∂x ² , и имеет солитонные решения. В дефокусирующем нелинейном уравнении Шредингера параметр нелинейности имеет противоположный знак.

[6] Kibler, B.; Fatome, J.; Finot, C.; Millot, G.; Dias, F.; Genty, G.; Akhmediev, N.; Dudley, JM (2010). "Солитон Перегрина в нелинейной волоконной оптике". Nature Physics . 6 (10): 790. Bibcode :2010NatPh...6..790K. doi : 10.1038/nphys1740 .