Обратное преобразование рассеяния

В математике обратное преобразование рассеяния — это метод, который решает задачу начального значения для нелинейного уравнения в частных производных с использованием математических методов, связанных с рассеянием волн . ^{[1] : 4960} Прямое преобразование рассеяния описывает, как функция рассеивает волны или генерирует связанные состояния . ^{[2] : 39–43} Обратное преобразование рассеяния использует данные о рассеянии волн для построения функции, отвечающей за рассеяние волн. ^{[2] : 66–67} Прямое и обратное преобразования рассеяния аналогичны прямому и обратному преобразованиям Фурье , которые используются для решения линейных уравнений в частных производных. ^{[2] : 66–67}

Используя пару дифференциальных операторов , 3-шаговый алгоритм может решать нелинейные дифференциальные уравнения ; начальное решение преобразуется в данные рассеяния (прямое преобразование рассеяния), данные рассеяния эволюционируют вперед во времени (эволюция во времени), а данные рассеяния реконструируют решение вперед во времени (обратное преобразование рассеяния). ^{[2] : 66–67}

Этот алгоритм упрощает решение нелинейного уравнения в частных производных до решения двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и одного обыкновенного интегрального уравнения , что в конечном итоге приводит к аналитическим решениям для многих нелинейных уравнений в частных производных, которые трудно решить иным способом. ^{[2] : 72}

Обратная задача рассеяния эквивалентна задаче факторизации Римана–Гильберта , по крайней мере, в случае уравнений с одним пространственным измерением. ^[3] Эту формулировку можно обобщить на дифференциальные операторы порядка больше двух, а также на периодические задачи. ^[4] В более высоких пространственных измерениях вместо этого возникает «нелокальная» задача факторизации Римана–Гильберта (со сверткой вместо умножения) или задача d-bar.

Обратное преобразование рассеяния возникло при изучении уединенных волн. Дж. С. Рассел описал «волну трансляции» или «уединенную волну», возникающую на мелководье. ^[5] Сначала Дж. В. Буссинеск , а затем Д. Кортевег и Г. де Вриз открыли уравнение Кортевега-де Вриза (КдФ) , нелинейное уравнение в частных производных, описывающее эти волны. ^[5] Позднее Н. Забуски и М. Крускал, используя численные методы для исследования проблемы Ферми–Паста–Улама–Цингоу , обнаружили, что уединенные волны обладают упругими свойствами сталкивающихся частиц; начальные и конечные амплитуды и скорости волн остаются неизменными после столкновений волн. ^[5] Эти частицы-подобные волны называются солитонами и возникают в нелинейных уравнениях из-за слабого баланса между дисперсионными и нелинейными эффектами. ^[5]

Гарднер, Грин, Крускал и Миура ввели обратное преобразование рассеяния для решения уравнения Кортевега–де Фриза . ^[6] Лакс, Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегюр обобщили этот подход, что привело к решению других нелинейных уравнений, включая нелинейное уравнение Шредингера , уравнение синус-Гордона , модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза , уравнение Кадомцева–Петвиашвили , уравнение Ишимори , уравнение решетки Тоды и уравнение Дима . ^{[5] [7] [8]} Этот подход также применялся к различным типам нелинейных уравнений, включая дифференциально-разностные, частноразностные, многомерные уравнения и дробно-интегрируемые нелинейные системы. ^[5]

Независимые переменные — это пространственная переменная и временная переменная . Нижние индексы или дифференциальные операторы ( ) обозначают дифференцирование. Функция является решением нелинейного уравнения с частными производными, , с начальным условием (значением) . ^{[2] : 72}${\displaystyle x}$${\displaystyle т}$${\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}$${\displaystyle u(x,t)}$${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$ ${\textstyle и(х,0)}$

Решение дифференциального уравнения удовлетворяет условиям интегрируемости и Фадеева: ^{[2] : 40}

Условие интегрируемости:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty }$

Состояние Фадеева:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|))|u(x)|\ dx\ <\infty }$

Дифференциальные операторы Лакса , и , являются линейными обыкновенными дифференциальными операторами с коэффициентами, которые могут содержать функцию или ее производные. Самосопряженный оператор имеет производную по времени и генерирует уравнение собственных значений (спектральное) с собственными функциями и постоянными во времени собственными значениями ( спектральными параметрами ) . ^{[1] : 4963  [2] : 98}${\textstyle Л}$${\textstyle М}$${\textstyle и(х,т)}$ ${\textstyle Л}$${\textstyle L_{т}}$ ${\textstyle \пси }$${\textstyle \лямбда}$

${\displaystyle L(\psi) =\lambda \psi,\}$и${\textstyle \ L_ {t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}$

Оператор описывает, как собственные функции изменяются с течением времени, и генерирует новую собственную функцию оператора из собственной функции . [ ^{1] : 4963}${\textstyle М}$${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$${\textstyle Л}$${\textstyle \пси }$${\textstyle Л}$

${\displaystyle {\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M (\psi )\ }$

Операторы Лакса объединяются, образуя мультипликативный оператор, а не дифференциальный оператор собственных функций . ^{[1] : 4963}${\textstyle \пси }$

${\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0}$

Операторы Лакса выбираются таким образом, чтобы мультипликативный оператор был равен нелинейному дифференциальному уравнению. ^{[1] : 4963}

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}$

Дифференциальные операторы AKNS , разработанные Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром, являются альтернативой дифференциальным операторам Лакса и достигают аналогичного результата. ^{[1] : 4964  [9] [10]}

Прямое преобразование рассеяния генерирует начальные данные рассеяния; они могут включать коэффициенты отражения, коэффициент пропускания, данные собственных значений и константы нормировки решений собственных функций для этого дифференциального уравнения. ^{[2] : 39–48}

${\displaystyle L(\psi) =\lambda \psi}$

Уравнения, описывающие, как данные рассеяния развиваются с течением времени, возникают как решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка относительно времени. Используя различные подходы, это линейное дифференциальное уравнение первого порядка может возникнуть из линейных дифференциальных операторов (пара Лакса, пара AKNS), комбинации линейных дифференциальных операторов и нелинейного дифференциального уравнения или посредством дополнительных операций подстановки, интегрирования или дифференцирования. Пространственно асимптотические уравнения ( ) упрощают решение этих дифференциальных уравнений. ^{[1] : 4967–4968  [2] : 68–72  [6]}${\textstyle x\to \pm \infty }$

Уравнение Марченко объединяет данные рассеяния в линейное интегральное уравнение Фредгольма . Решение этого интегрального уравнения приводит к решению u(x,t) нелинейного дифференциального уравнения. ^{[2] : 48–57}

Нелинейное дифференциальное уравнение Кортевега–Де Фриза имеет вид ^{[11] : 4}

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

Операторы Лакса: ^{[2] : 97–102}

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\ }$ и${\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}$

Мультипликативный оператор:

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

Решения этого дифференциального уравнения

${\textstyle L(\psi)=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }$

могут включать решения рассеяния с непрерывным диапазоном собственных значений ( непрерывный спектр ) и решения связанного состояния с дискретными собственными значениями ( дискретный спектр ). Данные рассеяния включают коэффициенты пропускания , левый коэффициент отражения , правый коэффициент отражения , дискретные собственные значения и константы нормализации (нормирования) левого и правого связанного состояния . ^{[1] : 4960}${\textstyle Т(к,0)}$${\textstyle R_{L}(k,0)}$${\textstyle R_{R}(k,0)}$${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$

${\displaystyle c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

${\displaystyle c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

Пространственно асимптотические левая и правая функции Йоста упрощают этот шаг. ^{[1] : 4965–4966}${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{align}}}$

Константы зависимости связывают правую и левую функции Йоста и правые и левые константы нормализации. ^{[1] : 4965–4966}${\textstyle \гамма _{j}(t)}$

${\displaystyle \gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{Nj}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}}$

Дифференциальный оператор Лакса генерирует собственную функцию, которая может быть выражена как зависящая от времени линейная комбинация других собственных функций. ^{[1] : 4967}${\textstyle М}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

Решения этих дифференциальных уравнений, определенные с использованием пространственно асимптотических функций Йоста для рассеяния и связанного состояния, указывают на постоянный во времени коэффициент пропускания , но зависящие от времени коэффициенты отражения и коэффициенты нормировки. ^{[1] : 4967–4968}${\textstyle Т(к,т)}$

${\displaystyle {\begin{align}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{align}}}$

Ядро Марченко равно . ^{[1] : 4968–4969}${\textstyle F(x,t)}$

${\displaystyle F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}}$

Интегральное уравнение Марченко — это линейное интегральное уравнение, решенное относительно . ^{[1] : 4968–4969}${\textstyle K(x,y,t)}$

${\displaystyle K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0}$

Решение уравнения Марченко, , порождает решение нелинейного уравнения в частных производных. ^{[1] : 4969}${\textstyle K(x,y,t)}$${\textstyle u(x,t)}$

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}}$

• Уравнение Кортевега–де Фриза
• нелинейное уравнение Шредингера
• Уравнение Камассы-Холма
• Уравнение синус-Гордона
• решетка Тоды
• Уравнение Ишимори
• Уравнение Дима

• Метод обратного квантового рассеяния
• Интегрируемая система

• Ablowitz, MJ; Kaup, DJ; Newell, AC; Segur, H. (1973). «Метод решения уравнения синус-Гордона». Physical Review Letters . 30 (25): 1262– 1264. Bibcode : 1973PhRvL..30.1262A. doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1262.

• Ablowitz, MJ; Kaup, DJ; Newell, AC; Segur, H. (1974). «Обратное преобразование рассеяния — анализ Фурье для нелинейных задач». Исследования по прикладной математике . 53 (4): 249– 315. doi :10.1002/sapm1974534249.

• Ablowitz, Mark J.; Segur, Harvey (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния. SIAM. ISBN 978-0-89871-477-7.

• Ablowitz, Mark J.; Fokas, AS (2003). Complex Variables: Introduction and Applications. Cambridge University Press. С.  604–620 . ISBN 978-0-521-53429-1.

• Ablowitz, Mark J. (2023). «Нелинейные волны и обратное преобразование рассеяния». Optik . 278 : 170710. Bibcode :2023Optik.27870710A. doi :10.1016/j.ijleo.2023.170710.

• Актосун, Тунджай (2009). «Обратное преобразование рассеяния и теория солитонов». Энциклопедия сложности и системной науки . Springer. стр.  4960– 4971. doi :10.1007/978-0-387-30440-3_295. ISBN 978-0-387-30440-3.

• Drazin, PG; Johnson, RS (1989). Солитоны: Введение. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33655-0.

• Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Крускал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Physical Review Letters . 19 (19): 1095– 1097. Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G. doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1095.

• Конопельченко, Б.Г.; Дубровский, В.Г. (1991). «Локализованные солитоны для уравнения Ишимори». В Sattinger, Дэвид Х.; Трейси, К.А.; Венакидес, Стефанос (ред.). Обратное рассеяние и приложения. Американское математическое общество. стр.  77–90 . ISBN 978-0-8218-5129-6.

• Oono, H. (1996). "N-солитонное решение уравнения Гарри Дима методом обратной задачи рассеяния". В Alfinito, E.; Boiti, M.; Martina, L. (ред.). Нелинейная физика: теория и эксперимент. World Scientific Publishing Company Pte Limited. стр.  241–248 . ISBN 978-981-02-2559-9.

• Osborne, AR (1995). "Физика солитонов и периодическое обратное преобразование рассеяния". Physica D: Nonlinear Phenomena . 86 (1): 81– 89. doi :10.1016/0167-2789(95)00089-M. ISSN  0167-2789.

• Ablowitz, Mark J.; Clarkson, PA (12 декабря 1991 г.). Солитоны, нелинейные уравнения эволюции и обратная задача рассеяния. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38730-9.

• Буллоу, РК; Кодри, П.Дж. (11 ноября 2013 г.). Солитоны. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-81448-8.

• Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Крускал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1974), «Уравнение Кортевега-де Фриза и его обобщение. VI. Методы точного решения», Comm. Pure Appl. Math. , 27 : 97– 133, doi :10.1002/cpa.3160270108, MR  0336122

• Гельфанд, Израиль Моисеевич (1955). Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Американское математическое общество. С. 253-304.

• Марченко, Владимир А. (1986). Операторы Штурма-Лиувилля и их применение. Теория операторов: достижения и применение. Т. 22. Базель: Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-0348-5485-6. ISBN 978-3-0348-5486-3.

• Шоу, Дж. К. (1 мая 2004 г.). Математические принципы оптоволоконной связи. SIAM. ISBN 978-0-89871-556-9.

• «Вводная математическая статья по IST» (PDF) . (300  КБ )
• Обратное преобразование рассеяния и теория солитонов