Локализация (коммутативная алгебра)

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии локализация — это формальный способ введения «знаменателей» в заданное кольцо или модуль . То есть, она вводит новое кольцо/модуль из существующего кольца/модуля R , так что оно состоит из дробей, таких что знаменатель s принадлежит заданному подмножеству S из R. Если S — множество ненулевых элементов области целостности , то локализация — это поле дробей : этот случай обобщает конструкцию поля рациональных чисел из кольца целых чисел .${\displaystyle {\frac {м}{с}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Этот метод стал фундаментальным, особенно в алгебраической геометрии , поскольку он обеспечивает естественную связь с теорией пучков . Фактически, термин локализация возник в алгебраической геометрии : если R — это кольцо функций, определенных на некотором геометрическом объекте ( алгебраическом многообразии ) V , и кто-то хочет изучить это многообразие «локально» вблизи точки p , то он рассматривает множество S всех функций, которые не равны нулю в точке p, и локализует R относительно S. Полученное кольцо содержит информацию о поведении V вблизи точки p и исключает информацию, которая не является «локальной», например, нули функций, которые находятся вне V (ср. пример, приведенный в локальном кольце ).${\displaystyle S^{-1}R}$

Локализация коммутативного кольца R мультипликативно замкнутым множеством S представляет собой новое кольцо , элементами которого являются дроби с числителями в R и знаменателями в S.${\displaystyle S^{-1}R}$

Если кольцо является целостной областью, то конструкция обобщает и близко следует конструкции поля дробей , и, в частности, конструкции рациональных чисел как поля дробей целых чисел. Для колец, имеющих делители нуля , конструкция похожа, но требует большей осторожности.

Локализация обычно выполняется относительно мультипликативно замкнутого множества S (также называемого мультипликативным множеством или мультипликативной системой ) элементов кольца R , которое является подмножеством R , замкнутым относительно умножения и содержащим 1 .

Требование, чтобы S было мультипликативным множеством, является естественным, поскольку оно подразумевает, что все знаменатели, введенные локализацией, принадлежат S. Локализация множеством U , которое не является мультипликативно замкнутым, также может быть определена, если взять в качестве возможных знаменателей все произведения элементов U. Однако та же локализация получается при использовании мультипликативно замкнутого множества S всех произведений элементов U. Поскольку это часто упрощает рассуждения и обозначения, стандартной практикой является рассмотрение только локализаций мультипликативными множествами.

Например, локализация по одному элементу s вводит дроби вида , но также и произведения таких дробей, например , Так что знаменатели будут принадлежать мультипликативному набору степеней s . Поэтому обычно говорят о «локализации по степеням элемента», а не о «локализации по элементу».${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$${\displaystyle \{1,с,с^{2},с^{3},\ldots \}}$

Локализация кольца R мультипликативным множеством S обычно обозначается , но в некоторых особых случаях обычно используются другие обозначения: если состоит из степеней одного элемента, то часто обозначается , если является дополнением простого идеала , то обозначается${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{t};}$${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_ {\mathfrak {p}}.}$

В оставшейся части статьи рассматриваются только локализации по мультипликативному набору.

Когда кольцо R является целостной областью и S не содержит 0 , кольцо является подкольцом поля дробей R. Таким образом, локализация области является областью .${\displaystyle S^{-1}R}$

Точнее, это подкольцо поля дробей R , состоящее из дробей таких, что Это подкольцо, поскольку сумма и произведение двух элементов находятся в Это вытекает из определяющего свойства мультипликативного множества, которое также подразумевает, что В этом случае R является подкольцом Ниже показано, что в общем случае это уже не так, обычно когда S содержит делители нуля .${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$${\displaystyle s\in S.}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}Р.}$${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$${\displaystyle S^{-1}Р.}$

Например, десятичные дроби являются локализацией кольца целых чисел мультипликативным набором степеней десяти. В этом случае состоит из рациональных чисел, которые можно записать как , где n — целое число, а k — неотрицательное целое число.${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$

В общем случае возникает проблема с делителями нуля . Пусть S — мультипликативный набор в коммутативном кольце R . Предположим, что и — делитель нуля с Тогда — образ в и имеет Таким образом, некоторые ненулевые элементы R должны быть нулевыми в Следующая конструкция предназначена для того, чтобы учесть это.${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle 0\neq a\in R}$${\displaystyle как=0.}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle a\in R,}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$${\displaystyle S^{-1}Р.}$

При заданных выше R и S рассматривается отношение эквивалентности , определяемое следующим образом: существует такое, что${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

Локализация определяется как набор классов эквивалентности для этого отношения. Класс ( r , s ) обозначается как или Таким образом, мы имеем тогда и только тогда, когда существует такое , что Причина заключается в обработке случаев, таких как приведенный выше , где ненулевое значение, даже если дроби следует считать равными.${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$ ${\displaystyle г/с,}$${\displaystyle s^{-1}r.}$${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$${\displaystyle т}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$

Локализация представляет собой коммутативное кольцо со сложением ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

умножение

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

аддитивное тождество и мультипликативное тождество${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

Функция​

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

определяет гомоморфизм колец из в который является инъективным тогда и только тогда, когда S не содержит делителей нуля.${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R,}$

Если то — нулевое кольцо , единственным элементом которого является 0 .${\displaystyle 0\in S,}$${\displaystyle S^{-1}R}$

Если S — множество всех регулярных элементов R (то есть элементов, не являющихся делителями нуля), то оно называется полным кольцом дробей R.${\displaystyle S^{-1}R}$

(Определенный выше) кольцевой гомоморфизм удовлетворяет универсальному свойству , которое описано ниже. Это характеризует с точностью до изоморфизма . Таким образом, все свойства локализаций могут быть выведены из универсального свойства, независимо от способа, которым они были построены. Более того, многие важные свойства локализации легко выводятся из общих свойств универсальных свойств, в то время как их прямое доказательство может быть более техническим.${\displaystyle j\двоеточие R\to S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

Универсальное свойство, которому удовлетворяет уравнение, следующее: ${\displaystyle j\двоеточие R\to S^{-1}R}$

Если — кольцевой гомоморфизм, который отображает каждый элемент S в единицу (обратимый элемент) в T , то существует единственный кольцевой гомоморфизм такой, что${\displaystyle f\двоеточие R\to T}$${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$${\displaystyle f=g\circ j.}$

Используя теорию категорий , это можно выразить, сказав, что локализация — это функтор , который является левым сопряженным к забывающему функтору . Точнее, пусть и будут категориями, объектами которых являются пары коммутативного кольца и подмоноида , соответственно, мультипликативного моноида или группы единиц кольца. Морфизмы этих категорий являются кольцевыми гомоморфизмами, которые отображают подмоноид первого объекта в подмоноид второго. Наконец, пусть будет забывающим функтором, который забывает, что элементы второго элемента пары обратимы.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

Тогда факторизация универсального свойства определяет биекцию${\displaystyle f=g\circ j}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

Это может показаться довольно сложным способом выражения универсального свойства, но он полезен для легкой демонстрации многих свойств, используя тот факт, что композиция двух левосопряжённых функторов является левосопряжённым функтором.

• Если — кольцо целых чисел , а — поле рациональных чисел .${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Если R — область целостности , то — поле дробей R. Предыдущий пример — частный случай этого.${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$${\displaystyle S^{-1}R}$
• Если R — коммутативное кольцо , а S — подмножество его элементов, не являющихся делителями нуля , то — полное кольцо дробей R. В этом случае S — наибольшее мультипликативное множество, такое, что гомоморфизм инъективен. Предыдущий пример — частный случай этого.${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Если является элементом коммутативного кольца R и тогда может быть идентифицировано ( канонически изоморфно ) (доказательство состоит в демонстрации того, что это кольцо удовлетворяет указанному выше универсальному свойству.) Такого рода локализация играет фундаментальную роль в определении аффинной схемы .${\displaystyle x}$${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$
• Если — простой идеал коммутативного кольца R , то дополнение множества в R является мультипликативным множеством (по определению простого идеала). Кольцо является локальным кольцом , которое обычно обозначается и называется локальным кольцом кольца R в Этот вид локализации является фундаментальным в коммутативной алгебре , поскольку многие свойства коммутативного кольца можно прочитать на его локальных кольцах. Такое свойство часто называют локальным свойством . Например, кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда все его локальные кольца регулярны.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

Локализация — это богатая конструкция, которая имеет много полезных свойств. В этом разделе рассматриваются только свойства, относящиеся к кольцам и к одной локализации. Свойства, касающиеся идеалов , модулей или нескольких мультипликативных множеств, рассматриваются в других разделах.

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$ тогда и только тогда, когда S содержит 0 .
• Кольцевой гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда S не содержит делителей нуля .${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Гомоморфизм колец — это эпиморфизм в категории колец , который в общем случае не является сюръективным .${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Кольцо представляет собой плоский R -модуль (подробнее см. в § Локализация модуля).${\displaystyle S^{-1}R}$
• Если — дополнение простого идеала , то обозначается локальное кольцо , то есть оно имеет только один максимальный идеал .${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$

Объекты недвижимости, которые будут перемещены в другой раздел

• Локализация коммутирует с образованиями конечных сумм, произведений, пересечений и радикалов; ^[1] например, если обозначить радикал идеала I в R , то${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

В частности, R сокращается тогда и только тогда , когда сокращается его полное кольцо дробей. ^[2]

• Пусть R — область целостности с полем дробей K. Тогда ее локализацию в простом идеале можно рассматривать как подкольцо K. Более того,${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

где первое пересечение происходит по всем простым идеалам, а второе — по максимальным идеалам. ^[3]

• Существует биекция между множеством простых идеалов S ⁻¹ R и множеством простых идеалов R , которые не пересекают S. Эта биекция индуцируется заданным гомоморфизмом R → S  ⁻¹ R .

Пусть будет мультипликативным множеством. Насыщенность — это множество ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

Мультипликативное множество S насыщено, если оно равно своему насыщению, то есть, если , или, что эквивалентно, если подразумевает, что r и s принадлежат S .${\displaystyle {\hat {S}}=S}$${\displaystyle rs\in S}$

Если S не насыщено, а затем является мультипликативным обратным образом r в So, то образы элементов из все обратимы в и универсальное свойство подразумевает, что и канонически изоморфны , то есть между ними существует единственный изоморфизм , который фиксирует образы элементов R.${\displaystyle rs\in S,}$${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$${\displaystyle S^{-1}R.}$${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$

Если S и T — два мультипликативных множества, то и изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую насыщенность, или, что эквивалентно, если s принадлежит одному из мультипликативных множеств, то существует такое, что st принадлежит другому.${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle T^{-1}R}$${\displaystyle t\in R}$

Насыщенные мультипликативные множества не используются в явном виде, поскольку для проверки того, что множество является насыщенным, необходимо знать все единицы кольца.

Термин локализация берет свое начало в общей тенденции современной математики изучать геометрические и топологические объекты локально , то есть в терминах их поведения вблизи каждой точки. Примерами этой тенденции являются фундаментальные понятия многообразий , ростков и пучков . В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество может быть отождествлено с кольцом факторов кольца многочленов таким образом, что точки алгебраического множества соответствуют максимальным идеалам кольца (это Nullstellensatz Гильберта ). Это соответствие было обобщено для того, чтобы сделать множество простых идеалов коммутативного кольца топологическим пространством, снабженным топологией Зарисского ; это топологическое пространство называется спектром кольца .

В этом контексте локализацию мультипликативным множеством можно рассматривать как ограничение спектра кольца на подпространство простых идеалов (рассматриваемых как точки ), которые не пересекают мультипликативное множество.

Чаще всего рассматриваются два класса локализаций:

• Мультипликативное множество является дополнением простого идеала кольца R . В этом случае говорят о «локализации в » или «локализации в точке». Полученное кольцо, обозначаемое как локальное кольцо , является алгебраическим аналогом кольца ростков .${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
• Мультипликативный набор состоит из всех степеней элемента t кольца R. Полученное кольцо обычно обозначается , а его спектр — это открытое по Зарискому множество простых идеалов, не содержащих t . Таким образом, локализация является аналогом ограничения топологического пространства на окрестность точки (каждый простой идеал имеет базис окрестностей, состоящий из открытых по Зарискому множеств такого вида).${\displaystyle R_{t},}$

В теории чисел и алгебраической топологии при работе над кольцом целых чисел свойство, относящееся к целому числу n, называют свойством, истинным при n или вне его , в зависимости от рассматриваемой локализации. « Вне n » означает, что свойство рассматривается после локализации по степеням n , и, если p — простое число , «в p » означает, что свойство рассматривается после локализации в простом идеале . Эту терминологию можно объяснить тем фактом, что, если p — простое число, ненулевые простые идеалы локализации являются либо синглетным множеством {p} , либо его дополнением в множестве простых чисел.${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Пусть S — мультипликативный набор в коммутативном кольце R , а — канонический гомоморфизм колец. Для данного идеала I в R пусть множество дробей, числитель которых находится в I. Это идеал, который порождается j ( I ) и называется локализацией I с помощью S.${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}I}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R,}$

Насыщенность I посредством S заключается в том, что это идеал R , который также может быть определен как множество элементов, таких, что существует${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle sr\in I.}$

Многие свойства идеалов либо сохраняются при насыщении и локализации, либо могут быть охарактеризованы более простыми свойствами локализации и насыщения. В дальнейшем S — мультипликативное множество в кольце R , а I и J — идеалы кольца R ; насыщенность идеала I мультипликативным множеством S обозначается или, когда мультипликативное множество S ясно из контекста,${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$${\displaystyle \operatorname {sat} (I).}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)}$
  (это не всегда верно для строгих включений )
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)}$
• Если — простой идеал такой, что то — простой идеал и ; если пересечение непусто, то и${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R}$${\displaystyle \operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.}$

Пусть R — коммутативное кольцо , S — мультипликативное множество в R , а M — R - модуль . Локализация модуля M с помощью S , обозначаемая S ⁻ 1M , является S ⁻ 1R -модулем, который строится точно так же, как локализация R , за исключением того, что числители дробей принадлежат M. То есть, как множество, оно состоит из классов эквивалентности , обозначаемых , пар ( m , s ) , где и и две пары ( m , s ) и ( n , t ) эквивалентны, если в S существует элемент u такой, что${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle s\in S,}$

${\displaystyle u(sn-tm)=0.}$

Сложение и скалярное умножение определяются как для обычных дробей (в следующей формуле и ):${\displaystyle r\in R,}$ ${\displaystyle s,t\in S,}$${\displaystyle m,n\in M}$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.}$

Более того, S ⁻¹ M также является R -модулем со скалярным умножением

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.}$

Легко проверить, что эти операции корректно определены, то есть дают одинаковый результат при различном выборе представителей дробей.

Локализацию модуля можно эквивалентно определить с помощью тензорных произведений :

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

Доказательство эквивалентности (с точностью до канонического изоморфизма ) можно осуществить, показав, что два определения удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.

Если M является подмодулем R -модуля N , а S является мультипликативным множеством в R , то отсюда следует, что если M является инъективным гомоморфизмом модулей , то ${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$${\displaystyle f\colon M\to N}$

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

также является инъективным гомоморфизмом.

Поскольку тензорное произведение является правым точным функтором , это подразумевает, что локализация по S отображает точные последовательности R -модулей в точные последовательности -модулей. Другими словами, локализация является точным функтором и является плоским R -модулем .${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

Эта плоскость и тот факт, что локализация решает универсальное свойство , делают локализацию сохраняющей многие свойства модулей и колец и совместимой с решениями других универсальных свойств. Например, естественное отображение

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

является изоморфизмом. Если является конечно представленным модулем , то естественное отображение${\displaystyle M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

также является изоморфизмом. ^[4]

Если модуль M является конечно порожденным над R , то имеем

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

где обозначает аннулятор , то есть идеал элементов кольца, который отображает в ноль все элементы модуля. ^[5] В частности,${\displaystyle \operatorname {Ann} }$

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

то есть, если для некоторых ^[6]${\displaystyle tM=0}$${\displaystyle t\in S.}$

Из определения простого идеала сразу следует, что дополнение простого идеала в коммутативном кольце R является мультипликативным множеством. В этом случае локализация обычно обозначается Кольцо является локальным кольцом , которое называется локальным кольцом кольца R в Это означает, что — единственный максимальный идеал кольца Аналогично можно определить локализацию модуля M в простом идеале кольца R . Опять же, локализация обычно обозначается .${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}M}$${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$

Такие локализации являются фундаментальными для коммутативной алгебры и алгебраической геометрии по нескольким причинам. Одна из них заключается в том, что локальные кольца часто легче изучать, чем общие коммутативные кольца, в частности, из-за леммы Накаямы . Однако главная причина в том, что многие свойства верны для кольца тогда и только тогда, когда они верны для всех его локальных колец. Например, кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда все его локальные кольца являются регулярными локальными кольцами .

Свойства кольца, которые можно охарактеризовать на его локальных кольцах, называются локальными свойствами и часто являются алгебраическим аналогом геометрических локальных свойств алгебраических многообразий , которые являются свойствами, которые можно изучать путем ограничения малой окрестностью каждой точки многообразия. (Существует еще одно понятие локального свойства, которое относится к локализации на открытых множествах Зарисского; см. § Локализация на открытых множествах Зарисского ниже.)

Многие местные свойства являются следствием того, что модуль

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

является строго плоским модулем , если прямая сумма берется по всем простым идеалам (или по всем максимальным идеалам R ). См. также Честно плоский спуск .

Свойство P R -модуля M является локальным свойством , если следующие условия эквивалентны:

• P справедливо для M.
• P выполняется для всех , где — простой идеал R.${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• P выполняется для всех , где — максимальный идеал R.${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Ниже приведены местные объекты недвижимости:

• М равно нулю.
• M не имеет кручения (в случае, когда R — коммутативная область ).
• M — плоский модуль .
• M — обратимый модуль (в случае, когда R — коммутативная область, а M — подмодуль поля частных R ).
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$является инъективным (соответственно сюръективным), где N — другой R -модуль.

С другой стороны, некоторые свойства не являются локальными свойствами. Например, бесконечное прямое произведение полей не является областью целостности или нётеровым кольцом , в то время как все его локальные кольца являются полями, а значит, и нётеровыми областями целостности.

Локализовать некоммутативные кольца сложнее. Хотя локализация существует для каждого набора S перспективных единиц, она может иметь форму, отличную от описанной выше. Одним из условий, гарантирующих, что локализация ведет себя хорошо, является условие Оре .

Один случай для некоммутативных колец, где локализация имеет явный интерес, — это кольца дифференциальных операторов. Например, она интерпретируется как присоединение формального обратного D ⁻¹ к оператору дифференцирования D . Это делается во многих контекстах в методах для дифференциальных уравнений . Сейчас об этом существует большая математическая теория, называемая микролокализацией , связанная с многочисленными другими ветвями. Микро- тег связан со связями с теорией Фурье , в частности.

• Локальный анализ
• Локализация категории
• Локализация топологического пространства

• Локализация от MathWorld .