Идеально ровный спуск

Точно плоский спуск — это метод из алгебраической геометрии , позволяющий делать выводы об объектах, являющихся целью точно плоского морфизма . Такие морфизмы, которые являются плоскими и сюръективными, являются обычными, один из примеров — открытое покрытие.

На практике, с аффинной точки зрения, этот метод позволяет доказать некоторое утверждение о кольце или схеме после строго плоской замены основания.

«Ванильный» строго плоский спуск, как правило, ложен; вместо этого строго плоский спуск действителен при некоторых условиях конечности (например, квазикомпактности или локальной конечности представления).

Точно плоский спуск является частным случаем теоремы Бека о монадичности . ^[1]

Если задан строго плоский гомоморфизм колец , строго плоский спуск — это, грубо говоря, утверждение, что дать модуль или алгебру над A — значит дать модуль или алгебру над вместе с так называемыми данными спуска (или данными). То есть можно спустить объекты (или даже утверждения) на , предоставив некоторые дополнительные данные.${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$

Например, если некоторые элементы генерируют единичный идеал A , является строго плоским над . Геометрически является открытым покрытием и поэтому спуск модуля от до будет означать склеивание модулей на , чтобы получить модуль на A ; данные спуска в этом случае сводятся к данным склеивания; т. е. как идентифицируются на перекрытиях .${\displaystyle f_{1},\точки ,f_{r}}$${\displaystyle B=\prod _{i}A[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)=\bigcup _{i=1}^{r}\operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1}])}$${\displaystyle \operatorname {Спецификация} (A)}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$${\displaystyle М_{я}}$${\displaystyle A[f_{i}^{-1}]}$${\displaystyle M_{i},M_{j}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1},f_{j}^{-1}])}$

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Март 2023 )

Пусть будет точно плоским гомоморфизмом колец . Если задан -модуль , то мы получаем -модуль и поскольку является точно плоским, то имеем включение . Более того, у нас есть изоморфизм -модулей , который индуцируется изоморфизмом и который удовлетворяет условию коцикла:${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle А}$${\displaystyle М}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle N=M\otimes _{A}B}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle M\hookrightarrow M\otimes _{A}B}$${\displaystyle \varphi :N\otimes B {\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$${\displaystyle B^{\otimes 2}}$${\displaystyle B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x}$

${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

где даны как: ^[2]${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$

${\displaystyle \varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi (n\otimes b)\otimes c}$

с . Обратите внимание, что изоморфизмы определяются только и не включают в себя${\displaystyle \rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}$${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M.}$

Теперь, самая простая форма строго плоского спуска гласит, что приведенную выше конструкцию можно обратить; т.е., если заданы -модуль и -модульный изоморфизм, такие, что , то инвариантный подмодуль:${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B^{\otimes 2}}$${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

${\displaystyle M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N}$

таково, что . ^[3]${\displaystyle M\otimes B=N}$

Вот точное определение descent datum. При наличии кольцевого гомоморфизма мы пишем:${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle d^{i}:B^{\otimes n}\to B^{\otimes {n+1}}}$

для отображения, заданного вставкой в ​​i -ю точку; т. е. задается как , как и т. д. Мы также записываем для тензорного умножения над , когда задается модульная структура как .${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle d^{0}}$${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq A\otimes _{A}B^{\otimes n}\to B\otimes _{A}B^{\otimes n}=B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle d^{1}}$${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq B\otimes A\otimes B^{\otimes n-1}\to B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle -\otimes _{d^{i}}B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle B^{\otimes n}}$${\displaystyle B^{\otimes {n+1}}}$${\displaystyle d^{i}}$

Теперь, учитывая -модуль с данными спуска , определим , что будет ядром${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d^{0}-\varphi \circ d^{1}:N\to N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}$.

Рассмотрим естественную карту

${\displaystyle M\otimes B\to N,\,x\otimes a\mapsto xa}$.

Ключевым моментом является то, что это отображение является изоморфизмом, если является строго плоским. ^[5] Это видно, если рассмотреть следующее:${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle {\begin{array}{lccclcl}0&\to &M\otimes _{A}B&\to &\quad N\otimes _{A}B&{\xrightarrow {d^{0}-\varphi \circ d^{1}}}&N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}\otimes _{A}B\\&&\downarrow &&\varphi \circ d^{1}\downarrow &&\quad \downarrow \varphi \otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\circ d^{2}\\0&\to &N&\to &\quad N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}&{\xrightarrow {d^{0}-d^{1}}}&N\otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\\\end{array}}}$

где верхняя строка точна по причине плоскостности B над A , а нижняя строка — это комплекс Амицура , который точен по теореме Гротендика. Условие коцикла гарантирует, что приведенная выше диаграмма коммутативна . Поскольку второе и третье вертикальные отображения являются изоморфизмами, то и первое тоже.

Вышесказанное можно кратко резюмировать следующим образом:

Спуск Зарисского просто относится к тому факту, что квазикогерентный пучок может быть получен путем склеивания их на (Зарисском-)открытом покрытии. Это частный случай точно плоского спуска, но часто используется для сведения проблемы спуска к аффинному случаю.

Более подробно, пусть обозначает категорию квазикогерентных пучков на схеме X. Тогда спуск Зарисского утверждает, что для данных квазикогерентных пучков на открытых подмножествах с и изоморфизмами такими, что (1) и (2) на , существует единственный квазикогерентный пучок на X такой, что совместимым образом (т.е. ограничивается до ). ^[6]${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh(X)}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle U_{i}\subset X}$${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$${\displaystyle \varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\displaystyle \varphi _{ii}=\operatorname {id} }$${\displaystyle \varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F|_{U_{i}}\simeq F_{i}}$${\displaystyle F|_{U_{j}}\simeq F_{j}}$${\displaystyle F|_{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$

На причудливом языке спуск Зарисского утверждает, что относительно топологии Зарисского является стеком ; т. е. категорией, снабженной функтором категория (относительных) схем, которая имеет эффективную теорию спуска. Здесь пусть обозначает категорию, состоящую из пар, состоящих из (Зарисского)-открытого подмножества U и квазикогерентного пучка на нем и забывающего функтора .${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$${\displaystyle (U,F)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (U,F)\mapsto U}$

Существует краткое изложение основного результата в этой области: (престек квазикогерентных пучков над схемой S означает, что для любой S -схемы X каждая X -точка престека является квазикогерентным пучком на X .)

Доказательство использует спуск Зариского и строго плоский спуск в аффинном случае.

Здесь «квазикомпактность» не может быть устранена. ^[8]

Пусть F — конечное расширение поля Галуа поля k . Тогда для каждого векторного пространства V над F ,

${\displaystyle V\otimes _{k}F\simeq \prod _{\sigma }V,\,v\otimes a\mapsto \sigma (a)v}$

где произведение пробегает элементы в группе Галуа .${\displaystyle F/k}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (March 2023)

Этальное происхождение является следствием истинного происхождения.

• комплекс Амицур
• Схема Гильберта
• Схема цитаты

• SGA 1 , Exposé VIII – это основная ссылка (но она зависит от результата Жиро (1964), который заменил (в гораздо более общей форме) неопубликованную Exposé VII SGA1)
• Делинь, П. (2007), «Категории танакиенов», The Grothendieck Festschrift, Volume II , Modern Birkhäuser Classics, стр. 111–195, doi : 10.1007/978-0-8176-4575-5_3, ISBN 978-0-8176-4567-0
• Жиро, Жан (1964), «Метод спуска», Mémoires de la Société Mathématique de France , 2 : 1–150, doi : 10.24033/msmf.2 , MR  0190142
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Стрит, Росс (2004), «Категориальные и комбинаторные аспекты теории спуска», Applied Categorical Structures , 12 (5–6): 537–576, arXiv : math/0303175 , doi :10.1023/B:APCS.0000049317.24861.36(подробное обсуждение 2-й категории)
• Вистоли, Анджело (2 сентября 2008 г.). «Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска» (PDF) .
• Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Graduate Texts in Mathematics, т. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, МР  0547117