Алгебраическая дробь
Вид математического выражения

В алгебре алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями . Два примера алгебраических дробей — и . Алгебраические дроби подчиняются тем же законам, что и арифметические дроби . 3 х х 2 + 2 х − 3 {\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}} х + 2 х 2 − 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}

Рациональная дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами . Таким образом , является рациональной дробью, но не потому, что числитель содержит функцию квадратного корня. 3 х х 2 + 2 х − 3 {\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}} х + 2 х 2 − 3 , {\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}

Терминология

В алгебраической дроби делимое a называется числителем , а делитель b называется знаменателем . Числитель и знаменатель называются членами алгебраической дроби. а б {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}

Сложная дробь — это дробь, числитель или знаменатель которой, или оба, содержат дробь. Простая дробь не содержит дроби ни в числителе, ни в знаменателе. Дробь находится в наименьшем члене , если единственный множитель, общий для числителя и знаменателя, равен 1.

Выражение, которое не находится в дробной форме, является целочисленным выражением . Целочисленное выражение всегда можно записать в дробной форме, присвоив ему знаменатель 1. Смешанное выражение является алгебраической суммой одного или нескольких целочисленных выражений и одного или нескольких дробных членов.

Рациональные дроби

Если выражения a и b являются многочленами , то алгебраическая дробь называется рациональной алгебраической дробью [1] или просто рациональной дробью . [2] [3] Рациональные дроби также известны как рациональные выражения. Рациональная дробь называется правильной, если , и неправильной в противном случае. Например, рациональная дробь является правильной, а рациональные дроби и являются неправильными. Любая неправильная рациональная дробь может быть выражена как сумма многочлена (возможно, константы) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби имеем ф ( х ) г ( х ) {\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}} градус ⁡ ф ( х ) < градус ⁡ г ( х ) {\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)} 2 x x 2 − 1 {\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}} x 3 + x 2 + 1 x 2 − 5 x + 6 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}} x 2 − x + 1 5 x 2 + 3 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}

x 3 + x 2 + 1 x 2 − 5 x + 6 = ( x + 6 ) + 24 x − 35 x 2 − 5 x + 6 , {\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}

где второй член — правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби в виде суммы двух или более дробей называется разложением ее на простейшие дроби . Например,

2 x x 2 − 1 = 1 x − 1 + 1 x + 1 . {\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}

Здесь два члена справа называются простейшими дробями.

Иррациональные дроби

Иррациональная дробь — это дробь, которая содержит переменную под дробным показателем степени. [4] Примером иррациональной дроби является

x 1 / 2 − 1 3 a x 1 / 3 − x 1 / 2 . {\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную дробь известен как рационализация . Каждая иррациональная дробь, в которой радикалы являются одночленами, может быть рационализирована путем нахождения наименьшего общего кратного индексов корней и замены переменной на другую переменную с наименьшим общим кратным в качестве показателя степени. В приведенном примере наименьшим общим кратным является 6, поэтому мы можем подставить, чтобы получить x = z 6 {\displaystyle x=z^{6}}

z 3 − 1 3 a z 2 − z 3 . {\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Лал, Банси (2006). Темы интегрального исчисления. Laxmi Publications. стр. 53. ISBN 9788131800027.
  2. ^ Винберг, Эрнест Борисович (2003). Курс алгебры. Американское математическое общество. стр. 131. ISBN 9780821883945.
  3. ^ Гупта, Пармананд. Всеобъемлющая математика XII. Laxmi Publications. стр. 739. ISBN 9788170087410.
  4. ^ Маккартни, Вашингтон (1844). Принципы дифференциального и интегрального исчисления и их применение в геометрии. стр. 203.
  • Бринк, Рэймонд В. (1951). "IV. Дроби". Колледжская алгебра .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebraic_fraction&oldid=1201026194"