Координаты Лемэтра

Общая теория относительности
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_ {\mu \nu } = {\kappa }T_ {\mu \nu }}$
Введение История Хронология Тесты Математическая формулировка
Фундаментальные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Феномены проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационное красное смещение Гравитационное замедление времени Гравитационные волны Перетаскивание кадров Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени пространство-время Минковского Мост Эйнштейна-Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон–Папапетру–Диксон Гамильтон–Якоби–Эйнштейн Формализмы АДМ БССН Пост-ньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы–Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( внутри ) Рейсснер–Нордстрём Волны Эйнштейна–Розена Червоточина Гёдель Керр Керр–Ньюман Керр–Ньюман–де Ситтер Каснер Леметр–Толман Тауб–НУТ Милн Робертсон–Уокер Оппенгеймер–Снайдер pp-волна пыль ван Штокума Вейль-Льюис-Папапетру Хартл–Торн
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберт Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Нордстрём Вейль Эддингтон Фридман Милн Цвикки Лемэтр Оппенгеймер Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекар Элерс Пенроуз Хокинг Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Newman Yau Thorne others
Physics portal  Category
v t e

Координаты Леметра — это особый набор координат для метрики Шварцшильда — сферически-симметричного решения уравнений поля Эйнштейна в вакууме, — введенный Жоржем Леметром в 1932 году . ^[1] Переход от координат Шварцшильда к координатам Леметра устраняет сингулярность координат на радиусе Шварцшильда .

Исходное выражение координат Шварцшильда метрики Шварцшильда в натуральных единицах ( c = G = 1 ) имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{r_{s} \over r}\right)dt^{2}-{dr^{2} \over 1-{r_{s} \over r}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\;,}$

где

${\displaystyle ds^{2}}$— инвариантный интервал ;

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$— радиус Шварцшильда;

${\displaystyle M}$— масса центрального тела;

${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$— координаты Шварцшильда (которые асимптотически переходят в плоские сферические координаты );

${\displaystyle c}$это скорость света ;

и - гравитационная постоянная .${\displaystyle G}$

Эта метрика имеет координатную особенность на радиусе Шварцшильда .${\displaystyle r=r_{s}}$

Жорж Леметр был первым, кто показал, что это не настоящая физическая сингулярность, а просто проявление того факта, что статические координаты Шварцшильда не могут быть реализованы с материальными телами внутри радиуса Шварцшильда. Действительно, внутри радиуса Шварцшильда все падает к центру, и физическое тело не может сохранять постоянный радиус.

Преобразование системы координат Шварцшильда из в новые координаты${\displaystyle \{t,r\}}$${\displaystyle \{\tau ,\rho \},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\tau =dt+{\sqrt {\frac {r_{s}}{r}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\\d\rho =dt+{\sqrt {\frac {r}{r_{s}}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\end{aligned}}}$

(числитель и знаменатель меняются местами внутри квадратных корней), приводит к выражению метрики в координатах Леметра,

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{s}}{r}}d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

где

${\displaystyle r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{s}^{1/3}\;.}$

Метрика в координатах Леметра несингулярна на радиусе Шварцшильда . Это соответствует точке . Остается настоящая гравитационная сингулярность в центре, где , которая не может быть устранена изменением координат.${\displaystyle r=r_{s}}$${\displaystyle {\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{s}}$${\displaystyle \rho -\tau =0}$

Координата времени, используемая в координатах Лемэтра, идентична координате времени «капли дождя», используемой в координатах Гулльстранда–Пенлеве . Остальные три: радиальная и угловая координаты координат Гулльстранда–Пенлеве идентичны координатам карты Шварцшильда. То есть Гулльстранд–Пенлеве применяет одно преобразование координат для перехода от времени Шварцшильда к координате капли дождя . Затем Лемэтр применяет второе преобразование координат к радиальной составляющей, чтобы избавиться от недиагональной записи в карте Гулльстранда–Пенлеве.${\displaystyle r,\theta ,\phi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{r}=\tau }$

Обозначение, используемое в этой статье для координаты времени, не следует путать с собственным временем . Верно, что дает собственное время для наблюдателей, падающих радиально; оно не дает собственного времени для наблюдателей, движущихся вдоль других геодезических.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

Траектории с постоянной ρ являются времениподобными геодезическими с τ — собственным временем вдоль этих геодезических. Они представляют собой движение свободно падающих частиц, которые начинают с нулевой скорости на бесконечности. В любой точке их скорость просто равна скорости выхода из этой точки.

Система координат Леметра является синхронной , то есть глобальная временная координата метрики определяет собственное время сопутствующих наблюдателей. Радиально падающие тела достигают радиуса Шварцшильда и центра за конечное собственное время.

Радиальные нулевые геодезические соответствуют , которые имеют решения . Здесь, это просто сокращение для${\displaystyle ds^{2}=0}$${\displaystyle d\tau =\pm \beta d\rho }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta \equiv \beta (r)={\sqrt {r_{s} \over r}}}$

Два знака соответствуют движению лучей света наружу и внутрь соответственно. Перефразируя это в терминах координат, получаем${\displaystyle r}$

${\displaystyle dr=\left(\pm 1-{\sqrt {r_{s} \over r}}\right)d\tau }$

Обратите внимание, что когда . Это интерпретируется как утверждение, что никакой сигнал не может выйти из-под радиуса Шварцшильда, при этом световые лучи, испускаемые радиально либо внутрь, либо наружу, оба оказываются в начале координат по мере увеличения собственного времени.${\displaystyle dr<0}$${\displaystyle r<r_{s}}$${\displaystyle \tau }$

Координатная карта Лемэтра не является геодезически полной . Это можно увидеть, проследив радиальные нулевые геодезические, движущиеся наружу, назад по времени. Геодезические, движущиеся наружу, соответствуют знаку плюс в приведенном выше уравнении. Выбрав начальную точку в , приведенное выше уравнение интегрируется до как . Двигаясь назад по собственному времени, получаем как . Начиная с и интегрируя вперед, получаем в за конечное собственное время. Двигаясь назад, получаем, снова как . Таким образом, можно сделать вывод, что, хотя метрика невырождена в , все геодезические, движущиеся наружу, продолжаются до как .${\displaystyle r>r_{s}}$${\displaystyle \tau =0}$${\displaystyle r\to +\infty }$${\displaystyle \tau \to +\infty }$${\displaystyle r\to r_{s}}$${\displaystyle \tau \to -\infty }$${\displaystyle r<r_{s}}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r\to r_{s}}$${\displaystyle \tau \to -\infty }$${\displaystyle r=r_{s}}$${\displaystyle r=r_{s}}$${\displaystyle \tau \to -\infty }$

• Координаты Крускала-Секереша
• Координаты Эддингтона–Финкельштейна
• Метрика Леметра–Толмена
• Введение в математику общей теории относительности
• Тензор энергии-напряжения
• Метрический тензор (общая теория относительности)
• Релятивистский момент импульса