Теорема об исчезновении Кодаиры

В математике теорема Кодаиры об исчезновении является основным результатом теории комплексных многообразий и комплексной алгебраической геометрии , описывающим общие условия, при которых группы когомологий пучков с индексами q > 0 автоматически равны нулю. Последствия для группы с индексом q = 0 обычно заключаются в том, что ее размерность — число независимых глобальных сечений — совпадает с голоморфной эйлеровой характеристикой , которая может быть вычислена с помощью теоремы Хирцебруха–Римана–Роха .

Утверждение результата Кунихико Кодаиры заключается в том, что если M — компактное кэлерово многообразие комплексной размерности n , L — любое голоморфное линейное расслоение на M , которое положительно , а K _M — каноническое линейное расслоение , то

${\displaystyle H^{q}(M,K_{M}\otimes L)=0}$

для q > 0. Здесь обозначает тензорное произведение линейных расслоений . С помощью двойственности Серра также получается обращение в нуль для q < n . Существует обобщение, теорема об исчезновении Кодаиры–Накано , в которой , где Ω ⁿ ( L ) обозначает пучок голоморфных ( n ,0)-форм на M со значениями на L , заменяется на Ω ^r ( L ), пучок голоморфных ( r ,0)-форм со значениями на L . Тогда группа когомологий H ^q ( M , Ω ^r ( L )) обращается в нуль всякий раз, когда  q  +  r  >  n .${\displaystyle K_{M}\otimes L}$${\displaystyle H^{q}(M,L^{\otimes -1})}$${\displaystyle K_{M}\otimes L\cong \Omega ^{n}(L)}$

Теорема об исчезновении Кодаиры может быть сформулирована на языке алгебраической геометрии без какой-либо ссылки на трансцендентные методы, такие как метрики Кэлера. Положительность линейного расслоения L переводится в то, что соответствующий обратимый пучок является обильным (т.е. некоторая тензорная степень дает проективное вложение). Алгебраическая теорема об исчезновении Кодаиры–Акидзуки–Накано представляет собой следующее утверждение:

Если k — поле нулевой характеристики , X — гладкая и проективная k - схема размерности d , а L — обильный обратимый пучок на X , то

${\displaystyle H^{q}(X,L\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ для }}p+q>d,{\text{ и}}}$

${\displaystyle H^{q}(X,L^{\otimes -1}\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ для }}p+q<d,}$

где Ω ^p обозначают пучки относительных (алгебраических) дифференциальных форм (см. дифференциал Кэлера ).

Рейно (1978) показал, что этот результат не всегда справедлив для полей характеристики p > 0 и, в частности, неверен для поверхностей Рейно . Позднее Соммезе (1986) приводит контрпример для особых многообразий с нелогарифмически каноническими особенностями ^[1] , а также Лауритцен и Рао (1997) приводят элементарные контрпримеры, вдохновленные собственными однородными пространствами с нередуцированными стабилизаторами.

До 1987 года единственное известное доказательство в нулевой характеристике, однако, основывалось на комплексном аналитическом доказательстве и теоремах сравнения GAGA . Однако в 1987 году Пьер Делинь и Люк Иллюзи дали чисто алгебраическое доказательство теоремы об исчезновении в (Deligne & Illusie 1987). Их доказательство основано на демонстрации того, что спектральная последовательность Ходжа–де Рама для алгебраических когомологий де Рама вырождается в степени 1. Это показано путем поднятия соответствующего более конкретного результата из характеристики p  > 0 — результат для положительной характеристики не выполняется без ограничений, но может быть поднят для получения полного результата.

Исторически теорема вложения Кодаиры была выведена с помощью теоремы о занулении. С применением двойственности Серра зануление различных групп когомологий пучков (обычно связанных с каноническим линейным расслоением) кривых и поверхностей помогает в классификации комплексных многообразий, например, классификации Энриквеса–Кодаиры .

• Теорема Каваматы–Фивега об исчезновении
• Теорема Мамфорда об исчезновении
• Теорема Рамануджама об исчезновении

• Делинь, Пьер; Иллюзи, Люк (1987), «Relèvements modulo p ² et decomposition du complexe de Rham», Inventiones Mathematicae , 89 (2): 247–270 , Bibcode : 1987InMat..89..247D, doi : 10.1007/BF01389078, S2CID  119635574
• Эно, Элен; Фивег, Эккарт (1992), Лекции по теоремам об исчезновении (PDF) , Семинар DMV, том. 20, Биркхойзер Верлаг, ISBN 978-3-7643-2822-1, г-н  1193913
• Филлип Гриффитс и Джозеф Харрис , Принципы алгебраической геометрии
• Кодаира, Кунихико (1953), «О дифференциально-геометрическом методе в теории аналитических стеков», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 39 (12): 1268– 1273, Bibcode : 1953PNAS...39.1268K, doi : 10.1073/pnas.39.12.1268 , PMC  1063947 , PMID  16589409
• Лауритцен, Нильс; Рао, Прабхакар (1997), "Элементарные контрпримеры к исчезновению Кодаиры в простой характеристике", Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. , 107 , Springer Verlag: 21– 25, arXiv : alg-geom/9604012 , doi :10.1007/BF02840470, S2CID  16736679
• Рейно, Мишель (1978), «Противоположный пример теоремы об исчезновении в характеристиках p>0», CP Ramanujam - дань уважения , Tata Inst. Фонд. Рез. Исследования по математике, вып. 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр.  273–278 , MR  0541027.
• Фудзино, Осаму (2009). «Введение в программу минимальной модели логарифма для канонических пар логарифмов». arXiv : 0907.1506 [math.AG].
• Sommese, Andrew John (1986). "О структуре теории присоединения проективных многообразий". Complex Analysis and Algebraic Geometry . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1194. pp.  175– 213. doi :10.1007/BFb0077004. ISBN 978-3-540-16490-6.