Обратимый пучок

В математике обратимый пучок — это пучок на кольцеобразном пространстве , который имеет обратный относительно тензорного произведения пучков модулей . Это эквивалент в алгебраической геометрии топологического понятия линейного расслоения . Благодаря их взаимодействию с дивизорами Картье , они играют центральную роль в изучении алгебраических многообразий .

Пусть ( X , O _X ) — кольцевое пространство. Классы изоморфизма пучков O _X -модулей образуют моноид относительно операции тензорного произведения O _X -модулей. Единичным элементом для этой операции является сам O _X . Обратимые пучки — это обратимые элементы этого моноида. В частности, если L — пучок O _X -модулей, то L называется обратимым , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^{[1] [2]}

• Существует пучок M такой, что .${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}M\cong {\mathcal {O}}_{X}}$
• Естественный гомоморфизм является изоморфизмом, где обозначает двойственный пучок .${\displaystyle L\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{\vee }\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle L^{\vee}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(L,{\mathcal {O}}_{X})}$
• Функтор из O _X -модулей в O _X -модули, определяемый соотношением, является эквивалентностью категорий.${\displaystyle F\mapsto F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L}$

Каждый локально свободный пучок ранга один обратим. Если X — локально окольцованное пространство, то L обратимо тогда и только тогда, когда оно локально свободно ранга один. Из-за этого факта обратимые пучки тесно связаны с линейными расслоениями , до такой степени, что их иногда объединяют.

Пусть X — аффинная схема Spec R. Тогда обратимый пучок на X — это пучок, связанный с проективным модулем ранга один над R. Например, сюда входят дробные идеалы полей алгебраических чисел , поскольку они являются проективными модулями ранга один над кольцами целых чисел числового поля.

В общем случае, классы изоморфизма обратимых пучков на X сами образуют абелеву группу относительно тензорного произведения. Эта группа обобщает идеальную группу классов . В общем случае это записывается

${\displaystyle \mathrm {Фото} (X)\ }$

с Pic — функтором Пикара . Поскольку он также включает в себя теорию якобиева многообразия алгебраической кривой , изучение этого функтора является важной проблемой в алгебраической геометрии.

Прямое построение обратимых пучков с помощью данных о X приводит к понятию дивизора Картье .

• Векторные расслоения в алгебраической геометрии
• Линия связки
• Первый класс Черна
• Группа Пикарда
• Теорема Биркгофа-Гротендика

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.