Обширный набор линий

В математике отличительной чертой алгебраической геометрии является то, что некоторые линейные расслоения на проективном многообразии можно считать «положительными», а другие — «отрицательными» (или смесью этих двух). Наиболее важным понятием положительности является понятие обильного линейного расслоения, хотя существует несколько родственных классов линейных расслоений. Грубо говоря, свойства положительности линейного расслоения связаны с наличием множества глобальных сечений . Понимание обильных линейных расслоений на заданном многообразии X равнозначно пониманию различных способов отображения X в проективное пространство . Ввиду соответствия между линейными расслоениями и дивизорами (построенными из подмногообразий коразмерности -1) существует эквивалентное понятие обильного дивизора .

Более подробно, линейное расслоение называется свободным от базовых точек , если оно имеет достаточно сечений, чтобы дать морфизм проективному пространству. Линейное расслоение является полуобильным, если некоторая его положительная степень свободна от базовых точек; полуобильность является своего рода «неотрицательностью». Более строго, линейное расслоение на полном многообразии X является очень обильным , если оно имеет достаточно сечений, чтобы дать замкнутое погружение (или «вложение») X в проективное пространство. Линейное расслоение является обильным, если некоторая его положительная степень является очень обильной.

Обильное линейное расслоение на проективном многообразии X имеет положительную степень на каждой кривой в X. Обратное утверждение не совсем верно, но существуют исправленные версии обратного утверждения, критерии обильности Накаи–Мойшезона и Клеймана.

При заданном морфизме схем векторное расслоение ( или , в более общем смысле, когерентный пучок на Y ) имеет обратный путь к X , где проекция является проекцией на первую координату (см. Пучок модулей#Операции ). Обратный путь векторного расслоения является векторным расслоением того же ранга. В частности, обратный путь линейного расслоения является линейным расслоением. (Короче говоря, слой в точке x в X является слоем E в f ( x ).)${\displaystyle f\двоеточие от X до Y}$ ${\displaystyle p\двоеточие E\до Y}$${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$${\displaystyle f^{*}E}$

Понятия, описанные в данной статье, связаны с этой конструкцией в случае морфизма в проективное пространство.

${\displaystyle f\двоеточие X\to \mathbb {P} ^{n},}$

с E = O (1) линейное расслоение на проективном пространстве , глобальные сечения которого являются однородными многочленами степени 1 (то есть линейными функциями) от переменных . Линейное расслоение O (1) также может быть описано как линейное расслоение, связанное с гиперплоскостью в (потому что нулевое множество сечения O (1) является гиперплоскостью). Если f является замкнутым погружением, например, то отсюда следует, что пулбэк является линейным расслоением на X, связанным с гиперплоским сечением (пересечением X с гиперплоскостью в ).${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}O(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Пусть X — схема над полем k (например, алгебраическое многообразие) с линейным расслоением L. (Линейное расслоение также можно назвать обратимым пучком .) Пусть — элементы k - векторного пространства глобальных сечений L. Нулевое множество каждого сечения — замкнутое подмножество X ; пусть U — открытое подмножество точек, в которых хотя бы одно из не равно нулю. Тогда эти сечения определяют морфизм${\displaystyle а_{0},...,а_{н}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

Более подробно: для каждой точки x из U , слой L над x является 1-мерным векторным пространством над полем вычетов k ( x ). Выбор базиса для этого слоя превращает в последовательность из n +1 чисел, не все из которых равны нулю, и, следовательно, в точку в проективном пространстве. Изменение выбора базиса масштабирует все числа на одну и ту же ненулевую константу, и поэтому точка в проективном пространстве не зависит от выбора.${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$

Более того, этот морфизм обладает тем свойством, что ограничение L на U изоморфно обратному отображению . ^[1]${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Базисное множество линейного расслоения L на схеме X — это пересечение нулевых множеств всех глобальных сечений L . Линейное расслоение L называется свободным от базисных точек , если его базисное множество пусто. То есть для каждой точки x из X существует глобальное сечение L , которое отлично от нуля в x . Если X является собственным над полем k , то векторное пространство глобальных сечений имеет конечную размерность; размерность называется . ^[2] Таким образом, свободное от базисных точек линейное расслоение L определяет морфизм над k , где , заданный выбором базиса для . Не делая выбора, это можно описать как морфизм${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle h^{0}(X,L)}$${\displaystyle f\двоеточие X\to \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$${\displaystyle H^{0}(X,L)}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

из X в пространство гиперплоскостей в , канонически связанное с расслоением линий без базисных точек L. Этот морфизм обладает тем свойством, что L является обратным проецированием .${\displaystyle H^{0}(X,L)}$${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Наоборот, для любого морфизма f из схемы X в проективное пространство над k , обратный линейный пучок не имеет базовых точек. Действительно, O (1) не имеет базовых точек на , потому что для каждой точки y в существует гиперплоскость, не содержащая y . Следовательно, для каждой точки x в X существует сечение s O (1) над , которое не равно нулю в f ( x ), а обратный пучок s является глобальным сечением , которое не равно нулю в x . Короче говоря, обратные линейные пучки без базовых точек — это в точности те, которые можно выразить как обратный пучок O (1) некоторым морфизмом в проективное пространство.${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}O(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Степень линейного расслоения L на собственной кривой C над k определяется как степень дивизора ( s ) любого ненулевого рационального сечения s кривой L. Коэффициенты этого дивизора положительны в точках, где s обращается в нуль, и отрицательны, где s имеет полюс. Следовательно, любое линейное расслоение L на кривой C, такое, что имеет неотрицательную степень (потому что сечения L над C , в отличие от рациональных сечений, не имеют полюсов). ^[3] В частности, каждое линейное расслоение без базисных точек на кривой имеет неотрицательную степень. В результате линейное расслоение без базисных точек L на любой собственной схеме X над полем является nef , что означает, что L имеет неотрицательную степень на каждой (неприводимой) кривой в X. ^[4 ]${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$

В более общем случае пучок F -модулей на схеме X называется глобально порожденным, если существует множество I глобальных сечений такое, что соответствующий морфизм${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

пучков сюръективно. ^[5] Линейное расслоение генерируется глобально тогда и только тогда, когда оно не имеет базовых точек.

Например, каждый квазикогерентный пучок на аффинной схеме глобально порожден. ^[6] Аналогично, в комплексной геометрии теорема Картана A утверждает, что каждый когерентный пучок на многообразии Штейна глобально порожден.

Линейное расслоение L на правильной схеме над полем является полуобильным, если существует положительное целое число r , такое, что тензорная мощность не имеет базисной точки. Полуобильное линейное расслоение является nef (по соответствующему факту для линейных расслоений без базисной точки). ^[7]${\displaystyle L^{\otimes r}}$

Линейное расслоение L на собственной схеме X над полем k называется очень обильным , если оно не имеет базисных точек и соответствующий морфизм

${\displaystyle f\двоеточие X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

является замкнутым погружением. Здесь . Эквивалентно, L очень обильно, если X может быть вложено в проективное пространство некоторой размерности над k таким образом, что L является ограничением линейного расслоения O (1) на X . ^[8] Последнее определение используется для определения очень обильности для линейного расслоения на собственной схеме над любым коммутативным кольцом . ^[9]${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$

Название «очень обильный» было введено Александром Гротендиком в 1961 году. ^{[10] Ранее в контексте} линейных систем делителей использовались различные названия .

Для очень обильного линейного расслоения L на собственной схеме X над полем с ассоциированным морфизмом f степень L на кривой C в X равна степени f ( C ) как кривой в . Таким образом, L имеет положительную степень на каждой кривой в X (потому что каждое подмногообразие проективного пространства имеет положительную степень). ^[11 ]${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

В обычных схемах чаще всего используются обширные пучки линий, но их можно определить и в гораздо более широком смысле.

Пусть X — схема, и пусть — обратимый пучок на X . Для каждого пусть обозначает идеальный пучок редуцированной подсхемы, поддерживаемый только в x . Для определим Эквивалентно, если обозначает поле вычетов в x (рассматриваемое как небоскребный пучок, поддерживаемый в x ), то где — образ s в тензорном произведении.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathfrak {м}}_{х}}$${\displaystyle s\in \Гамма (X,{\mathcal {L}})}$$${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$${\displaystyle \каппа (x)}$$${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$

Fix . Для каждого s ограничение является свободным -модулем, тривиализированным ограничением s , что означает, что морфизм умножения на s является изоморфизмом. Множество всегда открыто, а морфизм включения является аффинным морфизмом. Несмотря на это, не обязательно является аффинной схемой. Например, если , то открыто в себе и аффинно над собой, но в общем случае не аффинно.${\displaystyle s\in \Гамма (X,{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle X_{s}\to X}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle X_{s}=X}$

Предположим, что X является квазикомпактным. Тогда является обильным , если для каждого существует и такое, что и является аффинной схемой. ^[12] Например, тривиальное линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда X является квазиаффинным . ^[13]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle x\in X_{s}}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

В общем случае неверно, что каждое является аффинным. Например, если для некоторой точки O , и если является ограничением на X , то и имеют одинаковые глобальные сечения, а неисчезающее множество сечения является аффинным тогда и только тогда, когда соответствующее сечение содержит O .${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$

Необходимо разрешить степени в определении. Фактически, для каждого N возможно, что неаффинно для каждого с . Действительно, предположим, что Z — конечное множество точек в , и . Исчезающие множества сечений являются плоскими кривыми степени N . Принимая Z за достаточно большое множество точек в общем положении, мы можем гарантировать, что никакая плоская кривая степени N (и, следовательно, любой более низкой степени) не содержит все точки Z . В частности, их неисчезающие множества все неаффинны.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle n\leq N}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$

Определим . Пусть обозначает структурный морфизм. Существует естественный изоморфизм между гомоморфизмами -алгебр и эндоморфизмами градуированного кольца S . Тождественный эндоморфизм S соответствует гомоморфизму . Применение функтора производит морфизм из открытой подсхемы X , обозначаемой , в .${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \operatorname {Proj} }$${\displaystyle G(\varepsilon )}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Основная характеристика обильных обратимых пучков гласит, что если X является квазикомпактной квазиотделимой схемой и является обратимым пучком на X , то следующие утверждения эквивалентны: ^[14]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$достаточно.
2. Открытые множества , где и , образуют основу топологии X .${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle n\geq 0}$
3. Открытые множества, обладающие свойством аффинности, где и , образуют основу топологии X .${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$${\displaystyle n\geq 0}$
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$и морфизм представляет собой доминирующее открытое погружение.${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$и морфизм является гомеоморфизмом базового топологического пространства X с его образом.${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
6. Для любого квазикогерентного пучка на X каноническое отображение сюръективно.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$
7. Для любого квазикогерентного пучка идеалов на X каноническое отображение сюръективно.${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
8. Для любого квазикогерентного пучка идеалов на X каноническое отображение сюръективно.${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
9. Для каждого квазикогерентного пучка конечного типа на X существует целое число такое, что для порождается его глобальными сечениями.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$
10. Для любого квазикогерентного пучка конечного типа на X существуют целые числа и такие, что изоморфны частному от деления .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$
11. Для любого квазикогерентного пучка идеалов конечного типа на X существуют целые числа и такие, что изоморфны частному от деления .${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$

Когда X — разделённое и конечного типа над аффинной схемой, обратимый пучок является обильным тогда и только тогда, когда существует положительное целое число r, такое что тензорная мощность является очень обильной. ^{[15] [16]} В частности, правильная схема над R имеет обильное линейное расслоение тогда и только тогда, когда она проективна над R. Часто эта характеристика принимается за определение обильности.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$

Остальная часть этой статьи будет сосредоточена на обильности на собственных схемах над полем, поскольку это самый важный случай. Обильное линейное расслоение на собственной схеме X над полем имеет положительную степень на каждой кривой в X , согласно соответствующему утверждению для очень обильных линейных расслоений.

Дивизор Картье D на собственной схеме X над полем k называется обильным, если соответствующее линейное расслоение O ( D ) является обильным. (Например, если X является гладким над k , то дивизор Картье можно отождествить с конечной линейной комбинацией замкнутых подмногообразий коразмерности 1 в X с целыми коэффициентами.)

Ослабление понятия «очень обильный» до «обильный» дает гибкую концепцию с широким спектром различных характеристик. Первый момент заключается в том, что тензорное умножение больших степеней обильного линейного расслоения с любым когерентным пучком дает пучок со многими глобальными сечениями. Точнее, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом ) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое, что пучок глобально генерируется для всех . Здесь s может зависеть от F . ^{[17] [18]}${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$${\displaystyle r\geq s}$

Другая характеристика обильности, известная как теорема Картана – Серра – Гротендика , дается в терминах когерентных пучковых когомологий . А именно, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое, что

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

для всех и всех . ^{[19] [18]} В частности, высокие степени обильного линейного расслоения убивают когомологии в положительных степенях. Это следствие называется теоремой Серра об исчезновении , доказанной Жан-Пьером Серром в его статье 1955 года Faisceaux algébriques cohérents .${\displaystyle i>0}$${\displaystyle r\geq s}$

• Тривиальное линейное расслоение на проективном многообразии X положительной размерности не имеет базовых точек, но не является обильным. В более общем случае, для любого морфизма f из проективного многообразия X в некоторое проективное пространство над полем обратное линейное расслоение всегда не имеет базовых точек, тогда как L является обильным тогда и только тогда, когда морфизм f конечен (то есть все слои f имеют размерность 0 или являются пустыми ). ^[20]${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$
• Для целого числа d пространство сечений линейного расслоения O ( d ) над является комплексным векторным пространством однородных многочленов степени d от переменных x , y . В частности, это пространство равно нулю при d < 0. Для морфизм в проективное пространство, заданный O ( d ), есть${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

к

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].}$

Это замкнутое погружение для , с образом рациональной нормальной кривой степени d в . Следовательно, O ( d ) не имеет базисных точек тогда и только тогда, когда , и очень обилен тогда и только тогда, когда . Отсюда следует, что O ( d ) обилен тогда и только тогда, когда .${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$${\displaystyle d\geq 0}$${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle d\geq 1}$

• Для примера, где «обильный» и «очень обильный» различны, пусть X будет гладкой проективной кривой рода 1 ( эллиптической кривой ) над C , и пусть p будет комплексной точкой X. Пусть O ( p ) будет ассоциированным линейным расслоением степени 1 на X. Тогда комплексное векторное пространство глобальных сечений O ( p ) имеет размерность 1, натянутое на сечение, которое исчезает в p . ^[21] Таким образом, базисное множество O ( p ) равно p . С другой стороны, O (2 p ) не имеет базисных точек, а O ( dp ) очень обилен для (давая вложение X как эллиптической кривой степени d в ). Следовательно, O ( p ) обилен, но не очень обилен. Кроме того, O (2 p ) обилен и не имеет базисных точек, но не очень обилен; ассоциированный морфизм в проективное пространство является разветвленным двойным покрытием .${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{d-1}}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$
• На кривых более высокого рода существуют обильные линейные расслоения L , для которых каждое глобальное сечение равно нулю. (Но высокие кратные L имеют много сечений, по определению.) Например, пусть X — гладкая плоская четвертая кривая (степени 4 в ) над C , и пусть p и q — различные комплексные точки X . Тогда линейное расслоение обильно, но имеет . ^[22]${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle L=O(2p-q)}$${\displaystyle H^{0}(X,L)=0}$

Чтобы определить, является ли заданное линейное расслоение на проективном многообразии X обильным, часто наиболее полезными оказываются следующие числовые критерии (в терминах чисел пересечения). Это эквивалентно вопросу, когда дивизор Картье D на X обильным, имея в виду, что связанное линейное расслоение O ( D ) обильно. Число пересечения можно определить как степень линейного расслоения O ( D ), ограниченную C . В другом направлении, для линейного расслоения L на проективном многообразии первый класс Черна означает связанный дивизор Картье (определенный с точностью до линейной эквивалентности), делитель любого ненулевого рационального сечения L .${\displaystyle D\cdot C}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$

На гладкой проективной кривой X над алгебраически замкнутым полем k линейное расслоение L является очень обильным тогда и только тогда, когда для всех k - рациональных точек x , y в X . ^[23] Пусть g будет родом X . По теореме Римана–Роха каждое линейное расслоение степени не менее 2g +  1 удовлетворяет этому условию и, следовательно, является очень обильным. В результате линейное расслоение на кривой является обильным тогда и только тогда, когда оно имеет положительную степень. ^[24]${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$

Например, каноническое расслоение кривой X имеет степень 2 g  − 2, и поэтому оно обильно тогда и только тогда, когда . Кривые с обильным каноническим расслоением образуют важный класс; например, над комплексными числами это кривые с метрикой отрицательной кривизны . Каноническое расслоение очень обильно тогда и только тогда, когда и кривая не является гиперэллиптическим . ^[25]${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle g\geq 2}$

Критерий Накаи–Мойшезона (названный в честь Ёсиказу Накаи (1963) и Бориса Мойшезона (1964)) утверждает, что линейное расслоение L на собственной схеме X над полем является обильным тогда и только тогда, когда для каждого ( неприводимого ) замкнутого подмногообразия Y многообразия X ( Y не может быть точкой). ^[26] В терминах дивизоров дивизор Картье D является обильным тогда и только тогда, когда для каждого (ненульмерного) подмногообразия Y многообразия X. Для кривой X это означает, что дивизор является обильным тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень. Для поверхности X этот критерий утверждает, что дивизор D является обильным тогда и только тогда, когда его индекс самопересечения положителен и каждая кривая C на X имеет .${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$ ${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle D\cdot C>0}$

Чтобы сформулировать критерий Клеймана (1966), пусть X будет проективной схемой над полем. Пусть будет действительным векторным пространством 1-циклов (действительных линейных комбинаций кривых в X ) по модулю численной эквивалентности, что означает, что два 1-цикла A и B равны в тогда и только тогда, когда каждое линейное расслоение имеет одинаковую степень на A и на B . По теореме Нерона–Севери действительное векторное пространство имеет конечную размерность. Критерий Клеймана утверждает, что линейное расслоение L на X является обильным тогда и только тогда, когда L имеет положительную степень на каждом ненулевом элементе C замыкания конуса кривых NE( X ) в . (Это немного сильнее, чем утверждение, что L имеет положительную степень на каждой кривой.) Эквивалентно , линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда его класс в двойственном векторном пространстве находится внутри nef-конуса . ^[27]${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Критерий Клеймана в общем случае недействителен для правильных (а не проективных) схем X над полем, хотя он выполняется, если X является гладким или, в более общем случае, Q -факториальным. ^[28]

Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго nef , если оно имеет положительную степень на каждой кривой Нагата (1959). и Дэвид Мамфорд построили линейные расслоения на гладких проективных поверхностях, которые являются строго nef, но не обильными. Это показывает, что условие не может быть опущено в критерии Накаи–Мойшезона, и необходимо использовать замыкание NE( X ) вместо NE( X ) в критерии Клеймана. ^[29] Каждое nef линейное расслоение на поверхности имеет , а примеры Нагаты и Мамфорда имеют .${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$

К. С. Сешадри показал, что линейное расслоение L на правильной схеме над алгебраически замкнутым полем является обильным тогда и только тогда, когда существует положительное действительное число ε такое, что deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) для всех (неприводимых) кривых C в X , где m ( C ) — максимальная кратность в точках C . ^[30]

Несколько характеристик обильности справедливы в более общем случае для линейных расслоений на собственном алгебраическом пространстве над полем k . В частности, критерий Накаи-Мойшезона справедлив в этой общности. ^[31] Критерий Картана-Серра-Гротендика справедлив даже в более общем случае для собственного алгебраического пространства над нётеровым кольцом R. ^[32] (Если собственное алгебраическое пространство над R имеет обильное линейное расслоение, то оно фактически является проективной схемой над R. ) Критерий Клеймана недействителен для собственных алгебраических пространств X над полем, даже если X является гладким. ^[33]

На проективной схеме X над полем критерий Клеймана подразумевает, что обильность является открытым условием для класса R -дивизора ( R -линейной комбинации дивизоров Картье) в , с его топологией, основанной на топологии действительных чисел. ( R -дивизор определяется как обильный, если он может быть записан как положительная линейная комбинация обильных дивизоров Картье. ^[34] ) Элементарный частный случай: для обильного дивизора H и любого дивизора E существует положительное действительное число b такое, что обильно для всех действительных чисел a, модуль которых меньше b . В терминах дивизоров с целыми коэффициентами (или линейных расслоений) это означает, что nH + E обильно для всех достаточно больших положительных целых чисел n .${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle H+aE}$

Обильность также является открытым условием в совершенно ином смысле, когда многообразие или линейное расслоение варьируется в алгебраическом семействе. А именно, пусть будет собственным морфизмом схем, и пусть L будет линейным расслоением на X . Тогда множество точек y в Y , таких что L обильно на слое, открыто (в топологии Зарисского ). Более строго, если L обильно на одном слое , то существует аффинная открытая окрестность U точки y , такая что L обильно на над U . ^[35]${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle X_{y}}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Клейман также доказал следующие характеристики обильности, которые можно рассматривать как промежуточные шаги между определением обильности и численными критериями. А именно, для линейного расслоения L на собственной схеме X над полем следующие условия эквивалентны: ^[36]

• L достаточно.
• Для каждого (неприводимого) подмногообразия положительной размерности существует положительное целое число r и сечение , которое не равно тождественно нулю, но обращается в нуль в некоторой точке Y .${\displaystyle Y\subset X}$${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$
• Для каждого (неприводимого) подмногообразия положительной размерности голоморфные эйлеровы характеристики степеней L на Y стремятся к бесконечности:${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$как .${\displaystyle r\to \infty }$

Робин Хартшорн определил векторное расслоение F на проективной схеме X над полем как обильное , если линейное расслоение на пространстве гиперплоскостей в F является обильным. ^[37]${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$

Несколько свойств обильных линейных расслоений распространяются на обильные векторные расслоения. Например, векторное расслоение F обильно тогда и только тогда, когда высокие симметричные степени F убивают когомологии когерентных пучков для всех . ^[38] Кроме того, класс Черна обильного векторного расслоения имеет положительную степень на каждом r -мерном подмногообразии X , для . ^[39]${\displaystyle H^{i}}$${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle c_{r}(F)}$${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$

Полезным ослаблением обильности, особенно в бирациональной геометрии , является понятие большого линейного расслоения . Линейное расслоение L на проективном многообразии X размерности n над полем называется большим, если существует положительное действительное число a и положительное целое число, такие что для всех . Это максимально возможная скорость роста для пространств сечений степеней L в том смысле, что для каждого линейного расслоения L на X существует положительное число b с для всех j > 0. ^[40]${\displaystyle j_{0}}$${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$${\displaystyle j\geq j_{0}}$${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$

Существует несколько других характеристик больших линейных расслоений. Во-первых, линейное расслоение является большим тогда и только тогда, когда существует положительное целое число r, такое что рациональное отображение из X в , заданное сечениями , является бирациональным на его образ. ^[41] Кроме того, линейное расслоение L является большим тогда и только тогда, когда оно имеет положительную тензорную степень, которая является тензорным произведением обильного линейного расслоения A и эффективного линейного расслоения B (что означает, что ). ^[42] Наконец, линейное расслоение является большим тогда и только тогда, когда его класс в находится внутри конуса эффективных делителей. ^[43]${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$${\displaystyle L^{\otimes r}}$${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

Величина может рассматриваться как бирационально инвариантный аналог обильности. Например, если — доминантное рациональное отображение между гладкими проективными многообразиями той же размерности, то обратный путь большого линейного расслоения на Y является большим на X. (На первый взгляд, обратный путь — это только линейное расслоение на открытом подмножестве X , где f — морфизм, но это однозначно распространяется на линейное расслоение на всем X. ) Для обильных линейных расслоений можно сказать только, что обратный путь обильного линейного расслоения конечным морфизмом является обильным. ^[20]${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Пример: Пусть X будет раздутием проективной плоскости в точке над комплексными числами. Пусть H будет обратным протягиванием к X прямой на , и пусть E будет исключительной кривой раздутия . Тогда дивизор H + E большой, но не обильный (или даже nef) на X , потому что${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

Эта отрицательность также подразумевает , что базисное место H + E (или любого положительного кратного) содержит кривую E. Фактически, это базисное место равно E.

При наличии квазикомпактного морфизма схем обратимый пучок L на X называется обильным относительно f или f -обильным , если выполняются следующие эквивалентные условия: ^{[44] [45]}${\displaystyle f:X\to S}$

1. Для каждого открытого аффинного подмножества ограничение L на является обильным (в обычном смысле).${\displaystyle U\subset S}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$
2. f является квазиразделенным и существует открытое погружение, индуцированное отображением присоединения :${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$

   ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$.

3. Условие 2. без «открытого».

Условие 2 (приблизительно) гласит, что X может быть открыто компактифицировано до проективной схемы с (а не просто до собственной схемы).${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=L}$

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Разнообразие Фано : разнообразие, канонический пучок которого является анти-обильным
• Большая теорема Мацусаки
• Дивизориальная схема : схема, допускающая достаточное семейство линейных расслоений.

• Голоморфное векторное расслоение
• Теорема вложения Кодаиры : на компактном комплексном многообразии обильность и положительность совпадают.
• Теорема об исчезновении Кодаиры
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости : обильный дивизор в комплексном проективном многообразии X топологически подобен X.

• Проект «Стекс»