Уравнение Кортевега–Де Фриза

В математике уравнение Кортевега –де Фриза (КдФ) является частным дифференциальным уравнением (ЧДУ), которое служит математической моделью волн на мелководных поверхностях. Оно особенно примечательно как прототипический пример интегрируемого ЧДУ , демонстрирующий типичное поведение, такое как большое количество явных решений, в частности солитонных решений, и бесконечное количество сохраняющихся величин , несмотря на нелинейность, которая обычно делает ЧДУ неразрешимыми. КдФ можно решить методом обратной задачи рассеяния (МОР). ^[2] Фактически, Клиффорд Гарднер , Джон М. Грин , Мартин Крускал и Роберт Миура разработали классический метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ.

Уравнение КдФ было впервые введено Жозефом Валентином Буссинеском  (1877, сноска на стр. 360) и заново открыто Дидериком Кортевегом и Густавом де Вризом в 1895 году, которые нашли простейшее решение — односолитонное решение. ^{[3] [4]} Понимание уравнения и поведения решений значительно продвинулось вперед благодаря компьютерному моделированию Нормана Забуски и Крускала в 1965 году, а затем благодаря разработке обратного преобразования рассеяния в 1967 году.

В 1972 году Т. Кавахара предложил уравнение типа КдФ пятого порядка, известное как уравнение Кавахары , которое описывает дисперсионные волны, особенно в случаях, когда коэффициент уравнения КдФ становится очень малым или равен нулю. ^[5]

Уравнение КдФ представляет собой уравнение в частных производных , которое моделирует (пространственно) одномерные нелинейные дисперсионные недиссипативные волны, описываемые функцией, следующей из: ^[6]${\displaystyle \фи (x,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,\quad x\in \mathbb {R} ,\;t\geq 0,}$

где учитывает дисперсию, а нелинейный элемент представляет собой адвективный член.${\displaystyle \partial _{x}^{3}\phi }$${\displaystyle \phi \partial _ {x}\phi }$

Для моделирования мелководных волн — это смещение высоты водной поверхности от ее равновесной высоты.${\displaystyle \фи}$

Константа перед последним членом является общепринятой, но не имеет большого значения: умножение , , и на константы можно использовать для того, чтобы сделать коэффициенты любого из трех членов равными любым заданным ненулевым константам.${\displaystyle 6}$${\displaystyle т}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \фи}$

Рассмотрим решения, в которых фиксированная форма волны , заданная , сохраняет свою форму при движении вправо с фазовой скоростью . Такое решение задается . Подстановка его в уравнение КдФ дает обыкновенное дифференциальное уравнение${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle с}$${\displaystyle \varphi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)}$

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

или, интегрируя по ,${\displaystyle X}$

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A}$

где - константа интегрирования . Интерпретируя независимую переменную выше как виртуальную переменную времени, это означает удовлетворяет уравнению движения Ньютона частицы единичной массы в кубическом потенциале${\displaystyle А}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}$.

Если

${\displaystyle А=0,\,с>0}$

тогда потенциальная функция имеет локальный максимум при ; существует решение, в котором начинается в этой точке в «виртуальное время» , в конечном итоге скатывается к локальному минимуму , затем возвращается на другую сторону, достигая равной высоты, а затем меняет направление, снова оказываясь на локальном максимуме в момент времени . Другими словами, приближается к . Это характерная форма решения для уединенной волны .${\displaystyle V(ф)}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X\to -\infty }$

Точнее, решение такое

${\displaystyle \phi (x,t)=- {\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2 }(xc\,ta)\вправо]}$

где обозначает гиперболический секанс , а — произвольная константа. ^[7] Это описывает праводвижущийся солитон со скоростью .${\displaystyle \operatorname {sech} }$${\displaystyle а}$${\displaystyle с}$

Известно выражение для решения, которое является -солитонным решением, которое в поздние моменты времени распадается на отдельные одиночные солитоны. ^[8] Решение зависит от набора убывающих положительных параметров и набора ненулевых параметров . Решение дается в виде , где компоненты матрицы${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \chi _{1}>\cdots >\chi _{N}>0}$${\displaystyle \beta _{1},\cdots ,\beta _{N}}$$${\displaystyle \phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} [\mathrm {det} A(x,t)]}$$${\displaystyle A(x,t)}$${\displaystyle A_{нм}(x,t)=\дельта _{нм}+{\frac {\бета _{n}e^{8\хи _{n}^{3}t}e^{-(\хи _{n}+\хи _{m})x}}{\хи _{n}+\хи _{m}}}.}$

Этот результат получен с помощью метода обратного рассеяния.

Уравнение КдФ имеет бесконечно много интегралов движения , функционалов на решении , которые не меняются со временем. ^[9] Они могут быть заданы явно как${\displaystyle \фи (т)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$

где полиномы определяются рекурсивно с помощью${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ для }}n\geq 2.\end{aligned}}}$

Первые несколько интегралов движения:

• масса${\displaystyle \int \phi \, \mathrm {d} x,}$
• импульс${\displaystyle \int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,}$
• энергия .${\displaystyle \int \left[2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\right]\,\mathrm {d} x}$

Только нечетные члены приводят к нетривиальным (то есть ненулевым) интегралам движения. ^[10]${\displaystyle P_{2n+1}}$

Уравнение КдФ

${\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }$

можно переформулировать как уравнение Лакса

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,}$

с оператором Штурма –Лиувилля :${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-6\phi \,\partial _{x}-3[\partial _{x},\phi ]\end{aligned}}}$

где — коммутатор такой, что . ^[11] Пара Лакса учитывает бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ. ^[12]${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]}$${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]f=f\partial _{x}\phi }$

Фактически, является не зависящим от времени оператором Шредингера (без учета констант) с потенциалом . Можно показать, что благодаря этой формулировке Лакса собственные значения фактически не зависят от . ^[13]${\displaystyle L}$${\displaystyle \фи (x,t)}$${\displaystyle т}$

Задание компонентов связности Лакса в виде уравнения КдФ эквивалентно уравнению нулевой кривизны для связности Лакса,$${\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+[L_{x},L_{t}]=0.}$$

Уравнение Кортевега – Де Фриза.

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,}$

— уравнение движения Эйлера–Лагранжа, полученное из плотности Лагранжа ,${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}}$

1

с определенным${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Вывод уравнений Эйлера–Лагранжа

Поскольку лагранжиан (уравнение (1)) содержит вторые производные, уравнение движения Эйлера–Лагранжа для этого поля имеет вид

${\displaystyle \partial _{\mu \mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu \mu }\psi )}}\right)-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

2

где — производная по компоненту.${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \mu }$

Подразумевается сумма, поэтому уравнение (2) на самом деле выглядит так:${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)+\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)-\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)-\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

3

Оцените пять членов уравнения (3), подставив в уравнение (1),

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0}$

${\displaystyle \partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0}$

Запомните определение , и используйте его для упрощения приведенных выше терминов.${\displaystyle \phi =\partial _{x}\psi }$

${\displaystyle \partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi }$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi }$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi }$

Наконец, подставьте эти три ненулевых члена обратно в уравнение (3), чтобы увидеть

${\displaystyle \left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,}$

что в точности соответствует уравнению КдФ

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.}$

Можно показать, что любое достаточно быстро распадающееся гладкое решение в конечном итоге распадется на конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, и распадающуюся дисперсионную часть, движущуюся влево. Это впервые наблюдали Забуски и Крускал (1965) и может быть строго доказано с помощью нелинейного анализа наискорейшего спуска для колебательных задач Римана–Гильберта . ^[14]

История уравнения Кортевега-де-Вриза началась с экспериментов Джона Скотта Рассела в 1834 году, за которыми последовали теоретические исследования лорда Рэлея и Жозефа Буссинеска около 1870 года и, наконец, Кортевега и Де Фриза в 1895 году.

Уравнение КдФ не изучалось после этого, пока Забуски и Крускал (1965) не обнаружили численно, что его решения, по-видимому, распадаются на большие времена на набор «солитонов»: хорошо разделенных уединенных волн. Более того, солитоны, по-видимому, почти не изменяют форму, проходя друг через друга (хотя это может вызвать изменение их положения). Они также установили связь с более ранними численными экспериментами Ферми, Пасты, Улама и Цингоу, показав, что уравнение КдФ было пределом непрерывности системы FPUT . Разработка аналитического решения с помощью обратного преобразования рассеяния была выполнена в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой. ^{[2] [15]}

Теперь мы видим, что уравнение КдФ тесно связано с принципом Гюйгенса . ^{[16] [17]}

Уравнение КдФ имеет несколько связей с физическими проблемами. Помимо того, что оно является основным уравнением струны в задаче Ферми–Паста–Улама–Цингоу в пределе континуума, оно приблизительно описывает эволюцию длинных одномерных волн во многих физических условиях, включая:

• мелководные волны со слабонелинейными восстанавливающими силами,
• длинные внутренние волны в стратифицированном по плотности океане ,
• ионно-акустические волны в плазме ,
• акустические волны на кристаллической решетке .

Уравнение КдФ можно также решить с помощью обратного преобразования рассеяния, подобного тому, которое применяется к нелинейному уравнению Шредингера .

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (September 2015) (Learn how and when to remove this message)

Рассматривая упрощенные решения вида

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}$

мы получаем уравнение КдФ как

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

или

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}$

Интегрируя и рассматривая частный случай, в котором постоянная интегрирования равна нулю, имеем:

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}$

что является частным случаем обобщенного стационарного уравнения Гросса–Питаевского (УГП)${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}$

Следовательно, для определенного класса решений обобщенного GPE ( для истинного одномерного конденсата и при использовании трехмерного уравнения в одном измерении) два уравнения являются одним. Более того, принимая случай со знаком минус и действительным, получаем притягивающее самовзаимодействие, которое должно дать яркий солитон. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \lambda =4}$${\displaystyle \lambda =2}$${\displaystyle \lambda =3}$${\displaystyle \phi }$

Было изучено много различных вариаций уравнений КдФ. Некоторые из них перечислены в следующей таблице.

Имя	Уравнение
Кортевег–Де Врис (KdV)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+6u\partial _{x}u=0}$
КдВ (цилиндрический)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{2t}}u=0}$
КдВ (деформированный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left({\frac {\partial _{x}^{2}u-2\eta u^{3}-3u(\partial _{x}u)^{2}}{2(\eta +u^{2})}}\right)=0}$
КдВ (обобщенный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u}$
КдВ (обобщенный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0}$
КдВ (модифицированный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6u^{2}\partial _{x}u=0}$
Уравнение Гарднера	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-(6\varepsilon ^{2}u^{2}+6u)\partial _{x}u=0}$
КдВ (модифицированный модифицированный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-{\tfrac {1}{8}}(\partial _{x}u)^{3}+(\partial _{x}u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au})=0}$
КдВ (сферический)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{t}}u=0}$
Уравнение Хироты–Сатсумы	${\displaystyle \displaystyle {\begin{cases}u_{t}-{\frac {1}{2}}u_{xxx}+3uu_{x}-3(vw)_{x}=0\\v_{t}+v_{xxx}-3uv_{x}=0\\w_{t}+w_{xxx}-3uw_{x}=0\end{cases}}}$
КдВ (супер)	${\displaystyle \displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u=6u\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3w\partial _{x}^{2}w\\\partial _{t}w=3(\partial _{x}u)w+6u\partial _{x}w-4\partial _{x}^{3}w\end{cases}}}$
КдВ (переходный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6f(t)u\partial _{x}u=0}$
КдВ (переменные коэффициенты)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\beta t^{n}\partial _{x}^{3}u+\alpha t^{n}u\partial _{x}u=0}$
Уравнение КдФ-Бюргерса	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \partial _{x}^{3}u+u\partial _{x}u-\nu \partial _{x}^{2}u=0}$
Уравнение Кавахары	${\displaystyle \partial _{t}u+\alpha u\partial _{x}u+\beta \partial _{x}^{3}u-\gamma \,\partial _{x}^{5}u=0,}$
неоднородный КдВ	${\displaystyle \partial _{t}u+\alpha u+\beta \partial _{x}u+\gamma \partial _{x}^{2}u=Ai(x),\quad u(x,0)=f(x)}$

• Берест Юрий Юрьевич; Луценко, Игорь М. (1997). «Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза». Связь в математической физике . 190 (1): 113–132 . arXiv : solv-int/9704012 . дои : 10.1007/s002200050235. ISSN  0010-3616.
• Буссинеск, Ж. (1877), «Очерк теории курантов», «Мемуары представляют собой par divers savants `l'Acad. де Sci. Инст. Нат. Франция, XXIII, стр.  1–680 .
• Chalub, Fabio ACC; Zubelli, Jorge P. (2006). «Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий» (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 213 (2): 231– 245. doi :10.1016/j.physd.2005.11.008.
• Дарригол, Оливье (2005). Миры потока. Оксфорд; Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856843-8.
• Доксуа, Тьерри; Пейрард, Мишель (2006). Физика солитонов . Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-85421-0. OCLC  61757137.
• Dingemans, MW (1997). Распространение волн на воде по неровному дну . River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 981-02-0427-2.
• Дунайский, Мацей (2009). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд; Нью-Йорк: ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-857063-9. OCLC  320199531.
• Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Крускал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1967). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Physical Review Letters . 19 (19): 1095– 1097. doi :10.1103/PhysRevLett.19.1095. ISSN  0031-9007.
• Грюнерт, Катрин; Тешль, Джеральд (2009), "Долгосрочная асимптотика для уравнения Кортевега–де Фриза с помощью нелинейного наискорейшего спуска", Матем. физика. анал. геом. , т. 12, № 3, стр.  287–324 , arXiv : 0807.5041 , Bibcode : 2009MPAG...12..287G, doi : 10.1007/s11040-009-9062-2, S2CID  8740754
• Кортевег, DJ; де Вриз, Г. (1895). "XLI. Об изменении формы длинных волн, распространяющихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 39 (240): 422– 443. doi :10.1080/14786449508620739. ISSN  1941-5982.
• Лакс, Питер Д. (1968). «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 21 (5): 467– 490. doi :10.1002/cpa.3160210503. ISSN  0010-3640. OSTI  4522657.
• Миура, Роберт М.; Гарднер, Клиффорд С.; Крускал, Мартин Д. (1968), «Уравнение Кортевега–де Фриза и его обобщения. II. Существование законов сохранения и констант движения», J. Math. Phys. , 9 (8): 1204– 1209, Bibcode : 1968JMP.....9.1204M, doi : 10.1063/1.1664701, MR  0252826
• Полянин, Андрей Д.; Зайцев, Валентин Ф. (2003). Справочник по нелинейным уравнениям в частных производных . Бока-Ратон, Флорида: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-355-5.
• Вакакис, Александр Ф. (2002). Нормальные моды и локализация в нелинейных системах . Дордрехт; Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-7010-9.
• Забуски, Нью-Джерси; Крускал, Мэриленд (1965). «Взаимодействие «солитонов» в бесстолкновительной плазме и повторение начальных состояний». Physical Review Letters . 15 (6): 240– 243. doi :10.1103/PhysRevLett.15.240. ISSN  0031-9007.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с уравнением Кортевега – де Фриза .

• Уравнение Кортевега–де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Цилиндрическое уравнение Кортевега–де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кортевега – де Фриза». Математический мир .
• Вывод уравнения Кортевега–де Фриза для узкого канала.
• Решение уравнения Кортевега–де Вриза с тремя солитонами – [1]
• Три солитона (неустойчивое) решение уравнения Кортевега–де Вриза – [2]
• Математические аспекты уравнений типа Кортевега–де Фриза обсуждаются на вики-сайте Dispersive PDE.
• Солитоны из уравнения Кортевега – Де Фриза С.М. Блиндера, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Солитоны и нелинейные волновые уравнения