Приближение Буссинеска (волны на воде)
Приближение справедливо для слабо нелинейных и достаточно длинных волн.
Моделирование периодических волн над подводной отмелью с помощью модели типа Буссинеска. Волны распространяются над эллиптической подводной отмелью на плоском пляже. Этот пример сочетает в себе несколько эффектов волн и мелководья , включая рефракцию , дифракцию , обмеление и слабую нелинейность .

В динамике жидкости приближение Буссинеска для волн на воде является приближением , действительным для слабо нелинейных и довольно длинных волн. Приближение названо в честь Джозефа Буссинеска , который впервые вывел его в ответ на наблюдение Джоном Скоттом Расселом волны трансляции (также известной как уединенная волна или солитон ). В статье Буссинеска 1872 года были введены уравнения, которые теперь известны как уравнения Буссинеска . [1]

Приближение Буссинеска для водных волн учитывает вертикальную структуру горизонтальной и вертикальной скорости потока . Это приводит к нелинейным уравнениям в частных производных , называемым уравнениями типа Буссинеска , которые включают частотную дисперсию (в отличие от уравнений мелкой воды , которые не являются частотно-дисперсными). В прибрежной инженерии уравнения типа Буссинеска часто используются в компьютерных моделях для моделирования водных волн в мелководных морях и гаванях .

В то время как приближение Буссинеска применимо к довольно длинным волнам, то есть когда длина волны велика по сравнению с глубиной воды, разложение Стокса больше подходит для коротких волн (когда длина волны того же порядка, что и глубина воды, или короче).

приближение Буссинеска

Периодические волны в приближении Буссинеска, показанные в вертикальном сечении в направлении распространения волны . Обратите внимание на плоские впадины и острые гребни , обусловленные нелинейностью волны. Этот случай (нарисованный в масштабе ) показывает волну с длиной волны, равной 39,1  м , высотой волны 1,8 м ( т.е. разницей между высотой гребня и впадины), а средняя глубина воды составляет 5 м, тогда как ускорение свободного падения составляет 9,81 м/с 2 .

Основная идея приближения Буссинеска заключается в исключении вертикальной координаты из уравнений потока, при этом сохраняя некоторые влияния вертикальной структуры потока под волнами на воде . Это полезно, поскольку волны распространяются в горизонтальной плоскости и имеют иное (не волнообразное) поведение в вертикальном направлении. Часто, как в случае Буссинеска, интерес в первую очередь представляет распространение волн.

Это исключение вертикальной координаты было впервые сделано Жозефом Буссинеском в 1871 году для построения приближенного решения для уединенной волны (или волны трансляции ). Впоследствии, в 1872 году, Буссинеск вывел уравнения, известные сегодня как уравнения Буссинеска.

Шаги в приближении Буссинеска следующие:

После этого к оставшимся уравнениям потока применяется приближение Буссинеска, чтобы устранить зависимость от вертикальной координаты. В результате полученные уравнения в частных производных находятся в терминах функций горизонтальных координат (и времени ).

В качестве примера рассмотрим потенциальный поток над горизонтальным дном в плоскости с горизонтальной и вертикальной координатами . Дно расположено в точке , где — средняя глубина воды. Разложение Тейлора выполняется для потенциала скорости вокруг уровня дна : [2] ( х , з ) {\displaystyle (x,z)} x {\displaystyle x} z {\displaystyle z} z = − h {\displaystyle z=-h} h {\displaystyle h} φ ( x , z , t ) {\displaystyle \varphi (x,z,t)} z = − h {\displaystyle z=-h}

φ = φ b + ( z + h ) [ ∂ φ ∂ z ] z = − h + 1 2 ( z + h ) 2 [ ∂ 2 φ ∂ z 2 ] z = − h + 1 6 ( z + h ) 3 [ ∂ 3 φ ∂ z 3 ] z = − h + 1 24 ( z + h ) 4 [ ∂ 4 φ ∂ z 4 ] z = − h + ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\varphi _{b}\,+\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}}

где потенциал скорости на дне. Привлечение уравнения Лапласа для , как справедливо для несжимаемого потока , дает: φ b ( x , t ) {\displaystyle \varphi _{b}(x,t)} φ {\displaystyle \varphi }

φ = { φ b − 1 2 ( z + h ) 2 ∂ 2 φ b ∂ x 2 + 1 24 ( z + h ) 4 ∂ 4 φ b ∂ x 4 + ⋯ } + { ( z + h ) [ ∂ φ ∂ z ] z = − h − 1 6 ( z + h ) 3 ∂ 2 ∂ x 2 [ ∂ φ ∂ z ] z = − h + ⋯ } = { φ b − 1 2 ( z + h ) 2 ∂ 2 φ b ∂ x 2 + 1 24 ( z + h ) 4 ∂ 4 φ b ∂ x 4 + ⋯ } , {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}

поскольку вертикальная скорость равна нулю в – непроницаемом – горизонтальном слое . Этот ряд впоследствии может быть усечен до конечного числа членов. ∂ φ / ∂ z {\displaystyle \partial \varphi /\partial z} z = − h {\displaystyle z=-h}

Оригинальные уравнения Буссинеска

Вывод

Для волн на воде в несжимаемой жидкости и безвихревого течения на плоскости граничные условия на возвышении свободной поверхности следующие: [3] ( x , z ) {\displaystyle (x,z)} z = η ( x , t ) {\displaystyle z=\eta (x,t)}

∂ η ∂ t + u ∂ η ∂ x − w = 0 ∂ φ ∂ t + 1 2 ( u 2 + w 2 ) + g η = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,u\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,-\,w\,=\,0\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,{\frac {1}{2}}\,\left(u^{2}+w^{2}\right)\,+\,g\,\eta \,=\,0,\end{aligned}}}

где:

Теперь приближение Буссинеска для потенциала скорости , как указано выше, применяется в этих граничных условиях . Далее, в полученных уравнениях сохраняются только линейные и квадратичные члены относительно и (с горизонтальной скоростью на дне ). Кубические и более высокие члены по порядку предполагаются пренебрежимо малыми. Тогда получаются следующие уравнения в частных производных : φ {\displaystyle \varphi } η {\displaystyle \eta } u b {\displaystyle u_{b}} u b = ∂ φ b / ∂ x {\displaystyle u_{b}=\partial \varphi _{b}/\partial x} z = − h {\displaystyle z=-h}

набор А – Буссинеск (1872 г.), уравнение (25)
∂ η ∂ t + ∂ ∂ x [ ( h + η ) u b ] = 1 6 h 3 ∂ 3 u b ∂ x 3 , ∂ u b ∂ t + u b ∂ u b ∂ x + g ∂ η ∂ x = 1 2 h 2 ∂ 3 u b ∂ t ∂ x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}}

Этот набор уравнений был выведен для плоского горизонтального дна, т.е. средняя глубина является константой, не зависящей от положения . Когда правые части приведенных выше уравнений приравниваются к нулю, они сводятся к уравнениям мелководья . h {\displaystyle h} x {\displaystyle x}

При некоторых дополнительных приближениях, но с тем же порядком точности, указанный выше набор A можно свести к одному частному дифференциальному уравнению для возвышения свободной поверхности : η {\displaystyle \eta }

набор B – Буссинеск (1872 г.), уравнение (26)
∂ 2 η ∂ t 2 − g h ∂ 2 η ∂ x 2 − g h ∂ 2 ∂ x 2 ( 3 2 η 2 h + 1 3 h 2 ∂ 2 η ∂ x 2 ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {3}{2}}\,{\frac {\eta ^{2}}{h}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\right)\,=\,0.}

Из членов в скобках важность нелинейности уравнения можно выразить через число Урселла . В безразмерных величинах , используя глубину воды и ускорение свободного падения для обезразмеривания, это уравнение после нормализации выглядит следующим образом : [4] h {\displaystyle h} g {\displaystyle g}

∂ 2 ψ ∂ τ 2 − ∂ 2 ψ ∂ ξ 2 − ∂ 2 ∂ ξ 2 ( 3 ψ 2 + ∂ 2 ψ ∂ ξ 2 ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \tau ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}\left(\,3\,\psi ^{2}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,\right)\,=\,0,}

с:

ψ = 1 2 η h {\displaystyle \psi \,=\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {\eta }{h}}} : безразмерная высота поверхности,
τ = 3 t g h {\displaystyle \tau \,=\,{\sqrt {3}}\,t\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}} : безразмерное время, и
ξ = 3 x h {\displaystyle \xi \,=\,{\sqrt {3}}\,{\frac {x}{h}}} : безразмерное горизонтальное положение.
Квадрат линейной фазовой скорости как функция относительного волнового числа . A = Буссинеск (1872), уравнение (25), B = Буссинеск (1872), уравнение (26), C = полная линейная волновая теория, см. дисперсию (волны на воде) c 2 / ( g h ) {\displaystyle c^{2}/(gh)} k h {\displaystyle kh}


Линейная дисперсия частоты

Водяные волны разной длины распространяются с разной фазовой скоростью , явление, известное как дисперсия частоты . В случае бесконечно малой амплитуды волны терминология — линейная дисперсия частоты . Характеристики дисперсии частоты уравнения типа Буссинеска можно использовать для определения диапазона длин волн, для которых оно является допустимым приближением .

Линейные характеристики дисперсии частоты для приведенного выше набора уравнений А следующие: [5]

c 2 = g h 1 + 1 6 k 2 h 2 1 + 1 2 k 2 h 2 , {\displaystyle c^{2}\,=\;gh\,{\frac {1\,+\,{\frac {1}{6}}\,k^{2}h^{2}}{1\,+\,{\frac {1}{2}}\,k^{2}h^{2}}},}

с:

Относительная погрешность фазовой скорости для набора A , по сравнению с линейной теорией для волн на воде , составляет менее 4% для относительного волнового числа . Таким образом, в инженерных приложениях набор A действителен для длин волн, превышающих глубину воды более чем в 4 раза . c {\displaystyle c} k h < π / 2 {\displaystyle kh<\pi /2} λ {\displaystyle \lambda } h {\displaystyle h}

Линейные частотно-дисперсионные характеристики уравнения B следующие: [5]

c 2 = g h ( 1 − 1 3 k 2 h 2 ) . {\displaystyle c^{2}\,=\,gh\,\left(1\,-\,{\frac {1}{3}}\,k^{2}h^{2}\right).}

Относительная погрешность в фазовой скорости для уравнения B составляет менее 4% для , что эквивалентно длине волны, превышающей глубину воды более чем в 7 раз , называемой довольно длинными волнами . [6] k h < 2 π / 7 {\displaystyle kh<2\pi /7} λ {\displaystyle \lambda } h {\displaystyle h}

Для коротких волн уравнение B становится физически бессмысленным, поскольку больше нет действительных решений фазовой скорости . Исходный набор двух частных дифференциальных уравнений (Буссинеск, 1872, уравнение 25, см. набор A выше) лишен этого недостатка. k 2 h 2 > 3 {\displaystyle k^{2}h^{2}>3}

Уравнения мелкой воды имеют относительную погрешность фазовой скорости менее 4% для длин волн, превышающих глубину воды в 13 раз . λ {\displaystyle \lambda } h {\displaystyle h}

Уравнения и расширения типа Буссинеска

Существует подавляющее число математических моделей , которые называются уравнениями Буссинеска. Это может легко привести к путанице, поскольку часто их вольно называют уравнениями Буссинеска, в то время как на самом деле рассматривается их вариант. Поэтому более уместно называть их уравнениями типа Буссинеска . Строго говоря, уравнения Буссинеска — это вышеупомянутый набор B , поскольку он используется в анализе в оставшейся части его статьи 1872 года.

Вот некоторые направления, в которых были расширены уравнения Буссинеска:

Дополнительные приближения для одностороннего распространения волн

Хотя уравнения Буссинеска допускают волны, движущиеся одновременно в противоположных направлениях, часто бывает выгодно рассматривать только волны, движущиеся в одном направлении. При небольших дополнительных предположениях уравнения Буссинеска сводятся к:

Помимо решений в виде уединенных волн, уравнение Кортевега–де Фриза также имеет периодические и точные решения, называемые кноидальными волнами . Это приближенные решения уравнения Буссинеска.

Числовые модели

Моделирование с волновой моделью типа Буссинеска прибрежных волн, движущихся к входу в гавань. Моделирование с модулем BOUSS-2D SMS .
Быстрее, чем моделирование в реальном времени с модулем Буссинеска Celeris, показывающим разрушение и преломление волн вблизи пляжа. Модель обеспечивает интерактивную среду.

Для моделирования волнового движения вблизи побережий и гаваней существуют численные модели — как коммерческие, так и академические — использующие уравнения типа Буссинеска. Некоторые коммерческие примеры — волновые модули типа Буссинеска в MIKE 21 и SMS . Некоторые из бесплатных моделей Буссинеска — это Celeris, [7] COULWAVE, [8] и FUNWAVE. [9] Большинство численных моделей используют методы конечных разностей , конечных объемов или конечных элементов для дискретизации уравнений модели. Научные обзоры и взаимные сравнения нескольких уравнений типа Буссинеска, их численного приближения и производительности — например, Kirby (2003), Dingemans (1997, часть 2, глава 5) и Hamm, Madsen & Peregrine (1993).

Примечания

  1. ^ Эта статья (Буссинеск, 1872 г.) начинается словами: «Tous les ingénieurs connaissent les belles expériences de J. Scott Russell et M. Basin sur laproduction et la propagation des ondes solitaires» ( «Все инженеры знают прекрасные эксперименты Дж. Скотта Рассела и М. Басена по генерации и распространению одиночных волн» ).
  2. ^ Дингеманс (1997), стр. 477.
  3. ^ Дингеманс (1997), стр. 475.
  4. ^ Джонсон (1997), стр. 219
  5. ^ аб Дингеманс (1997), с. 521.
  6. ^ Дингеманс (1997), с. 473 и 516.
  7. ^ "Celeria.org - Волновая модель Celeris Boussinesq" . Celeria.org — Волновая модель Celeris Boussinesq .
  8. ^ "ISEC - Модели" . isec.nacse.org .
  9. ^ "Джеймс Т. Кирби, программа Funwave". www1.udel.edu .

Ссылки

  • Буссинеск, Ж. (1871). «Теория вспучивания жидкости, яблоко в пасьянсе или переводе, распространяется в прямоугольном канале». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 72 : 755–759 .
  • Буссинеск, Ж. (1872). «Теория вод и удаленных людей, которая распространяет длинный прямоугольный горизонтальный канал, сообщается с жидким содержимым в канале жизненных чувств парейл де ла поверхность на фонде». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . Вторая серия. 17 : 55–108 .
  • Dingemans, MW (1997). Распространение волн по неровному дну. Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Сингапур. ISBN 978-981-02-0427-3. Архивировано из оригинала 2012-02-08 . Получено 2008-01-21 . См. Часть 2, Главу 5 .
  • Хамм, Л.; Мэдсен, П. А.; Перегрин, Д. Х. (1993). «Трансформация волн в прибрежной зоне: обзор». Coastal Engineering . 21 ( 1– 3): 5– 39. Bibcode : 1993CoasE..21....5H. doi : 10.1016/0378-3839(93)90044-9.
  • Джонсон, Р.С. (1997). Современное введение в математическую теорию волн на воде . Cambridge Texts in Applied Mathematics. Vol. 19. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59832-X.
  • Kirby, JT (2003). "Модели Буссинеска и их применение к распространению волн в прибрежной зоне, процессам в зоне прибоя и течениям, вызванным волнами". В Lakhan, VC (ред.). Достижения в прибрежном моделировании . Elsevier Oceanography Series. Том 67. Elsevier. С.  1–41 . ISBN 0-444-51149-0.
  • Перегрин, Д. Х. (1967). «Длинные волны на пляже». Журнал механики жидкости . 27 (4): 815– 827. Bibcode : 1967JFM....27..815P. doi : 10.1017/S0022112067002605. S2CID  119385147.
  • Перегрин, Д. Х. (1972). «Уравнения для волн на воде и приближения, лежащие в их основе». В Мейер, Р. Э. (ред.). Волны на пляжах и результирующий перенос осадков . Academic Press. стр.  95–122 . ISBN 0-12-493250-9.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Boussinesq_approximation_(water_waves)&oldid=1253281855"