Уравнение Шамеля

Уравнение Шамеля (S-уравнение) — это нелинейное уравнение в частных производных первого порядка по времени и третьего порядка по пространству. Подобно уравнению Кортевега–де Фриза (КдВ), [1] оно описывает развитие локализованной, когерентной волновой структуры, которая распространяется в нелинейной дисперсионной среде. Впервые оно было выведено в 1973 году Гансом Шамелем [2] для описания эффектов захвата электронов в ложбине потенциала уединенной электростатической волновой структуры, движущейся со скоростью звука ионов в двухкомпонентной плазме. Теперь оно применяется к различной локализованной динамике импульсов, такой как:

  • электронные и ионные дырки или вихри фазового пространства в плазме без столкновений, такой как космическая плазма, [3]
  • осесимметричное распространение импульса в физически упрочненных нелинейных цилиндрических оболочках, [4]
  • Распространение «солитона» в нелинейных линиях передачи [5] или в волоконной оптике и лазерной физике. [6]

Уравнение

Уравнение Шамеля [2]

ϕ т + ( 1 + б ϕ ) ϕ х + ϕ х х х = 0 , {\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}

где означает . В случае ионно-акустических уединенных волн параметр отражает эффект электронов, захваченных в ложбине электростатического потенциала . Он задается как , где , параметр захвата, отражает состояние захваченных электронов, представляя собой стационарное распределение захваченных электронов с плоской вершиной, провал или депрессию. Он имеет место , где - амплитуда волны. Все величины нормализованы: потенциальная энергия - на тепловую энергию электронов, скорость - на скорость звука ионов, время - на обратную плазменную частоту ионов, а пространство - на длину Дебая электронов. Обратите внимание, что для уравнения КдВ заменяется на , так что нелинейность становится билинейной (см. далее). ϕ ( т , х ) {\displaystyle \фи _{(t,x)}} ∂ ( т , х ) ϕ {\displaystyle \partial _{(t,x)}\phi } б {\displaystyle б} ϕ {\displaystyle \фи} б = 1 − β π {\displaystyle b={\frac {1-\beta }{\sqrt {\pi }}}} β {\displaystyle \бета} β = 0 {\displaystyle \бета =0} β < 0 {\displaystyle \бета <0} 0 ≤ ϕ ≤ ψ ≪ 1 {\displaystyle 0\leq \phi \leq \psi \ll 1} ψ {\displaystyle \пси} б ϕ {\displaystyle b{\sqrt {\phi }}} ϕ {\displaystyle \фи}

Решение одиночной волны

Стационарное решение для уединенной волны, , в сопутствующей системе отсчета задается выражением: ϕ ( х − в 0 т ) {\displaystyle \phi (x-v_{0}t)}

ϕ ( х ) = ψ сеч 4 ⁡ ( б ψ 30 х ) {\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)}
в 0 = 1 + 8 15 б ψ . {\displaystyle v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.}

Скорость структуры сверхзвуковая, , поскольку должна быть положительной, , что соответствует в ионно-акустическом случае подавленному распределению захваченных электронов . [2] [7] в 0 > 1 {\displaystyle v_{0}>1} б {\displaystyle б} 0 < б {\displaystyle 0<б} β < 1 {\displaystyle \бета <1}

Доказательство методом псевдопотенциала

Доказательство этого решения использует аналогию с классической механикой с помощью , являющейся соответствующим псевдопотенциалом. Из этого мы получаем путем интегрирования: , что представляет псевдоэнергию, и из уравнения Шамеля: . Из очевидного требования, а именно, что при максимуме потенциала, , наклон исчезает , мы получаем: . Это нелинейное дисперсионное соотношение (NDR), поскольку оно определяет фазовую скорость, заданную вторым выражением. Каноническая форма получается путем замены на NDR. Она становится:
ϕ х х =: − В ′ ( ϕ ) {\displaystyle \phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi)} В ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )} ϕ x 2 2 + V ( ϕ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi )}}=0} − V ( ϕ ) = ( v 0 − 1 ) 2 ϕ 2 − 4 b 15 ϕ 5 / 2 {\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}}\phi ^{5/2}} ϕ = ψ {\displaystyle \phi =\psi } ϕ x {\displaystyle \phi _{x}} ϕ {\displaystyle \phi } V ( ψ ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {V}}(\psi )=0} v 0 {\displaystyle v_{0}} V ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )} v 0 {\displaystyle v_{0}}

− V ( ϕ ) = 4 15 b ϕ 2 ( ψ − ϕ ) . {\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }}).}

Использование этого выражения в , вытекающее из закона псевдоэнергии, дает путем интегрирования: x ( ϕ ) = ∫ ϕ ψ d ξ − 2 V ( ξ ) {\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}}

x ( ϕ ) = 30 b ψ tanh − 1 ⁡ ( 1 − ϕ ψ ) . {\displaystyle x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\right).}

Это обратная функция, как указано в первом уравнении. Обратите внимание, что интеграл в знаменателе существует и может быть выражен известными математическими функциями. Следовательно , это математически раскрытая функция. Однако структура часто остается математически нераскрытой, т. е. ее нельзя выразить известными функциями (см., например, раздел Логарифмическое уравнение Шамеля). Это обычно происходит, если задействовано более одного сценария захвата, как, например, в управляемой прерывистой плазменной турбулентности. [8] ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} x ( ϕ ) {\displaystyle x(\phi )} ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)}

Неинтегрируемость

В отличие от уравнения КдФ, уравнение Шамеля является примером неинтегрируемого уравнения эволюции. Оно имеет только конечное число (полиномиальных) констант движения [9] и не проходит тест Пенлеве. [4] [10] Поскольку так называемая пара Лакса ( L , P ) не существует, [11] оно не интегрируется обратным преобразованием рассеяния. [12]

Обобщения

Уравнение Шамеля–Кортевега–де Фриза

Учитывая следующий порядок в выражении для расширенной электронной плотности, получаем , откуда получаем псевдопотенциал - . Соответствующее уравнение эволюции тогда принимает вид: n e = 1 + ϕ − 4 b 3 ϕ 3 / 2 + 1 2 ϕ 2 + ⋯ {\displaystyle n_{e}=1+\phi -{\frac {4b}{3}}\phi ^{3/2}+{\frac {1}{2}}\phi ^{2}+\cdots } V ( ϕ ) = 8 b 15 ϕ 2 ( ψ − ϕ ) + 1 3 ϕ 2 ( ψ − ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )={\frac {8b}{15}}\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }})+{\frac {1}{3}}\phi ^{2}(\psi -\phi )}

ϕ t + ( 1 + b ϕ + ϕ ) ϕ x + ϕ x x x = 0 , {\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}+\phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}

которое представляет собой уравнение Шамеля – Кортевега – де Фриза.

Его решение для одиночной волны выглядит так [7]

ϕ ( x ) = ψ sech 4 ⁡ ( y ) [ 1 + 1 1 + Q tanh 2 ⁡ ( y ) ] − 2 {\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}(y)\left[1+{\frac {1}{1+Q}}\tanh ^{2}(y)\right]^{-2}}

с и . В зависимости от Q он имеет два предельных решения в виде уединенной волны: Для мы находим , уединенную волну Шамеля. y = x 2 ψ ( 1 + Q ) 12 {\displaystyle y={\frac {x}{2}}{\sqrt {\frac {\psi (1+Q)}{12}}}} Q = 8 b 5 ψ {\displaystyle Q={\frac {8b}{5{\sqrt {\psi }}}}} 1 ≪ Q {\displaystyle 1\ll Q} ϕ ( x ) = ψ sech 4 ⁡ ( b ψ 30 x ) {\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x)}

Для мы получаем что представляет собой обычный ионный акустический солитон. Последний является жидкоподобным и достигается для или представляющего изотермическое уравнение состояния электронов. Обратите внимание, что отсутствие эффекта захвата ( b  = 0) не подразумевает отсутствие захвата, утверждение, которое обычно неверно истолковывается в литературе, особенно в учебниках. Пока не равно нулю, всегда существует ненулевая ширина захвата в пространстве скоростей для функции распределения электронов. 1 ≫ Q {\displaystyle 1\gg Q} ϕ ( x ) = ψ sech 2 ⁡ ( ψ 12 x ) {\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{2}({\sqrt {\frac {\psi }{12}}}x)} b = 0 {\displaystyle b=0} β = 1 {\displaystyle \beta =1} ψ {\displaystyle \psi } 2 2 ϕ {\displaystyle 2{\sqrt {2\phi }}}

Логарифмическое уравнение Шамеля

Другое обобщение S-уравнения получается в случае ионно-акустических волн путем допуска второго канала захвата. Рассматривая дополнительный, непертурбативный сценарий захвата, Шамель [8] получил:

ϕ t + ( 1 + b ϕ − D ln ⁡ ϕ ) ϕ x + ϕ x x x = 0 {\displaystyle \qquad \qquad \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}-D\ln \phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0} ,

обобщение, называемое логарифмическим S-уравнением. При отсутствии нелинейности квадратного корня, , оно решается с помощью решения в виде гауссовой ямы: с и имеет сверхзвуковую фазовую скорость . Соответствующий псевдопотенциал определяется выражением . Из этого следует, что является обратной функцией упомянутой гауссовой функции. Для ненулевого b, сохраняя , интеграл для получения больше не может быть решен аналитически, т. е. известными математическими функциями. Структура уединенной волны все еще существует, но не может быть достигнута в раскрытой форме. b = 0 {\displaystyle b=0} ϕ ( x ) = ψ e D x 2 / 4 {\displaystyle \phi (x)=\psi e^{Dx^{2}/4}} D < 0 {\displaystyle D<0}
v 0 = 1 + D ( ln ⁡ ψ − 3 / 2 ) > 1 {\displaystyle v_{0}=1+D(\ln \psi -3/2)>1} − V ( ϕ ) = D ϕ 2 2 ln ⁡ ϕ ψ {\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )=D{\frac {\phi ^{2}}{2}}\ln {\frac {\phi }{\psi }}} x ( ϕ ) = 2 − D ln ⁡ ψ ϕ {\displaystyle x(\phi )=2{\sqrt {-D\ln {\frac {\psi }{\phi }}}}} D {\displaystyle D} x ( ϕ ) {\displaystyle x(\phi )}

Уравнение Шамеля со случайными коэффициентами

Тот факт, что электростатическое задержание включает стохастические процессы при резонансе, вызванные хаотическими траекториями частиц, привел к рассмотрению b в S-уравнении как стохастической величины. Это приводит к стохастическому S-уравнению типа Вика. [13] [14]

Дробное по времени уравнение Шамеля

Дальнейшее обобщение получается путем замены первой производной по времени дробной производной Рисса, что дает дробное по времени S-уравнение. [15] [16] Оно имеет приложения, например, для широкополосного электростатического шума, наблюдаемого спутником Viking. [16]

Уравнение Шамеля – Шредингера

Связь между уравнением Шамеля и нелинейным уравнением Шредингера может быть установлена ​​в контексте жидкости Маделунга. [17] Это приводит к уравнению Шамеля–Шредингера. [6]

i ϕ t + | ϕ | 1 / 2 ϕ + ϕ x x = 0 {\displaystyle i\phi _{t}+|\phi |^{1/2}\phi +\phi _{xx}=0}

и имеет применение в волоконной оптике [18] и лазерной физике. [19]

Ссылки

  1. ^ Кортевег, DJ; де Врис, Г. (1895). «Об изменении формы длинных волн, распространяющихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 39 (240). Informa UK Limited: 422– 443. doi : 10.1080/14786449508620739. ISSN  1941-5982.
  2. ^ abc Шамель, Ганс (1973). «Модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза для ионно-акустических волн, вызванных резонансными электронами». Журнал физики плазмы . 9 (3). Cambridge University Press (CUP): 377– 387. Bibcode : 1973JPlPh...9..377S. doi : 10.1017/s002237780000756x. ISSN  0022-3778. S2CID  124961361.
  3. ^ Шамель, Ганс (1986). «Электронные дырки, ионные дырки и двойные слои». Physics Reports . 140 (3). Elsevier BV: 161– 191. doi :10.1016/0370-1573(86)90043-8. ISSN  0370-1573.
  4. ^ ab Землянухин, А.И.; Андрианов, И.В.; Бочкарев, А.В.; Могилевич, ЛИ (2019-08-17). "Обобщенное уравнение Шамеля в нелинейной волновой динамике цилиндрических оболочек". Нелинейная динамика . 98 (1). Springer Science and Business Media LLC: 185– 194. doi :10.1007/s11071-019-05181-5. ISSN  0924-090X. S2CID  202126052.
  5. ^ Азиз, Фарах; Асиф, Али; Бинт-и-Мунир, Фатима (2020). «Аналитическое моделирование электрических солитонов в нелинейной линии передачи с использованием уравнения Шамеля–Кортевега де Вриза». Хаос, солитоны и фракталы . 134. Elsevier BV: 109737. Bibcode : 2020CSF...13409737A. doi : 10.1016/j.chaos.2020.109737. ISSN  0960-0779. S2CID  216209164.
  6. ^ ab S. Phibanchon и MA Allen, Международные научные исследования и инновации 6 (2012) 18
  7. ^ ab Schamel, H. (1972). "Стационарные уединенные, сноидальные и синусоидальные ионно-акустические волны". Plasma Physics . 14 (10): 905. Bibcode :1972PlPh...14..905S. doi :10.1088/0032-1028/14/10/002.
  8. ^ ab Шамель, Ганс (2020-09-30). «Двухпараметрические, математически нераскрытые уединенные электронные дырки и их уравнение эволюции». Плазма . 3 (4). MDPI AG: 166– 179. doi : 10.3390/plasma3040012 . ISSN  2571-6182.
  9. ^ Verheest, Frank; Hereman, Willy (1994-12-01). «Законы сохранения и решения для уединенных волн для обобщенных уравнений Шамеля». Physica Scripta . 50 (6). IOP Publishing: 611– 614. Bibcode : 1994PhyS...50..611V. doi : 10.1088/0031-8949/50/6/002. ISSN  0031-8949. S2CID  250799267.
  10. ^ Р. Конте и М. Мюзетт: Справочник Пенлеве, Springer, Нью-Йорк (2008)
  11. ^ Лакс, Питер Д. (1968). «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 21 (5). Wiley: 467– 490. doi :10.1002/cpa.3160210503. ISSN  0010-3640.
  12. ^ Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Крускал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (1967-11-06). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Physical Review Letters . 19 (19). Американское физическое общество (APS): 1095– 1097. Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G. doi : 10.1103/physrevlett.19.1095. ISSN  0031-9007.
  13. ^ Абдель-Ати, А.-Х.; Хатер, ММА; Зидан, АМ; Аттиа, РАМ (2020). «Новые аналитические решения стохастического уравнения Шамеля КдФ типа Вика с помощью модифицированного метода Хатера». Журнал информационной науки и техники . 36 (6): 1279.
  14. ^ Ван, Сюэцинь; Шан, Ядун; Ди, Хуахуэй (2017). «Точные решения для стохастического уравнения Шамеля-Кортевега-де Фриза типа Вика». Успехи математической физики . 2017. Hindawi Limited: 1– 9. doi : 10.1155/2017/4647838 . ISSN  1687-9120.
  15. ^ El-Wakil, SA; Abulwafa, Essam M.; El-Shewy, EK; Mahmoud, Abeer A. (2011). "Дробное по времени уравнение КдФ для плазмы с двумя различными температурами электронов и неподвижными ионами". Physics of Plasmas . 18 (9). AIP Publishing: 092116. Bibcode : 2011PhPl...18i2116E. doi : 10.1063/1.3640533. ISSN  1070-664X.
  16. ^ ab Guo, Shimin; Mei, Liquan; He, Yaling; Li, Yibao (2016). "Дробное по времени уравнение Шамеля–КдФ для пыле-ионно-акустических волн в парно-ионной плазме с захваченными электронами и пылевыми частицами противоположной полярности". Physics Letters A. 380 ( 9– 10 ). Elsevier BV: 1031– 1036. Bibcode :2016PhLA..380.1031G. doi :10.1016/j.physleta.2016.01.002. ISSN  0375-9601.
  17. ^ Р. Феделе, Х. Шамель и П.К. Шукла, Phys. Скрипта том. Т98(2002)18
  18. ^ GP Agrawal, Нелинейная волоконная оптика, Нью-Йорк: Academic Press, 2001
  19. ^ Буллоу, РК; Джек, ПМ; Китченсайд, ПВ; Сондерс, Р. (1979). «Солитоны в лазерной физике». Physica Scripta . 20 ( 3–4 ). IOP Publishing: 364–381 . Bibcode : 1979PhyS...20..364B. doi : 10.1088/0031-8949/20/3-4/011. ISSN  0031-8949. S2CID  250868125.
  • www.hans-schamel.de : дополнительная информация от Ганса Шамеля
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schamel_equation&oldid=1226550497"