Слабая пара

В математике , в теории интегрируемых систем , пара Лакса — это пара зависящих от времени матриц или операторов , которые удовлетворяют соответствующему дифференциальному уравнению , называемому уравнением Лакса . Пары Лакса были введены Питером Лаксом для обсуждения солитонов в сплошных средах . Обратное преобразование рассеяния использует уравнения Лакса для решения таких систем.

Определение

Пара Лакса — это пара матриц или операторов, зависящих от времени, действующих в фиксированном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса : Л ( т ) , П ( т ) {\displaystyle L(t),P(t)}

г Л г т = [ П , Л ] , {\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L],}

где — коммутатор . Часто, как в примере ниже, зависит от заданным образом, поэтому это нелинейное уравнение для как функции от . [ П , Л ] = П Л − Л П {\displaystyle [P,L]=PL-LP} П {\displaystyle P} Л {\displaystyle L} Л {\displaystyle L} т {\displaystyle т}

Изоспектральное свойство

Затем можно показать, что собственные значения и, в более общем смысле, спектр L не зависят от t . Матрицы/операторы L называются изоспектральными при изменении . т {\displaystyle т}

Основное наблюдение заключается в том, что все матрицы подобны в силу Л ( т ) {\displaystyle L(т)}

Л ( т ) = У ( т , с ) Л ( с ) У ( т , с ) − 1 , {\displaystyle L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1},}

где находится решение задачи Коши У ( т , с ) {\displaystyle U(t,s)}

г г т У ( т , с ) = П ( т ) У ( т , с ) , У ( с , с ) = я , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),\quad U(s,s)=I,}

где I обозначает единичную матрицу. Обратите внимание, что если P ( t ) является кососопряжённым , U ( t ,  s ) будет унитарным .

Другими словами, чтобы решить задачу на собственные значения Lψ = λψ в момент времени t , можно решить ту же задачу в момент времени 0, где L , как правило, известно лучше, и распространить решение с помощью следующих формул:

λ ( т ) = λ ( 0 ) {\displaystyle \лямбда (t)=\лямбда (0)}  (без изменений в спектре),
∂ ψ ∂ т = П ψ . {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=P\psi .}

Через главные инварианты

Результат также можно показать с помощью инвариантов для любого . Они удовлетворяют благодаря уравнению Лакса, и поскольку характеристический полином может быть записан в терминах этих следов, спектр сохраняется потоком. [1] тр ⁡ ( Л н ) {\displaystyle \operatorname {tr} (L^{n})} н {\displaystyle n} г г т тр ⁡ ( Л н ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0}

Вышеуказанное свойство является основой метода обратного рассеяния. В этом методе L и P действуют на функциональном пространстве (таким образом, ψ = ψ ( t ,  x )) и зависят от неизвестной функции u ( t ,  x ), которая должна быть определена. Обычно предполагается, что u (0,  x ) известно, и что P не зависит от u в области рассеяния, где Тогда метод принимает следующий вид: ‖ х ‖ → ∞ . {\displaystyle \|x\|\to \infty .}

  1. Вычислите спектр , дав и Л ( 0 ) {\displaystyle L(0)} λ {\displaystyle \лямбда} ψ ( 0 , х ) . {\displaystyle \psi (0,x).}
  2. В области рассеяния, где известно, распространяется во времени с использованием начального условия П {\displaystyle P} ψ {\displaystyle \пси} ∂ ψ ∂ т ( т , х ) = П ψ ( т , х ) {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)} ψ ( 0 , х ) . {\displaystyle \psi (0,x).}
  3. Зная в области рассеяния, вычислить и/или ψ {\displaystyle \пси} Л ( т ) {\displaystyle L(т)} ты ( т , х ) . {\displaystyle u(t,x).}

Спектральная кривая

Если матрица Лакса дополнительно зависит от комплексного параметра (как в случае, скажем, синус-Гордона ), уравнение определяет алгебраическую кривую в с координатами По свойству изоспектральности эта кривая сохраняется при переносе во времени. Это спектральная кривая . Такие кривые появляются в теории систем Хитчина . [2] з {\displaystyle z} дет ( ж я − Л ( з ) ) = 0 {\displaystyle \det {\big (}wI-L(z){\big)}=0} С 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} ж , з . {\displaystyle w,z.}

Представление нулевой кривизны

Любое уравнение в частных производных, допускающее представление пары Лакса, допускает также представление нулевой кривизны. [3] Фактически, представление нулевой кривизны является более общим, и для других интегрируемых уравнений в частных производных, таких как уравнение синус-Гордона , пара Лакса относится к матрицам, которые удовлетворяют уравнению нулевой кривизны, а не уравнению Лакса. Более того, представление нулевой кривизны делает связь между интегрируемыми системами и геометрией очевидной, достигая кульминации в программе Уорда по формулированию известных интегрируемых систем как решений антисамодвойственных уравнений Янга–Миллса (ASDYM).

Уравнение нулевой кривизны

Уравнения нулевой кривизны описываются парой матричнозначных функций , где нижние индексы обозначают индексы координат, а не производные. Часто зависимость осуществляется через одну скалярную функцию и ее производные. Уравнение нулевой кривизны тогда Оно так называется, поскольку соответствует исчезновению тензора кривизны , который в данном случае равен . Это отличается от обычного выражения некоторыми знаками минус, которые в конечном счете не важны. А х ( х , т ) , А т ( х , т ) , {\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),} ( х , т ) {\displaystyle (x,t)} φ ( х , т ) {\displaystyle \varphi (x,t)} ∂ т А х − ∂ х А т + [ А х , А т ] = 0. {\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.} Ф μ ν = [ ∂ μ − А μ , ∂ ν − А ν ] = − ∂ μ А ν + ∂ ν А μ + [ А μ , А ν ] {\displaystyle F_{\mu \nu } = [\partial _ {\mu }-A_ {\mu }, \partial _ {\nu }-A_ {\nu }] = -\partial _ {\mu }A_ {\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}

Пара Лакса к нулевой кривизне

Для собственного решения оператора Лакса имеем Если вместо этого мы усилим эти условия вместе с независимостью от времени , то вместо этого уравнение Лакса возникает как уравнение совместности для переопределенной системы. Л {\displaystyle L} Л ψ = λ ψ , ψ т + А ψ = 0. {\displaystyle L\psi =\lambda \psi,\psi _{t}+A\psi =0.} λ {\displaystyle \лямбда}

Пара Лакса может использоваться для определения компонентов связи . Когда уравнение в частных производных допускает представление нулевой кривизны, но не представление уравнения Лакса, компоненты связи называются парой Лакса, а связь — связью Лакса. ( Л , П ) {\displaystyle (Л,П)} ( А х , А т ) {\displaystyle (A_{x},A_{t})} ( А х , А т ) {\displaystyle (A_{x},A_{t})}

Примеры

Уравнение Кортевега–де Фриза

Уравнение Кортевега – де Фриза

ты т = 6 ты ты х − ты х х х {\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}

можно переформулировать как уравнение Лакса

Л т = [ П , Л ] {\displaystyle L_{t}=[P,L]}

с

Л = − ∂ х 2 + ты {\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u} ( оператор Штурма–Лиувилля ),
П = − 4 ∂ х 3 + 6 ты ∂ х + 3 ты х , {\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},}

где все производные действуют на все объекты справа. Это объясняет бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ.

Ковалевская топ

В предыдущем примере использовалось бесконечномерное гильбертово пространство. Возможны также примеры с конечномерными гильбертовыми пространствами. К ним относятся волчок Ковалевской и обобщение для включения электрического поля . [4] час → {\displaystyle {\vec {h}}}

Л = ( г 1 + час 2 г 2 + час 1 г 3 час 3 г 2 + час 1 − г 1 + час 2 час 3 − г 3 г 3 час 3 − г 1 − час 2 г 2 − час 1 час 3 − г 3 г 2 − час 1 г 1 + час 2 ) λ − 1 + ( 0 0 − л 2 − л 1 0 0 л 1 − л 2 л 2 − л 1 − 2 λ − 2 л 3 л 1 л 2 2 л 3 2 λ ) , П = − 1 2 ( 0 − 2 л 3 л 2 л 1 2 л 3 0 − л 1 л 2 − л 2 л 1 2 λ 2 л 3 + γ − л 1 − л 2 − 2 л 3 − 2 λ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

Гейзенберг фотография

В картине квантовой механики Гейзенберга наблюдаемая величина A без явной зависимости от времени t удовлетворяет условию

d d t A ( t ) = i ℏ [ H , A ( t ) ] , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}

с H — гамильтонианом и ħ — приведенной постоянной Планка . Таким образом, помимо множителя, наблюдаемые (без явной зависимости от времени) в этой картине могут образовывать пары Лакса вместе с гамильтонианом. Картина Шредингера затем интерпретируется как альтернативное выражение в терминах изоспектральной эволюции этих наблюдаемых.

Дополнительные примеры

Дополнительные примеры систем уравнений, которые можно сформулировать как пару Лакса, включают:

Последнее примечательно, поскольку подразумевает, что и метрику Шварцшильда , и метрику Керра можно понимать как солитоны.

Ссылки

  1. ^ Хитчин, Нью-Джерси (1999). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0198504217.
  2. ^ Хитчин, Нью-Джерси (1999). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 9780198504214.
  3. ^ Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр.  54–56 . ISBN. 978-0-19-857063-9.
  4. ^ Бобенко, AI; Рейман, AG; Семенов-Тян-Шанский, MA (1989). «Волчок Ковалевской 99 лет спустя: пара Лакса, обобщения и явные решения». Communications in Mathematical Physics . 122 (2): 321– 354. Bibcode : 1989CMaPh.122..321B. doi : 10.1007/BF01257419. ISSN  0010-3616. S2CID  121752578.
  5. ^ А. Сергеев, Новые интегрируемые (3+1)-мерные системы и контактная геометрия, Lett. Math. Phys. 108 (2018), № 2, 359-376, arXiv :1401.2122 doi :10.1007/s11005-017-1013-4
  • Лакс, П. (1968), «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны», Сообщения по чистой и прикладной математике , 21 (5): 467– 490, doi :10.1002/cpa.3160210503архив
  • П. Лакс и Р. С. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций [1], (1976) Princeton University Press.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lax_pair&oldid=1267708313"