Теория Штурма–Лиувилля

В математике и ее приложениях задача Штурма–Лиувилля — это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида для заданных функций , и , вместе с некоторыми граничными условиями при экстремальных значениях . Целями данной задачи Штурма–Лиувилля являются:$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda w(x)y}$$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle w(x)}$${\displaystyle x}$

• Найти λ , для которых существует нетривиальное решение задачи. Такие значения λ называются собственными значениями задачи.
• Для каждого собственного значения λ найти соответствующее решение задачи. Такие функции называются собственными функциями, связанными с каждым λ .${\displaystyle у=у(х)}$${\displaystyle у}$

Теория Штурма–Лиувилля — это общее исследование задач Штурма–Лиувилля. В частности, для «регулярной» задачи Штурма–Лиувилля можно показать, что существует бесконечное число собственных значений, каждое из которых имеет уникальную собственную функцию, и что эти собственные функции образуют ортонормированный базис определенного гильбертова пространства функций.

Эта теория важна в прикладной математике , где задачи Штурма–Лиувилля встречаются очень часто, особенно при работе с разделяемыми линейными уравнениями в частных производных . Например, в квантовой механике одномерное независимое от времени уравнение Шредингера является задачей Штурма–Лиувилля.

Теория Штурма–Лиувилля названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма (1803–1855) и Жозефа Лиувилля (1809–1882), которые разработали эту теорию.

Основные результаты теории Штурма–Лиувилля применимы к задаче Штурма–Лиувилля

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y}$$

1

на конечном интервале , который является «регулярным». Задача называется регулярной, если:${\displaystyle [а,б]}$

• коэффициентные функции и производная непрерывны на ;${\displaystyle p,q,w}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle [а,б]}$
• ${\displaystyle р(х)>0}$и для всех ;${\displaystyle w(x)>0}$${\displaystyle x\in [a,b]}$
• проблема имеет разделенные граничные условия вида

$${\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0,\qquad \alpha _{1},\alpha _{2}{\text{ not both }}0,}$$

2

$${\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0,\qquad \beta _{1},\beta _{2}{\text{ not both }}0.}$$

3

Функция , иногда обозначаемая , называется функцией веса или плотности .${\displaystyle w=w(x)}$${\displaystyle r=r(x)}$

Целями задачи Штурма–Лиувилля являются:

• найти собственные значения: те λ, для которых существует нетривиальное решение;
• для каждого собственного значения λ найти соответствующую собственную функцию .${\displaystyle y=y(x)}$

Для регулярной задачи Штурма–Лиувилля функция называется решением, если она непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению ( 1 ) при каждом . В случае более общего решения следует понимать в слабом смысле .${\displaystyle y=y(x)}$${\displaystyle x\in (a,b)}$${\displaystyle p,q,w}$

Термины собственное значение и собственный вектор используются, поскольку решения соответствуют собственным значениям и собственным функциям эрмитова дифференциального оператора в подходящем гильбертовом пространстве функций со скалярным произведением , определяемым с помощью весовой функции. Теория Штурма–Лиувилля изучает существование и асимптотическое поведение собственных значений, соответствующую качественную теорию собственных функций и их полноту в функциональном пространстве.

Основной результат теории Штурма–Лиувилля утверждает, что для любой регулярной задачи Штурма–Лиувилля:

• Собственные значения действительны и могут быть пронумерованы так, что${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }$${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty .}$
• Каждому собственному значению соответствует уникальная (с точностью до постоянного кратного) собственная функция с нулями в точности в , называемая n -м фундаментальным решением .${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle y_{n}=y_{n}(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle [a,b]}$
• Нормализованные собственные функции образуют ортонормированный базис относительно w -взвешенного скалярного произведения в гильбертовом пространстве ; то есть, где — символ Кронекера .${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle L^{2}{\big (}[a,b],w(x)\,\mathrm {d} x{\big )}}$$${\displaystyle \langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm},}$$${\displaystyle \delta _{nm}}$

Говорят, что дифференциальное уравнение ( 1 ) находится в форме Штурма–Лиувилля или самосопряженной форме . Все линейные однородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка можно переписать в форме, представленной в левой части ( 1 ), умножив обе стороны уравнения на соответствующий интегрирующий множитель (хотя то же самое не относится к уравнениям в частных производных второго порядка или если y — вектор ). Ниже приведены некоторые примеры.

$${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0}$$что можно записать в форме Штурма–Лиувилля (сначала разделив на x , а затем свернув первые два члена слева в один) как$${\displaystyle \left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.}$$

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}$$который можно легко привести к форме Штурма–Лиувилля, поскольку ⁠г/дх⁠ (1 − x ² ) = −2 x , поэтому уравнение Лежандра эквивалентно$${\displaystyle \left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}$$

$${\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}$$

Разделим все на x ³ :$${\displaystyle y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0}$$

Умножение на интегрирующий множитель дает , что можно легко привести к форме Штурма–Лиувилля, поскольку дифференциальное уравнение эквивалентно$${\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {dx}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}},}$$$${\displaystyle e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}}$$$${\displaystyle \left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0.}$$

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$$

Умножение на интегрирующий множитель и последующее суммирование дает форму Штурма–Лиувилля: или, в явном виде:$${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right),}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\mu (x)P(x)y'\right)+\mu (x)R(x)y=0,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.}$$

Отображение, определяемое: можно рассматривать как линейный оператор L, отображающий функцию u в другую функцию Lu , и его можно изучать в контексте функционального анализа . Фактически, уравнение ( 1 ) можно записать как$${\displaystyle Lu=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left[p(x)\,{\frac {du}{dx}}\right]+q(x)u\right)}$$ $${\displaystyle Lu=\lambda u.}$$

Это и есть задача собственных значений ; то есть ищутся собственные значения λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ ,... и соответствующие собственные векторы u ₁ , u ₂ , u ₃ ,... оператора L. Правильным заданием для этой задачи является гильбертово пространство со скалярным произведением${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\,dx)}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,dx.}$$

В этом пространстве L определен на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих указанным выше регулярным граничным условиям. Более того, L является самосопряженным оператором:$${\displaystyle \langle Lf,g\rangle =\langle f,Lg\rangle .}$$

Это можно увидеть формально, используя интегрирование по частям дважды, где граничные члены исчезают в силу граничных условий. Тогда следует, что собственные значения оператора Штурма–Лиувилля являются действительными, а собственные функции L, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Однако этот оператор неограничен , и, следовательно, существование ортонормированного базиса собственных функций неочевидно. Чтобы преодолеть эту проблему, нужно рассмотреть резольвенту, где z не является собственным значением. Затем вычисление резольвенты сводится к решению неоднородного уравнения, что можно сделать с помощью формулы вариации параметров . Это показывает, что резольвента является интегральным оператором с непрерывным симметричным ядром ( функцией Грина задачи). Как следствие теоремы Арцела–Асколи , этот интегральный оператор компактен, и существование последовательности собственных значений α _n , которые сходятся к 0, и собственных функций, которые образуют ортонормированный базис, следует из спектральной теоремы для компактных операторов . Наконец, отметим, что эквивалентны, поэтому мы можем взять те же самые собственные функции.$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1},\qquad z\in \mathbb {R} ,}$$$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,}$$${\displaystyle \lambda =z+\alpha ^{-1}}$

Если интервал не ограничен или коэффициенты имеют сингулярности в граничных точках, то L называют сингулярным. В этом случае спектр больше не состоит из одних только собственных значений и может содержать непрерывную компоненту. Все еще существует связанное разложение собственных функций (похожее на ряд Фурье против преобразования Фурье). Это важно в квантовой механике , поскольку одномерное независимое от времени уравнение Шредингера является частным случаем уравнения Штурма–Лиувилля.

Рассмотрим общее неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка для заданных функций . Как и прежде, его можно свести к форме Штурма–Лиувилля : записав общий оператор Штурма–Лиувилля как: решается система:$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f(x)}$$${\displaystyle P(x),Q(x),R(x),f(x)}$${\displaystyle Ly=f}$$${\displaystyle Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x)}}u,}$$$${\displaystyle p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.}$$

Достаточно решить первые два уравнения, что равносильно решению ( Pw )′ = Qw , или$${\displaystyle w'={\frac {Q-P'}{P}}w:=\alpha w.}$$

Решение:

$${\displaystyle w=\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\exp \left(\int \alpha \,dx\right).}$$

Учитывая это преобразование, осталось решить:$${\displaystyle Ly=f.}$$

В общем случае, если в некоторой точке заданы начальные условия, например, y ( a ) = 0 и y ′( a ) = 0 , дифференциальное уравнение второго порядка можно решить обычными методами, а теорема Пикара–Линделёфа гарантирует, что дифференциальное уравнение имеет единственное решение в окрестности точки, в которой заданы начальные условия.

Но если вместо указания начальных значений в одной точке , желательно указать значения в двух разных точках (так называемые граничные значения), например y ( a ) = 0 и y ( b ) = 1 , задача оказывается намного сложнее. Обратите внимание, что, добавляя подходящую известную дифференцируемую функцию к y , значения которой в a и b удовлетворяют желаемым граничным условиям, и вводя внутрь предлагаемого дифференциального уравнения, можно предположить без потери общности, что граничные условия имеют вид y ( a ) = 0 и y ( b ) = 0 .

Здесь в игру вступает теория Штурма–Лиувилля: действительно, большой класс функций f можно разложить в виде ряда ортонормированных собственных функций u _i ассоциированного оператора Лиувилля с соответствующими собственными значениями λ _i :$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R} }.}$$

Тогда решение предложенного уравнения, очевидно, имеет вид:$${\displaystyle y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.}$$

Это решение будет справедливо только на открытом интервале a < x < b и может потерпеть неудачу на границах.

Рассмотрим задачу Штурма–Лиувилля:

$${\displaystyle Lu=-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\lambda u}$$

4

для неизвестных λ и u ( x ) . Для граничных условий возьмем, например:$${\displaystyle u(0)=u(\pi )=0.}$$

Заметим, что если k — любое целое число, то функция является решением с собственным значением λ = k ² . Мы знаем, что решения задачи Штурма–Лиувилля образуют ортогональный базис , и из рядов Фурье мы знаем , что этот набор синусоидальных функций является ортогональным базисом. Поскольку ортогональные базисы всегда максимальны (по определению), мы заключаем, что задача Штурма–Лиувилля в этом случае не имеет других собственных векторов.$${\displaystyle u_{k}(x)=\sin kx}$$

Учитывая вышесказанное, давайте теперь решим неоднородную задачу с теми же граничными условиями . В этом случае мы должны разложить f ( x ) = x в ряд Фурье. Читатель может проверить, либо проинтегрировав ∫ e ^ikx x dx , либо обратившись к таблице преобразований Фурье, что мы таким образом получаем$${\displaystyle Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )}$$${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$ $${\displaystyle Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.}$$

Этот конкретный ряд Фурье вызывает проблемы из-за своих плохих свойств сходимости. Априори неясно, сходится ли ряд поточечно. Из-за анализа Фурье, поскольку коэффициенты Фурье являются « квадратно-суммируемыми », ряд Фурье сходится в L ² , что является всем, что нам нужно для функционирования этой конкретной теории. Для заинтересованного читателя отметим, что в этом случае мы можем положиться на результат, который гласит, что ряды Фурье сходятся в каждой точке дифференцируемости, а в точках скачка (функция x , рассматриваемая как периодическая функция, имеет скачок в  π ) сходятся к среднему значению левого и правого пределов (см. сходимость рядов Фурье ).

Поэтому, используя формулу ( 4 ), получаем решение:$${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1}{6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).}$$

В этом случае мы могли бы найти ответ, используя антидифференциацию , но в большинстве случаев, когда дифференциальное уравнение имеет много переменных, это уже бесполезно.

Некоторые частные дифференциальные уравнения могут быть решены с помощью теории Штурма–Лиувилля. Предположим, что нас интересуют колебательные моды тонкой мембраны, удерживаемой в прямоугольной рамке, 0 ≤ x ≤ L ₁ , 0 ≤ y ≤ L ₂ . Уравнение движения для вертикального смещения мембраны, W ( x , y , t ) задается волновым уравнением :$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}$$

Метод разделения переменных предполагает поиск сначала решений простого вида W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t ) . Для такой функции W уравнение в частных производных становится ⁠Х ″/Х⁠ + ⁠Y ″/И⁠ = ⁠1/с ²⁠ ⁠Т ″/Т⁠ . Поскольку три члена этого уравнения являются функциями x , y , t по отдельности, они должны быть константами. Например, первый член дает X ″ = λX для константы  λ . Граничные условия («удерживаемые в прямоугольной рамке») равны W = 0 при x = 0 , L ₁ или y = 0 , L ₂ и определяют простейшие возможные задачи собственных значений Штурма–Лиувилля, как в примере, давая «решения в нормальном режиме» для W с гармонической зависимостью от времени, где m и n — ненулевые целые числа , A _mn — произвольные константы, и$${\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}$$$${\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).}$$

Функции W _mn образуют основу гильбертова пространства (обобщенных) решений волнового уравнения; то есть произвольное решение W может быть разложено на сумму этих мод, которые колеблются на своих индивидуальных частотах ω _mn . Это представление может потребовать сходящейся бесконечной суммы.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в одном пространственном измерении и первого порядка по времени вида:$${\displaystyle f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h(x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,}$$$${\displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).}$$

Разделяя переменные, мы предполагаем, что Тогда наше приведенное выше уравнение в частных производных можно записать как: где$${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$$$${\displaystyle {\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}}$$$${\displaystyle {\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h(x),\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).}$$

Поскольку, по определению, L̂ и X ( x ) не зависят от времени t , а M̂ и T ( t ) не зависят от положения x , то обе стороны приведенного выше уравнения должны быть равны константе:$${\displaystyle {\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)=\lambda T(t).}$$

Первое из этих уравнений должно быть решено как задача Штурма–Лиувилля в терминах собственных функций X _n ( x ) и собственных значений λ _n . Второе из этих уравнений может быть решено аналитически, как только собственные значения известны.

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)}$$$${\displaystyle T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}}$$

где$${\displaystyle {\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx,}$$$${\displaystyle w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}.}$$

Дифференциальное уравнение Штурма–Лиувилля ( 1 ) с граничными условиями может быть решено аналитически, что может быть точным или давать приближение, методом Рэлея–Ритца или матрично-вариационным методом Герка и др. ^{[1] [2] [3]}

Численно также доступны различные методы. В сложных случаях может потребоваться выполнить промежуточные вычисления с точностью до нескольких сотен знаков после запятой, чтобы получить собственные значения с точностью до нескольких знаков после запятой.

• Методы стрельбы ^{[4] [5]}
• Метод конечных разностей
• Метод степенных рядов спектральных параметров ^[6]

Методы стрельбы осуществляются путем угадывания значения λ , решения задачи начального значения, определенной граничными условиями в одной конечной точке, скажем, a , интервала [ a , b ] , сравнения значения, которое это решение принимает в другой конечной точке b, с другим желаемым граничным условием и, наконец, увеличения или уменьшения λ по мере необходимости для исправления исходного значения. Эта стратегия неприменима для поиска комплексных собственных значений. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Метод спектральных степенных рядов параметров (SPPS) использует обобщение следующего факта об однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка: если y является решением уравнения ( 1 ), которое не обращается в нуль ни в одной точке [ a , b ] , то функция является решением того же уравнения и линейно независима от y . Кроме того, все решения являются линейными комбинациями этих двух решений. В алгоритме SPPS необходимо начать с произвольного значения λ$${\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}}$$^∗
₀(часто λ^∗
₀= 0 ; оно не обязательно должно быть собственным значением) и любое решение y ₀ уравнения ( 1 ) с λ = λ^∗
₀который не обращается в нуль на [ a , b ] . (Ниже обсуждаются способы нахождения _{соответствующих} y0 и λ^∗
₀.) Две последовательности функций X ^{( n )} ( t ) , X̃ ^{( n )} ( t ) на [ a , b ] , называемые повторными интегралами , определяются рекурсивно следующим образом. Сначала при n = 0 они принимаются тождественно равными 1 на [ a , b ] . Для получения следующих функций они поочередно умножаются на ⁠1/py²
₀⁠ и wy²
₀и интегрируем, в частности, для n > 0 :

$${\displaystyle X^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle -\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle \quad \int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$

5

$${\displaystyle {\tilde {X}}^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle \quad \int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle -\int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

6

Полученные повторные интегралы теперь применяются как коэффициенты в следующих двух степенных рядах по  λ : Тогда для любого λ (действительного или комплексного) u ₀ и u ₁ являются линейно независимыми решениями соответствующего уравнения ( 1 ). (Функции p ( x ) и q ( x ) принимают участие в этой конструкции посредством своего влияния на выбор y ₀ .)$${\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\tilde {X}}^{(2k)},}$$$${\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^{(2k+1)}.}$$

Далее выбираются коэффициенты c ₀ и c ₁ так, чтобы комбинация y = c ₀ u ₀ + c ₁ u ₁ удовлетворяла первому граничному условию ( 2 ). Это просто сделать, поскольку X ^{( n )} ( a ) = 0 и X̃ ^{( n )} ( a ) = 0 для n > 0. Значения X ^{( n )} ( b ) и X̃ ^{( n )} ( b ) дают значения u ₀ ( b ) и u ₁ ( b ) и производные u ′ ₀ ( b ) и u ′ ₀ ( b ) , поэтому второе граничное условие ( 3 ) становится уравнением в степенном ряду по  λ . Для численной работы можно усечь этот ряд до конечного числа членов, получив вычислимый полином по λ, корни которого являются приближениями искомых собственных значений.

При λ = λ ₀ это сводится к исходной конструкции, описанной выше для решения, линейно независимого от заданного. Представления ( 5 ) и ( 6 ) также имеют теоретические приложения в теории Штурма–Лиувилля. ^[6]

Метод SPPS может быть использован для поиска начального решения y ₀ . Рассмотрим уравнение ( py ′)′ = μqy ; т. е. q , w , и λ заменяются в ( 1 ) на 0, − q , и μ соответственно. Тогда постоянная функция 1 является неисчезающим решением, соответствующим собственному значению μ ₀ = 0 . Хотя нет никакой гарантии, что u ₀ или u ₁ не исчезнут, комплексная функция y ₀ = u ₀ + iu ₁ никогда не исчезнет, ​​потому что два линейно-независимых решения регулярного уравнения Штурма–Лиувилля не могут исчезнуть одновременно в результате теоремы Штурма о разделении . Этот трюк дает решение y ₀ уравнения ( 1 ) для значения λ ₀ = 0 . На практике, если ( 1 ) имеет действительные коэффициенты, решения, основанные на y0 _, будут иметь очень малые мнимые части, которые необходимо отбросить.

• Нормальный режим
• Теория колебаний
• Самосопряженный
• Изменение параметров
• Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
• Теорема Аткинсона–Мингарелли

• Gesztesy, Fritz ; Nichols, Roger ; Zinchenko, Maxim (2024-09-24). Операторы Штурма–Лиувилля, их спектральная теория и некоторые приложения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-7666-3.
• «Теория Штурма–Лиувилля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хартман, Филип (2002). Обыкновенные дифференциальные уравнения (2-е изд.). Филадельфия: SIAM . ISBN 978-0-89871-510-1.
• Полянин, АД и Зайцев, ВФ (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.(Глава 5)
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; с приложениями к операторам Шредингера. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.(см. Главу 9 для сингулярных операторов Штурма–Лиувилля и связей с квантовой механикой)
• Zettl, Anton (2005). Теория Штурма–Лиувилля . Providence : American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3905-5.
• Биркгофф, Гарретт (1973). Источниковая книга по классическому анализу . Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-674-82245-5.(См. главу 8, часть Б, где приведены отрывки из трудов Штурма и Лиувилля и комментарии к ним.)
• Кравченко, Владислав (2020). Прямая и обратная задачи Штурма-Лиувилля: метод решения . Cham: Birkhäuser . ISBN 978-3-030-47848-3.