Изомонодромная деформация

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2021 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике уравнения, управляющие изомонодромной деформацией мероморфных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являются, в довольно точном смысле, наиболее фундаментальными точными нелинейными дифференциальными уравнениями. В результате их решения и свойства лежат в основе области точной нелинейности и интегрируемых систем .

Изомонодромные деформации впервые были изучены Ричардом Фуксом, а ранние пионерские вклады внесли Лазарус Фукс , Поль Пенлеве , Рене Гарнье и Людвиг Шлезингер . Вдохновленные результатами в статистической механике , основополагающий вклад в теорию внесли Мичио Дзимбо , Тетсуджи Мива и Кимио Уэно, которые изучали случаи, связанные с нерегулярными сингулярностями.

Фуксова система — это система линейных дифференциальных уравнений ^[1]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=A(x)y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}y}$

где x принимает значения в комплексной проективной прямой , y принимает значения в и A _i являются постоянными матрицами n × n . Решения этого уравнения имеют полиномиальный рост в пределе x = λ _i . Помещая n независимых решений столбцов в фундаментальную матрицу , то и можно считать, что принимает значения в . Для простоты предположим, что на бесконечности нет дополнительных полюсов, что равносильно условию, что ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},...,y_{n})}$${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathrm {GL} (п,\mathbb {C})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.}$

Теперь зафиксируем базовую точку b на сфере Римана вдали от полюсов . Аналитическое продолжение фундаментального решения вокруг любого полюса λ _i и обратно к базовой точке даст новое решение, определенное вблизи b . Новое и старое решения связаны матрицей монодромии M i _{следующим} образом:${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle Y_{2}=Y_{1}M_{i}.}$

Таким образом, имеем гомоморфизм Римана–Гильберта из фундаментальной группы проколотой сферы в представление монодромии:

${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {CP} ^{1}-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\right)\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Изменение базовой точки приводит лишь к (одновременному) сопряжению всех матриц монодромии. Матрицы монодромии по модулю сопряжения определяют данные монодромии фуксовой системы.

Теперь, с заданными данными монодромии, можно ли найти фуксову систему, которая демонстрирует эту монодромию? Это одна из форм двадцать первой проблемы Гильберта . Не различаются координаты x и , которые связаны преобразованиями Мёбиуса , а также не различаются калибровочно эквивалентные фуксовы системы - это означает, что A и${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x){\frac {dg(x)}{dx}}}$

считаются эквивалентными для любого голоморфного калибровочного преобразования g ( x ). (Таким образом, наиболее естественно рассматривать фуксову систему геометрически, как связь с простыми полюсами на тривиальном векторном расслоении ранга n над сферой Римана).

Для общих данных монодромии ответ на двадцать первую проблему Гильберта — «да». Первое доказательство было дано Иосипом Племелем . ^{[2] Однако доказательство справедливо только для общих данных, и в 1989 году} Андрей Болибрух показал , что существуют определенные «вырожденные» случаи, когда ответ — «нет». ^[3] Здесь полностью сосредоточен общий случай.

В общем случае существует много фуксовых систем с одинаковыми данными монодромии. Таким образом, для любой такой фуксовой системы с указанными данными монодромии можно выполнить ее изомонодромные деформации . Таким образом, это приводит к изучению семейств фуксовых систем, где матрицы A _i зависят от положений полюсов.

В 1912 году Людвиг Шлезингер доказал, что в общем случае деформации, сохраняющие данные монодромии общей фуксовой системы, подчиняются интегрируемой голономной системе уравнений в частных производных , которая теперь носит его имя: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=-\sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}}$

Последнее уравнение часто записывается эквивалентно как${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$

Это уравнения изомонодромии для общих фуксовых систем. Естественная интерпретация этих уравнений — как плоскостность естественной связи на векторном расслоении над «пространством параметров деформации», которое состоит из возможных положений полюсов. Для необщих изомонодромных деформаций все еще будет интегрируемое уравнение изомонодромии, но оно больше не будет уравнением Шлезингера.

Если ограничить внимание случаем, когда A _i принимает значения в алгебре Ли , то получаются интегрируемые системы Гарнье . Если же специализироваться далее на случае, когда имеется только четыре полюса, то уравнения Шлезингера/Гарнье можно свести к знаменитому шестому уравнению Пенлеве .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Мотивированные появлением трансцендентов Пенлеве в корреляционных функциях в теории бозе-газов , Мичио Джимбо, Тетсуджи Мива и Кимио Уэно расширили понятие изомонодромной деформации на случай нерегулярных особенностей с полюсами любого порядка при следующем предположении: старший коэффициент в каждом полюсе является общим, т. е. это диагонализируемая матрица с простым спектром. ^[5]

Рассматриваемая линейная система теперь имеет вид

${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{r_{i}+1}{\frac {A_{j}^{(i)}}{(x-\lambda _{i})^{j}}}Y,}$

с n полюсами, с полюсом при λ _i порядка . Являются постоянными матрицами (и являются общими для ).${\displaystyle (r_{i}+1)}$${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$${\displaystyle A_{r_{i+1}}^{(i)}}$${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$

Как и представление монодромии, описанное в фуксовой постановке, деформации нерегулярных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений требуются для сохранения расширенных данных монодромии. Грубо говоря, данные монодромии теперь рассматриваются как данные, которые склеивают канонические решения вблизи сингулярностей. Если взять в качестве локальной координаты вблизи полюса λ _i порядка , то можно решить почленно голоморфное калибровочное преобразование g таким образом, что локально система выглядит как${\displaystyle x_{i}=x-\lambda _{i}}$ ${\displaystyle r_{i}+1}$

${\displaystyle {\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i}}}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})}$

где и являются диагональными матрицами. Если бы это было верно, это было бы чрезвычайно полезно, потому что тогда (по крайней мере локально) мы разделили бы систему на n скалярных дифференциальных уравнений, которые можно легко решить, чтобы найти, что (локально):${\displaystyle M^{(i)}}$${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

${\displaystyle Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

Однако это не работает, поскольку степенной ряд, решенный почленно для g , в общем случае не будет сходиться.

Джимбо, Мива и Уэно показали, что этот подход, тем не менее, обеспечивает канонические решения вблизи сингулярностей и, следовательно, может использоваться для определения расширенных данных монодромии. Это связано с теоремой Джорджа Биркгофа ^{[ требуется цитата ]} , которая гласит, что для такого формального ряда существует единственная сходящаяся функция G _i такая, что в любом достаточно большом секторе ^{[ требуется пояснение ]} вокруг полюса G _i является асимптотической к g _i , и

${\displaystyle Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

является истинным решением дифференциального уравнения. Поэтому каноническое решение появляется в каждом таком секторе около каждого полюса. Расширенные данные монодромии состоят из

• данные из представления монодромии, как и для фуксового случая;
• Матрицы Стокса, связывающие канонические решения между соседними секторами на одном полюсе;
• матрицы связей, которые связывают канонические решения между секторами на разных полюсах.

Как и прежде, теперь рассматриваются семейства систем линейных дифференциальных уравнений, все с одинаковой (общей) структурой сингулярности. Поэтому разрешается, чтобы матрицы зависели от параметров. Разрешается изменять положения полюсов λ _i , но теперь, кроме того, также изменяются элементы диагональных матриц, которые появляются в каноническом решении вблизи каждого полюса.${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

Джимбо, Мива и Уэно доказали, что если определить одну форму на «пространстве параметров деформации» следующим образом:

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_{i}^{-1}\right)}$

(где D обозначает внешнюю дифференциацию по отношению к компонентам единственного )${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

то деформации мероморфной линейной системы, заданной A, являются изомонодромными тогда и только тогда, когда

${\displaystyle dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.}$

Это уравнения изомонодромности Джимбо—Мива—Уэно . Как и прежде, эти уравнения можно интерпретировать как плоскостность естественной связности на пространстве параметров деформации.

Уравнения изомонодромии обладают рядом свойств, которые оправдывают их статус нелинейных специальных функций .

Это, пожалуй, самое важное свойство решения изомонодромных уравнений деформации. Это означает, что все существенные сингулярности решений фиксированы, хотя положения полюсов могут перемещаться. Это было доказано Бернаром Мальгранжем для случая фуксовых систем и Тетсуджи Мивой в общей постановке.

Действительно, предположим, что дано уравнение в частных производных (или их система). Тогда «обладание сведением к уравнению изомонодромии» более или менее эквивалентно свойству Пенлеве и, следовательно, может использоваться в качестве теста на интегрируемость .

В общем случае решения уравнений изомонодромии не могут быть выражены в терминах более простых функций, таких как решения линейных дифференциальных уравнений. Однако для конкретных (точнее, приводимых) выборов расширенных данных монодромии решения могут быть выражены в терминах таких функций (или, по крайней мере, в терминах «более простых» трансцендентов изомонодромии). Изучение того, что именно означает эта трансцендентность, было в значительной степени выполнено с изобретением «нелинейной дифференциальной теории Галуа » Хироши Умемурой и Бернаром Мальгранжем .

Существуют также очень специальные решения, которые являются алгебраическими . Изучение таких алгебраических решений включает в себя изучение топологии пространства параметров деформации (и, в частности, его группы классов отображений ); для случая простых полюсов это равносильно изучению действия групп кос . Для особенно важного случая шестого уравнения Пенлеве был отмечен вклад Бориса Дубровина и Марты Маццокко, который недавно был расширен на более крупные классы данных монодромии Филиппом Боалчем.

Рациональные решения часто связаны со специальными полиномами. Иногда, как в случае шестого уравнения Пенлеве, это хорошо известные ортогональные полиномы , но существуют новые классы полиномов с чрезвычайно интересным распределением нулей и свойствами переплетения. Изучение таких полиномов в значительной степени было проведено Питером Кларксоном и его коллегами.

Уравнения изомонодромии можно переписать с использованием гамильтоновых формулировок. Эта точка зрения была широко представлена ​​Кадзуо Окамото в серии статей об уравнениях Пенлеве в 1980-х годах.

Их также можно рассматривать как естественное расширение симплектической структуры Атьи–Ботта на пространствах плоских связностей на римановых поверхностях в мир мероморфной геометрии — перспектива, которую развивал Филипп Боалч. Действительно, если зафиксировать положения полюсов, можно даже получить полные гиперкэлеровы многообразия ; результат, доказанный Оливье Бикардом и Филиппом Боалчем. ^[6]

Существует еще одно описание в терминах отображений моментов в (центральные расширения) алгебры петель - точка зрения, введенная Джоном Харнадом и распространенная на случай общей структуры сингулярности Ником Вудхаусом . Эта последняя точка зрения тесно связана с любопытным преобразованием Лапласа между уравнениями изомонодромности с различной структурой полюсов и рангом для базовых уравнений.

Уравнения изомонодромии возникают как (общие) полномерные редукции (обобщенных) антисамодвойственных уравнений Янга–Миллса . Таким образом, с помощью преобразования Пенроуза–Уорда их можно интерпретировать в терминах голоморфных векторных расслоений на комплексных многообразиях, называемых твисторными пространствами . Это позволяет использовать мощные методы алгебраической геометрии при изучении свойств трансцендентов. Этот подход был реализован Найджелом Хитчином , Лайонелом Мейсоном и Ником Вудхаусом .

Рассматривая данные, связанные с семействами римановых поверхностей, разветвленных над особенностями, можно рассматривать уравнения изомонодромности как неоднородные связности Гаусса–Манина . Это приводит к альтернативным описаниям уравнений изомонодромности в терминах абелевых функций — подход, известный Фуксу и Пенлеве, но утерянный до повторного открытия Юрием Маниным в 1996 году.

Конкретные трансценденты можно охарактеризовать их асимптотическим поведением. Изучение такого поведения восходит к ранним дням изомонодромии, в работах Пьера Бутру и других.

Их универсальность как некоторых из простейших нелинейных интегрируемых систем означает, что уравнения изомонодромии имеют разнообразный спектр приложений. Возможно, наибольшее практическое значение имеет область теории случайных матриц . Здесь статистические свойства собственных значений больших случайных матриц описываются конкретными трансцендентами.

Первоначальным толчком к возрождению интереса к изомонодромии в 1970-х годах стало появление трансцендент в корреляционных функциях в бозе-газах . ^[7]

Они предоставляют производящие функции для пространств модулей двумерных топологических квантовых теорий поля и, таким образом, полезны при изучении квантовых когомологий и инвариантов Громова–Виттена .

Уравнения изомонодромии «высшего порядка» недавно были использованы для объяснения механизма и свойств универсальности образования ударных волн для бездисперсионного предела уравнения Кортевега–де Фриза .

Они являются естественными редукциями уравнения Эрнста и тем самым дают решения уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности; они также приводят к другим (совершенно отличным) решениям уравнений Эйнштейна в терминах тета-функций .

Они возникли в недавних работах по зеркальной симметрии — как в геометрической программе Ленглендса , так и в работах по пространствам модулей условий устойчивости производных категорий .

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (March 2021) (Learn how and when to remove this message)

Уравнения изомонодромии были обобщены для мероморфных связностей на общей римановой поверхности .

Их также можно легко адаптировать для принятия значений в любой группе Ли , заменив диагональные матрицы максимальным тором и другими подобными модификациями.

Существует бурно развивающаяся область, изучающая дискретные версии уравнений изомонодромности.

• Итс, Александр Р.; Новокшенов, Виктор Ю. (1986), Метод изомонодромной деформации в теории уравнений Пенлеве , Lecture Notes in Mathematics, т. 1191, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16483-8, МР  0851569
• Саббах, Клод (2007), Изомонодромные деформации и многообразия Фробениуса , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7, ISBN 978-2-7598-0047-6 MR 1933784