Группа классов картографирования

В математике , в подобласти геометрической топологии , группа классов отображений является важным алгебраическим инвариантом топологического пространства . Коротко говоря, группа классов отображений является некоторой дискретной группой, соответствующей симметриям пространства.

Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в пространстве. Мы можем рассмотреть множество гомеоморфизмов из пространства в себя, то есть непрерывные отображения с непрерывными обратными : функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не разрывая и не склеивая пространство. Это множество гомеоморфизмов можно рассматривать как само пространство. Оно образует группу относительно функциональной композиции. Мы также можем определить топологию на этом новом пространстве гомеоморфизмов. Открытые множества этого нового пространства функций будут состоять из множеств функций, которые отображают компактные подмножества K в открытые подмножества U , когда K и U пробегают все наше исходное топологическое пространство, дополненное их конечными пересечениями (которые должны быть открытыми по определению топологии) и произвольными объединениями (которые снова должны быть открытыми). Это дает понятие непрерывности на пространстве функций, так что мы можем рассматривать непрерывную деформацию самих гомеоморфизмов: называемых гомотопиями . Мы определяем группу классов отображений, беря гомотопические классы гомеоморфизмов и индуцируя структуру группы из структуры группы функциональной композиции, уже присутствующей в пространстве гомеоморфизмов.

Термин группа классов отображения имеет гибкое использование. Чаще всего он используется в контексте многообразия M. Группа классов отображения M интерпретируется как группа изотопических классов автоморфизмов M. Таким образом, если M является топологическим многообразием , группа классов отображения является группой изотопических классов гомеоморфизмов M. Если M является гладким многообразием , группа классов отображения является группой изотопических классов диффеоморфизмов M. Всякий раз, когда группа автоморфизмов объекта X имеет естественную топологию , группа классов отображения X определяется как , где — компонент пути тождества в . (Обратите внимание, что в компактно-открытой топологии компоненты пути и классы изотопии совпадают, т. е. два отображения f и g находятся в одной и той же компоненте пути тогда и только тогда, когда они изотопны [ ^{требуется ссылка ]} ). Для топологических пространств это обычно компактно-открытая топология . В литературе по топологии малых размерностей группа классов отображений X обычно обозначается MCG( X ), хотя ее также часто обозначают , где вместо Aut подставляется соответствующая группа для категории , к которой принадлежит X. Здесь обозначает 0-ю гомотопическую группу пространства.${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))}$${\displaystyle \пи _{0}}$

Итак, в общем случае существует короткая точная последовательность групп:

${\displaystyle 1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.}$

Часто эта последовательность не разделена . ^[1]

Если работать в гомотопической категории , то группа классов отображений X — это группа гомотопических классов гомотопических эквивалентностей X.

Существует много подгрупп групп классов отображений, которые часто изучаются. Если M — ориентированное многообразие, то будут автоморфизмы M , сохраняющие ориентацию , и поэтому группа классов отображений M (как ориентированного многообразия) будет иметь индекс два в группе классов отображений M (как неориентированного многообразия) при условии, что M допускает автоморфизм, обращающий ориентацию. Аналогично, подгруппа, которая действует как тождество на всех группах гомологий M , называется группой Торелли M.${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

В любой категории (гладкая, PL, топологическая, гомотопическая) ^[2]

${\displaystyle \operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z},}$

соответствующие картам степени  ±1.

В гомотопической категории

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

Это происходит потому, что n-мерный тор является пространством Эйленберга–Маклейна .${\displaystyle \mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}}$

Для других категорий, если , ^[3] имеем следующие точные последовательности:${\displaystyle n\geq 5}$

В категории топологических пространств

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

В категории PL

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

(⊕ представляет прямую сумму ). В гладкой категории

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

где — конечные абелевы группы Кервера–Милнора гомотопических сфер , а — группа порядка 2.${\displaystyle \Гамма _{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Группы классов отображений поверхностей были тщательно изучены и иногда называются модулярными группами Тейхмюллера (обратите внимание на частный случай выше), поскольку они действуют на пространстве Тейхмюллера , а фактор — это пространство модулей римановых поверхностей, гомеоморфных поверхности. Эти группы демонстрируют черты, похожие как на гиперболические группы , так и на линейные группы более высокого ранга ^{[ требуется ссылка ]} . Они имеют много приложений в теории геометрических трехмерных многообразий Терстона (например, к поверхностным расслоениям ). Элементы этой группы также изучались сами по себе: важным результатом является теорема классификации Нильсена–Терстона , а порождающее семейство для группы задается скручиваниями Дена , которые в некотором смысле являются «простейшими» классами отображений. Каждая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности; ^[4] На самом деле можно реализовать любую конечную группу как группу изометрий некоторой компактной римановой поверхности (из чего сразу следует, что она инъецируется в группу классов отображений базовой топологической поверхности).${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})}$

Некоторые неориентируемые поверхности имеют группы классов отображения с простыми представлениями. Например, каждый гомеоморфизм вещественной проективной плоскости изотопен тождеству:${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.}$

Группа классов отображения бутылки Клейна K имеет вид:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.}$

Четыре элемента — это тождество, скручивание Дена на двусторонней кривой, которая не ограничивает ленту Мёбиуса , y-гомеоморфизм Ликориша и произведение скручивания и y-гомеоморфизма. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что квадрат скручивания Дена изотопен тождеству .

Отметим также, что замкнутая неориентируемая поверхность рода три N ₃ (связная сумма трех проективных плоскостей) имеет:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).}$

Это происходит потому, что поверхность N имеет единственный класс односторонних кривых, таких что, когда N разрезается вдоль такой кривой C , результирующая поверхность представляет собой тор с удаленным диском . Как неориентированная поверхность, ее группа классов отображений равна . (Лемма 2.1 ^[5] ).${\displaystyle N\setminus C}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z})}$

Группы классов отображения 3-многообразий также получили значительное изучение и тесно связаны с группами классов отображения 2-многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа классов отображения (а также группа изометрий) компактного гиперболического 3-многообразия. ^[6]

Для пары пространств (X,A) группа классов отображений пары представляет собой изотопические классы автоморфизмов пары, где автоморфизм (X,A) определяется как автоморфизм X , сохраняющий A , т.е. f : X → X обратим и f(A) = A.

Если K ⊂ S ³ — узел или зацепление , группа симметрии узла (соответственно зацепления) определяется как группа классов отображения пары ( S ³ , K ). Известно, что группа симметрии гиперболического узла является диэдральной или циклической ; более того, каждая диэдральная и циклическая группа может быть реализована как группа симметрии узлов. Известно, что группа симметрии торического узла имеет порядок два Z ₂ .

Обратите внимание, что существует индуцированное действие группы классов отображений на гомологии (и когомологии ) пространства X. Это происходит потому, что (ко)гомологии функториальны, а Homeo ₀ действует тривиально (потому что все элементы изотопны, следовательно, гомотопны тождеству, которое действует тривиально, а действие на (ко)гомологии инвариантно относительно гомотопии). Ядром этого действия является группа Торелли , названная в честь теоремы Торелли .

В случае ориентируемых поверхностей это действие на первых когомологиях H ¹ (Σ) ≅ Z ^{2 g} . Отображения, сохраняющие ориентацию, — это в точности те, которые действуют тривиально на верхних когомологиях H ² (Σ) ≅ Z . H ¹ (Σ) имеет симплектическую структуру, происходящую от произведения чашек ; поскольку эти отображения являются автоморфизмами, а отображения сохраняют произведение чашек, группа классов отображений действует как симплектические автоморфизмы, и действительно, все симплектические автоморфизмы реализуются, что дает короткую точную последовательность :

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1}$

Это можно распространить на

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1}$

Симплектическая группа хорошо изучена. Поэтому понимание алгебраической структуры группы классов отображений часто сводится к вопросам о группе Торелли.

Обратите внимание, что для тора (род 1) отображение в симплектическую группу является изоморфизмом, а группа Торелли исчезает.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (December 2009)

Можно вложить поверхность рода g и 1 компоненту границы в , прикрепив дополнительное отверстие на конце (т. е. склеив и ), и таким образом автоморфизмы малой поверхности, фиксирующие границу, продолжатся на большую поверхность. Взятие прямого предела этих групп и включений дает стабильную группу классов отображений, рациональное когомологическое кольцо которой было высказано Дэвидом Мамфордом (одна из гипотез, называемых гипотезами Мамфорда ). Целочисленное (а не просто рациональное) когомологическое кольцо было вычислено в 2002 году Ибом Мэдсеном и Майклом Вайсом , доказав гипотезу Мамфорда.${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$${\displaystyle \Sigma _{g+1,1}}$${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$${\displaystyle \Sigma _{1,2}}$

• Группы кос , группы классов отображения проколотых дисков
• Гомотопические группы
• Гомеотопические группы
• Фонарь отношение

• Madsen, Ib ; Weiss, Michael (2007). «Стабильное пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда». Annals of Mathematics . 165 (3): 843–941. arXiv : math/0212321 . CiteSeerX  10.1.1.236.2025 . doi :10.4007/annals.2007.165.843. JSTOR  20160047. S2CID  119721243.

• Семинар Мадсена-Вайса MCG; множество ссылок