Пространство твистора

В математике и теоретической физике (особенно в теории твисторов ) твисторное пространство — это комплексное векторное пространство решений уравнения твистора . Оно было описано в 1960-х годах Роджером Пенроузом и Малкольмом Маккаллумом. [1] По словам Эндрю Ходжеса , твисторное пространство полезно для концептуализации способа, которым фотоны движутся в пространстве, с использованием четырех комплексных чисел . Он также утверждает, что твисторное пространство может помочь в понимании асимметрии слабого ядерного взаимодействия . [2] ∇ А ′ ( А Ω Б ) = 0 {\displaystyle \nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0}

Неформальная мотивация

В (переведенных) словах Жака Адамара : «кратчайший путь между двумя истинами в действительной области проходит через комплексную область». Поэтому при изучении четырехмерного пространства может быть полезно отождествить его с Однако, поскольку канонического способа сделать это не существует, вместо этого рассматриваются все изоморфизмы, уважающие ориентацию и метрику между ними. Оказывается, что комплексное проективное 3-пространство параметризует такие изоморфизмы вместе с комплексными координатами. Таким образом, одна комплексная координата описывает идентификацию, а две другие описывают точку в . Оказывается, что векторные расслоения с самодвойственными связями на ( инстантонах ) биективно соответствуют голоморфным векторным расслоениям на комплексном проективном 3-пространстве . Р 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} С 2 . {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.} С П 3 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}} Р 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} Р 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} С П 3 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}

Формальное определение

Для пространства Минковского , обозначаемого , решения уравнения твистора имеют вид М {\displaystyle \mathbb {М} }

Ω А ( х ) = ω А − я х А А ′ π А ′ {\displaystyle \Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}}

где и — два постоянных спинора Вейля , а — точка в пространстве Минковского. Это матрицы Паули с индексами на матрицах. Это пространство твисторов — четырехмерное комплексное векторное пространство, точки которого обозначаются как , и с эрмитовой формой ω А {\displaystyle \omega ^{A}} π А ′ {\displaystyle \пи _{A'}} х А А ′ = σ μ А А ′ х μ {\displaystyle x^{AA'} =\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }} σ μ = ( я , σ → ) {\displaystyle \sigma _ {\mu }=(I, {\vec {\sigma }})} А , А ′ = 1 , 2 {\displaystyle А,А^{\prime }=1,2} З α = ( ω А , π А ′ ) {\displaystyle Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})}

Σ ( З ) = ω А π ¯ А + ω ¯ А ′ π А ′ {\displaystyle \Сигма (Z)=\омега ^{A}{\бар {\пи}}_{A}+{\бар {\омега}}^{A'}\пи _{A'}}

которая инвариантна относительно группы SU(2,2) , которая является четверным покрытием конформной группы C(1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.

Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства через отношение инцидентности

ω А = я х А А ′ π А ′ . {\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'} \pi _{A'}.}

Это отношение инцидентности сохраняется при общем изменении масштаба твистора, поэтому обычно работают в проективном пространстве твисторов, обозначаемом , которое изоморфно как комплексное многообразие . П Т {\displaystyle \mathbb {PT} } С П 3 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}

При наличии точки она связана с линией в проективном твисторном пространстве, где мы можем рассматривать отношение инцидентности как дающее линейное вложение параметризованного с помощью . х ∈ М {\displaystyle x\in M} С П 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}} π А ′ {\displaystyle \пи _{A'}}

Геометрическая связь между проективным твисторным пространством и комплексифицированным компактифицированным пространством Минковского такая же, как связь между прямыми и двумерными плоскостями в твисторном пространстве; точнее, твисторное пространство есть

Т := С 4 . {\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.}

С ним связано двойное расслоение многообразий флагов , где есть проективное твисторное пространство П ← μ Ф → ν М {\displaystyle \mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M} } П {\displaystyle \mathbb {P} }

П = Ф 1 ( Т ) = С П 3 = П ( С 4 ) {\displaystyle \mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})}

и является компактифицированным комплексифицированным пространством Минковского М {\displaystyle \mathbb {М} }

М = Ф 2 ( Т ) = Гр 2 ⁡ ( С 4 ) = Гр 2 , 4 ⁡ ( С ) {\displaystyle \mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )}

и пространство соответствия между и равно П {\displaystyle \mathbb {P} } М {\displaystyle \mathbb {М} }

Ф = Ф 1 , 2 ( Т ) {\displaystyle \mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )}

В приведенном выше примере обозначает проективное пространство , грассманиан и многообразие флагов . Двойное расслоение порождает два соответствия (см. также преобразование Пенроуза ), и П {\displaystyle \mathbf {P} } Гр {\displaystyle \operatorname {Гр} } Ф {\displaystyle F} с = ν ∘ μ − 1 {\displaystyle c=\nu \circ \mu ^{-1}} с − 1 = μ ∘ ν − 1 . {\displaystyle c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.}

Компактифицированное комплексифицированное пространство Минковского вкладывается в с помощью вложения Плюккера ; изображением является квадрика Клейна . М {\displaystyle \mathbb {М} } П 5 ≅ П ( ∧ 2 Т ) {\displaystyle \mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )}

Ссылки

  1. ^ Пенроуз, Р.; МакКаллум, М.А.Х. (февраль 1973 г.). «Теория твисторов: подход к квантованию полей и пространства-времени» . Physics Reports . 6 (4): 241–315. doi :10.1016/0370-1573(73)90008-2.
  2. ^ Ходжес, Эндрю (2010). От одного до девяти: Внутренняя жизнь чисел. Doubleday Canada. стр. 142. ISBN 978-0-385-67266-5.
  • Уорд, Р. С.; Уэллс, Р. О. (1991). Геометрия твисторов и теория поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42268-X.
  • Хаггетт, ЮАР; Тод, КП (1994). Введение в твисторную теорию . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45689-0.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Twistor_space&oldid=1192217457"