Карта импульса

В математике , в частности в симплектической геометрии , отображение момента (или, по ложной этимологии, отображение момента [1] ) — это инструмент, связанный с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическом многообразии , используемый для построения сохраняющихся величин для действия. Отображение момента обобщает классические понятия линейного и углового импульса . Оно является существенным ингредиентом в различных конструкциях симплектических многообразий, включая симплектические ( Марсдена–Вайнштейна ) частные , обсуждаемые ниже, и симплектические разрезы и суммы .

Формальное определение

Пусть будет многообразием с симплектической формой . Предположим, что группа Ли действует на посредством симплектоморфизмов (то есть действие каждого в сохраняет ). Пусть будет алгеброй Ли для , ее двойственной , и М {\displaystyle М} ω {\displaystyle \омега} Г {\displaystyle G} М {\displaystyle М} г {\displaystyle г} Г {\displaystyle G} ω {\displaystyle \омега} г {\displaystyle {\mathfrak {g}}} Г {\displaystyle G} г ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : г ∗ × г → Р {\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }

спаривание между ними. Любое в индуцирует векторное поле при описании бесконечно малого действия . Если быть точным, в точке вектора есть ξ {\displaystyle \xi} г {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ρ ( ξ ) {\displaystyle \ро (\xi )} М {\displaystyle М} ξ {\displaystyle \xi} х {\displaystyle x} М {\displaystyle М} ρ ( ξ ) х {\displaystyle \rho (\xi )_{x}}

г г т | т = 0 эксп ⁡ ( т ξ ) ⋅ х , {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}

где — экспоненциальное отображение , а обозначает -действие на . [2] Пусть обозначает свертку этого векторного поля с . Поскольку действует симплектоморфизмами, то замкнуто (для всех в ). эксп : г → Г {\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G} ⋅ {\displaystyle \cdot} Г {\displaystyle G} М {\displaystyle М} й ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _ {\rho (\xi)}\omega \,} ω {\displaystyle \омега} Г {\displaystyle G} й ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _ {\rho (\xi)}\omega \,} ξ {\displaystyle \xi} г {\displaystyle {\mathfrak {g}}}

Предположим, что не только замкнуто, но и точно, так что для некоторой функции . Если это так, то можно выбрать , чтобы сделать отображение линейным. Отображение импульса для -действия на — это отображение, такое что й ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \iota _ {\rho (\xi)}\omega \,} й ρ ( ξ ) ω = г ЧАС ξ {\displaystyle \iota _ {\rho (\xi)}\omega =\mathrm {d} H_ {\xi }} ЧАС ξ : М → Р {\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbb {R} } ЧАС ξ {\displaystyle H_{\xi }} ξ ↦ ЧАС ξ {\displaystyle \xi \mapsto H_ {\xi }} Г {\displaystyle G} ( М , ω ) {\displaystyle (М,\омега)} μ : М → г ∗ {\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}

г ( ⟨ μ , ξ ⟩ ) = й ρ ( ξ ) ω {\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }

для всех в . Вот функция от до , определяемая . Карта импульса однозначно определена с точностью до аддитивной константы интегрирования (на каждом связанном компоненте). ξ {\displaystyle \xi } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ⟨ μ , ξ ⟩ {\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle } M {\displaystyle M} R {\displaystyle \mathbb {R} } ⟨ μ , ξ ⟩ ( x ) = ⟨ μ ( x ) , ξ ⟩ {\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }

Действие на симплектическом многообразии называется гамильтоновым, если оно симплектическое и существует отображение импульса. G {\displaystyle G} ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )}

Часто требуется, чтобы отображение импульса было -эквивариантным , где действует на посредством коприсоединённого действия , и иногда это требование включается в определение действия гамильтонова группы. Если группа компактна или полупроста, то константу интегрирования всегда можно выбрать так, чтобы сделать коприсоединённое отображение импульса эквивариантным. Однако в общем случае коприсоединённое действие должно быть изменено, чтобы сделать отображение эквивариантным (это имеет место, например, для евклидовой группы ). Модификация осуществляется с помощью 1- коцикла на группе со значениями в , как впервые описано Сурио (1970). G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}

Примеры карт импульса

В случае гамильтонова действия окружности двойственная алгебра Ли естественным образом отождествляется с , а отображение импульса — это просто гамильтонова функция, которая порождает действие окружности. G = U ( 1 ) {\displaystyle G=U(1)} g ∗ {\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}} R {\displaystyle \mathbb {R} }

Другой классический случай имеет место, когда — кокасательное расслоение и — евклидова группа, порожденная вращениями и трансляциями. То есть — шестимерная группа, полупрямое произведение и . Шесть компонентов отображения импульса — это тогда три угловых момента и три линейных импульса. M {\displaystyle M} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (3)} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

Пусть будет гладким многообразием и пусть будет его кокасательным расслоением, с отображением проекции . Пусть обозначает тавтологическую 1-форму на . Предположим, действует на . Индуцированное действие на симплектическом многообразии , заданное для , является гамильтоновым с отображением импульса для всех . Здесь обозначает свертывание векторного поля , инфинитезимальное действие , с 1-формой . N {\displaystyle N} T ∗ N {\displaystyle T^{*}N} π : T ∗ N → N {\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N} τ {\displaystyle \tau } T ∗ N {\displaystyle T^{*}N} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} ( T ∗ N , d τ ) {\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )} g ⋅ η := ( T π ( η ) g − 1 ) ∗ η {\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta } g ∈ G , η ∈ T ∗ N {\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N} − ι ρ ( ξ ) τ {\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau } ξ ∈ g {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}} ι ρ ( ξ ) τ {\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau } ρ ( ξ ) {\displaystyle \rho (\xi )} ξ {\displaystyle \xi } τ {\displaystyle \tau }

Приведенные ниже факты можно использовать для создания дополнительных примеров карт импульса.

Некоторые факты о картах импульса

Пусть — группы Ли с алгебрами Ли соответственно. G , H {\displaystyle G,H} g , h {\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}

  1. Пусть — коприсоединенная орбита . Тогда существует единственная симплектическая структура на такая, что отображение включения является отображением импульса. O ( F ) , F ∈ g ∗ {\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}} O ( F ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(F)} O ( F ) ↪ g ∗ {\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}
  2. Пусть действует на симплектическом многообразии с отображением импульса для действия, и будет гомоморфизмом групп Ли, индуцирующим действие на . Тогда действие на также является гамильтоновым, с отображением импульса, заданным как , где — двойственное отображение к ( обозначает единичный элемент ). Случай, представляющий особый интерес, — это подгруппа Ли , а — отображение включения. G {\displaystyle G} ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} Φ G : M → g ∗ {\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}} ψ : H → G {\displaystyle \psi :H\rightarrow G} H {\displaystyle H} M {\displaystyle M} H {\displaystyle H} M {\displaystyle M} ( d ψ ) e ∗ ∘ Φ G {\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}} ( d ψ ) e ∗ : g ∗ → h ∗ {\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}} ( d ψ ) e : h → g {\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}} e {\displaystyle e} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} ψ {\displaystyle \psi }
  3. Пусть будет гамильтоновым -многообразием и гамильтоновым -многообразием. Тогда естественное действие на является гамильтоновым, с отображением импульса прямой суммой двух отображений импульса и . Здесь , где обозначает отображение проекции. ( M 1 , ω 1 ) {\displaystyle (M_{1},\omega _{1})} G {\displaystyle G} ( M 2 , ω 2 ) {\displaystyle (M_{2},\omega _{2})} H {\displaystyle H} G × H {\displaystyle G\times H} ( M 1 × M 2 , ω 1 × ω 2 ) {\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})} Φ G {\displaystyle \Phi _{G}} Φ H {\displaystyle \Phi _{H}} ω 1 × ω 2 := π 1 ∗ ω 1 + π 2 ∗ ω 2 {\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}} π i : M 1 × M 2 → M i {\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}
  4. Пусть будет гамильтоновым -многообразием, и подмногообразием инвариантным относительно , ​​таким, что ограничение симплектической формы на на является невырожденным. Это естественным образом придает симплектическую структуру на . Тогда действие на также является гамильтоновым, с отображением импульса - композицией отображения включения с отображением импульса '. M {\displaystyle M} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} M {\displaystyle M} G {\displaystyle G} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} G {\displaystyle G} N {\displaystyle N} M {\displaystyle M}

Симплектические факторы

Предположим, что действие группы Ли на симплектическом многообразии является гамильтоновым, как определено выше, с эквивариантным отображением импульса . Из условия гамильтоновости следует, что инвариантно относительно . G {\displaystyle G} ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} μ : M → g ∗ {\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}} μ − 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} G {\displaystyle G}

Предположим теперь, что действует свободно и правильно на . Отсюда следует, что является регулярным значением , поэтому и его фактор являются гладкими многообразиями. Фактор наследует симплектическую форму от ; то есть существует единственная симплектическая форма на факторе, обратный путь которой к равен ограничению к . Таким образом, фактор является симплектическим многообразием, называемым фактором Марсдена–Вайнштейна , после (Marsden & Weinstein 1974), симплектическим фактором или симплектической редукцией на и обозначается . Его размерность равна размерности минус удвоенная размерность . G {\displaystyle G} μ − 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} 0 {\displaystyle 0} μ {\displaystyle \mu } μ − 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} μ − 1 ( 0 ) / G {\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G} M {\displaystyle M} μ − 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} ω {\displaystyle \omega } μ − 1 ( 0 ) {\displaystyle \mu ^{-1}(0)} M {\displaystyle M} G {\displaystyle G} M / / G {\displaystyle M/\!\!/G} M {\displaystyle M} G {\displaystyle G}

В более общем смысле, если G не действует свободно (но все же правильно), то (Sjamaar & Lerman 1991) показали, что является стратифицированным симплектическим пространством, т.е. стратифицированным пространством с совместимыми симплектическими структурами на стратах. M / / G = μ − 1 ( 0 ) / G {\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}

Плоские соединения на поверхности

Пространство связностей на тривиальном расслоении на поверхности несет бесконечномерную симплектическую форму Ω 1 ( Σ , g ) {\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})} Σ × G {\displaystyle \Sigma \times G}

⟨ α , β ⟩ := ∫ Σ tr ( α ∧ β ) . {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}

Группа калибровки действует на соединения путем сопряжения . Определить через интеграционное сопряжение. Затем карта G = Map ( Σ , G ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)} g ⋅ A := g − 1 ( d g ) + g − 1 A g {\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag} Lie ( G ) = Ω 0 ( Σ , g ) = Ω 2 ( Σ , g ) ∗ {\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}

μ : Ω 1 ( Σ , g ) → Ω 2 ( Σ , g ) , A ↦ F := d A + 1 2 [ A ∧ A ] {\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}

которая отправляет связь в ее кривизну, является отображением моментов для действия калибровочной группы на связях. В частности, пространство модулей плоских связей по модулю калибровочной эквивалентности задается симплектической редукцией. μ − 1 ( 0 ) / G = Ω 1 ( Σ , g ) / / G {\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Moment map — неправильное название, физически неверное. Это ошибочный перевод французского понятия application moment . См. этот вопрос mathoverflow для истории названия.
  2. ^ Вектор ρ(ξ) иногда называют векторным полем Киллинга относительно действия однопараметрической подгруппы, порожденной ξ. См., например, (Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)

Ссылки

  • Ж.-М. Сурио, Структура динамических систем , Maîtrises de mathématiques, Dunod, Париж, 1970. ISSN  0750-2435.
  • SK Donaldson и PB Kronheimer , Геометрия четырехмерных многообразий , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9 . 
  • Дьюса Макдафф и Дитмар Саламон, Введение в симплектическую топологию , Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9 . 
  • Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
  • Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тудор С. (2004). Отображения импульса и гамильтоново сокращение . Прогресс в математике. Т. 222. Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
  • Оден, Мишель (2004), Действия тора на симплектических многообразиях , Progress in Mathematics, т. 93 (Второе исправленное издание), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
  • Гийемен, Виктор ; Стернберг, Шломо (1990), Симплектические методы в физике (второе издание), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
  • Вудворд, Крис (2010), Моментные отображения и геометрическая теория инвариантов , Les cours du CIRM, т. 1, EUDML, стр. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
  • Брюгьер, Ален (1987), «Свойства выпуклости момента приложения» (PDF) , Asterisque , Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87
  • Марсден, Джерролд ; Вайнштейн, Алан (1974), «Редукция симплектических многообразий с симметрией», Reports on Mathematical Physics , 5 (1): 121–130, Bibcode : 1974RpMP....5..121M, doi : 10.1016/0034-4877(74)90021-4
  • Сьямар, Рейер; Лерман, Юджин (1991), «Стратифицированные симплектические пространства и редукция», Annals of Mathematics , 134 (2): 375–422, doi :10.2307/2944350, JSTOR  2944350
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Momentum_map&oldid=1226043140"