Трансценденты Пенлеве

В математике трансценденты Пенлеве являются решениями некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в комплексной плоскости со свойством Пенлеве (единственными подвижными сингулярностями являются полюса), но которые, как правило, неразрешимы в терминах элементарных функций . Они были открыты Эмилем Пикаром  (1889), Полем Пенлеве  (1900, 1902), Рихардом Фуксом (1905) и Бертраном Гамбье (1910).

История

Трансценденты Пенлеве берут свое начало в изучении специальных функций , которые часто возникают как решения дифференциальных уравнений, а также в изучении изомонодромных деформаций линейных дифференциальных уравнений. Одним из наиболее полезных классов специальных функций являются эллиптические функции . Они определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, особенности которых обладают свойством Пенлеве : единственными подвижными особенностями являются полюса . Это свойство редко встречается в нелинейных уравнениях. Пуанкаре и Л. Фукс показали, что любое уравнение первого порядка со свойством Пенлеве может быть преобразовано в эллиптическое уравнение Вейерштрасса или уравнение Риккати , которые все могут быть решены явно в терминах интегрирования и ранее известных специальных функций. [1] Эмиль Пикар указал, что для порядков больше 1 могут возникать подвижные существенные особенности, и нашел особый случай того, что позже было названо уравнением Пенлеве VI (см. ниже). (Для порядков больше 2 решения могут иметь подвижные естественные границы.) Около 1900 года Поль Пенлеве изучал дифференциальные уравнения второго порядка без подвижных особенностей. Он обнаружил, что с точностью до определенных преобразований каждое такое уравнение вида

у ′ ′ = Р ( у ′ , у , т ) {\displaystyle y^{\prime \prime }=R(y^{\prime },y,t)}

(с рациональной функцией) можно привести к одной из пятидесяти канонических форм (перечисленных в (С 1956 г.)). Пенлеве (1900, 1902) обнаружил, что сорок четыре из пятидесяти уравнений являются приводимыми в том смысле, что их можно решить в терминах ранее известных функций, оставляя всего шесть уравнений, требующих введения новых специальных функций для их решения. Были некоторые вычислительные ошибки, и в результате он пропустил три уравнения, включая общую форму Пенлеве VI. Ошибки были исправлены и классификация завершена учеником Пенлеве Бертраном Гамбье. Независимо от Пенлеве и Гамбье уравнение Пенлеве VI было найдено Ричардом Фуксом из совершенно других соображений: он изучал изомонодромные деформации линейных дифференциальных уравнений с регулярными особенностями . В течение многих лет была спорной открытой проблемой, чтобы показать, что эти шесть уравнений действительно неприводимы для общих значений параметров (иногда они приводимы для специальных значений параметров; см. ниже), но это было окончательно доказано Нисиокой (1988) и Хироши Умемурой (1989). Эти шесть нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка называются уравнениями Пенлеве, а их решения называются трансцендентами Пенлеве. R {\displaystyle R}

Наиболее общая форма шестого уравнения была пропущена Пенлеве, но была открыта в 1905 году Ричардом Фуксом (сыном Лазаруса Фукса ), как дифференциальное уравнение, удовлетворяющее сингулярности уравнения Фукса второго порядка с 4 регулярными особыми точками на проективной прямой при деформациях, сохраняющих монодромию . Она была добавлена ​​в список Пенлеве Гамбье (1910). P 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}

Шази (1910, 1911) попытался распространить работу Пенлеве на уравнения более высокого порядка, найдя некоторые уравнения третьего порядка со свойством Пенлеве.

Список уравнений Пенлеве

Эти шесть уравнений, традиционно называемые уравнениями Пенлеве I–VI, выглядят следующим образом:

  • Я (Пенлеве):
    d 2 y d t 2 = 6 y 2 + t {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t}
  • II (Пенлеве):
    d 2 y d t 2 = 2 y 3 + t y + α {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha }
  • III (Пенлеве):
    d 2 y d t 2 = 1 y ( d y d t ) 2 − 1 t d y d t + 1 t ( α y 2 + β ) + γ y 3 + δ y {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {1}{t}}(\alpha y^{2}+\beta )+\gamma y^{3}+{\frac {\delta }{y}}}
  • IV (Гамбье):
    d 2 y d t 2 = 1 2 y ( d y d t ) 2 + 3 2 y 3 + 4 t y 2 + 2 ( t 2 − α ) y + β y {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+{\tfrac {3}{2}}y^{3}+4ty^{2}+2(t^{2}-\alpha )y+{\frac {\beta }{y}}}
  • V (Гамбье):
    d 2 y d t 2 = ( 1 2 y + 1 y − 1 ) ( d y d t ) 2 − 1 t d y d t + ( y − 1 ) 2 t 2 ( α y + β y ) + γ y t + δ y ( y + 1 ) y − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}\\\end{aligned}}}
  • VI (Р. Фукс):
    d 2 y d t 2 = 1 2 ( 1 y + 1 y − 1 + 1 y − t ) ( d y d t ) 2 − ( 1 t + 1 t − 1 + 1 y − t ) d y d t + y ( y − 1 ) ( y − t ) t 2 ( t − 1 ) 2 { α + β t y 2 + γ t − 1 ( y − 1 ) 2 + δ t ( t − 1 ) ( y − t ) 2 } {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left\{\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right\}\\\end{aligned}}}

Числа , , , являются комплексными константами. Перемасштабированием и можно выбрать два параметра для типа III и один параметр для типа V, так что эти типы на самом деле имеют только 2 и 3 независимых параметра. α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } δ {\displaystyle \delta } y {\displaystyle y} t {\displaystyle t}

Сингулярности

Особенности решений этих уравнений:

  • Точка , и ∞ {\displaystyle \infty }
  • Точка 0 для типов III, V и VI, и
  • Точка 1 для типа VI и
  • Возможно, некоторые подвижные столбы

Для типа I особенности представляют собой (подвижные) двойные полюса вычета 0, и все решения имеют бесконечное число таких полюсов в комплексной плоскости. Функции с двойным полюсом в имеют разложение в ряд Лорана z 0 {\displaystyle z_{0}}

( z − z 0 ) − 2 − z 0 10 ( z − z 0 ) 2 − 1 6 ( z − z 0 ) 3 + h ( z − z 0 ) 4 + z 0 2 300 ( z − z 0 ) 6 + ⋯ {\displaystyle (z-z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z-z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0})^{6}+\cdots }

сходящихся в некоторой окрестности (где — некоторое комплексное число). Расположение полюсов было подробно описано (Бутру 1913, 1914). Число полюсов в шаре радиуса растет примерно как константа, умноженная на . z 0 {\displaystyle z_{0}} h {\displaystyle h} R {\displaystyle R} R 5 / 2 {\displaystyle R^{5/2}}

Для типа II все сингулярности представляют собой (подвижные) простые полюса.

Дегенерации

Первые пять уравнений Пенлеве являются вырождениями шестого уравнения. Точнее, некоторые из уравнений являются вырождениями других согласно следующей диаграмме (см. Clarkson (2006), стр. 380), которая также дает соответствующие вырождения гипергеометрической функции Гаусса (см. Clarkson (2006), стр. 372)

      III Бессель
↗ {\displaystyle \nearrow } ↘ {\displaystyle \searrow }
VI Гаусс→В. КуммерII Эйри→Я Нет
↘ {\displaystyle \searrow } ↗ {\displaystyle \nearrow }
IV Эрмит–Вебер

Гамильтоновы системы

Все уравнения Пенлеве можно представить в виде гамильтоновых систем .

Пример: Если мы положим

q = y , p = y ′ + y 2 + t / 2 {\displaystyle \displaystyle q=y,\quad p=y^{\prime }+y^{2}+t/2}

тогда второе уравнение Пенлеве

y ′ ′ = 2 y 3 + t y + b − 1 / 2 {\displaystyle \displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2}

эквивалентна гамильтоновой системе

q ′ = ∂ H ∂ p = p − q 2 − t / 2 {\displaystyle \displaystyle q^{\prime }={\frac {\partial H}{\partial p}}=p-q^{2}-t/2}
p ′ = − ∂ H ∂ q = 2 p q + b {\displaystyle \displaystyle p^{\prime }=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b}

для гамильтониана

H = p ( p − 2 q 2 − t ) / 2 − b q . {\displaystyle \displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq.}

Симметрии

Преобразование Бэклунда — это преобразование зависимых и независимых переменных дифференциального уравнения, которое преобразует его в аналогичное уравнение. Все уравнения Пенлеве имеют дискретные группы преобразований Бэклунда, действующих на них, которые могут быть использованы для генерации новых решений из известных.

Пример типа I

Множество решений уравнения Пенлеве типа I

y ′ ′ = 6 y 2 + t {\displaystyle y^{\prime \prime }=6y^{2}+t}

на него действует симметрия 5-го порядка , где — корень пятой степени из 1. Существуют два решения, инвариантные относительно этого преобразования: одно с полюсом 2-го порядка в точке 0, а другое с нулем 3-го порядка в точке 0. y → ζ 3 y {\displaystyle y\to \zeta ^{3}y} t → ζ t {\displaystyle t\to \zeta t} ζ {\displaystyle \zeta }

Пример типа II

В гамильтоновом формализме уравнения Пенлеве типа II

y ′ ′ = 2 y 3 + t y + b − 1 / 2 {\displaystyle \displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2}

с

q = y , p = y ′ + y 2 + t / 2 {\displaystyle \displaystyle q=y,p=y^{\prime }+y^{2}+t/2}

два преобразования Беклунда задаются формулой

( q , p , b ) → ( q + b / p , p , − b ) {\displaystyle \displaystyle (q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)}

и

( q , p , b ) → ( − q , − p + 2 q 2 + t , 1 − b ) . {\displaystyle \displaystyle (q,p,b)\to (-q,-p+2q^{2}+t,1-b).}

Они оба имеют порядок 2 и порождают бесконечную диэдральную группу преобразований Бэклунда (которая на самом деле является аффинной группой Вейля ; см. ниже). Если то уравнение имеет решение ; применение преобразований Бэклунда порождает бесконечное семейство рациональных функций, которые являются решениями, такими как , , ... A 1 {\displaystyle A_{1}} b = 1 / 2 {\displaystyle b=1/2} y = 0 {\displaystyle y=0} y = 1 / t {\displaystyle y=1/t} y = 2 ( t 3 − 2 ) / t ( t 3 − 4 ) {\displaystyle y=2(t^{3}-2)/t(t^{3}-4)}

Окамото обнаружил, что пространство параметров каждого уравнения Пенлеве можно отождествить с подалгеброй Картана полупростой алгебры Ли , так что действия аффинной группы Вейля поднимаются до преобразований Бэклунда уравнений. Алгебры Ли для , , , , , являются 0, , , , , и . P I {\displaystyle P_{I}} P I I {\displaystyle P_{II}} P I I I {\displaystyle P_{III}} P I V {\displaystyle P_{IV}} P V {\displaystyle P_{V}} P V I {\displaystyle P_{VI}} A 1 {\displaystyle A_{1}} A 1 ⊕ A 1 {\displaystyle A_{1}\oplus A_{1}} A 2 {\displaystyle A_{2}} A 3 {\displaystyle A_{3}} D 4 {\displaystyle D_{4}}

Связь с другими областями

Одной из главных причин изучения уравнений Пенлеве является их связь с инвариантностью монодромии линейных систем с регулярными особенностями при изменении геометрического места полюсов. В частности, уравнение Пенлеве VI было открыто Ричардом Фуксом из-за этой связи. Эта тема описана в статье об изомонодромной деформации .

Уравнения Пенлеве являются редукциями интегрируемых уравнений в частных производных ; см. MJ Ablowitz и PA Clarkson (1991).

Все уравнения Пенлеве являются редукциями самодуальных уравнений Янга–Миллса ; см. Ablowitz, Chakravarty и Halburd (2003).

Трансценденты Пенлеве появляются в теории случайных матриц в формуле для распределения Трейси–Уидома , двумерной модели Изинга , асимметричном простом процессе исключения и в двумерной квантовой гравитации.

Уравнение Пенлеве VI появляется в двумерной конформной теории поля : ему подчиняются комбинации конформных блоков в обоих точках и , где — центральный заряд алгебры Вирасоро . c = 1 {\displaystyle c=1} c = ∞ {\displaystyle c=\infty } c {\displaystyle c}

Примечания

  1. ^ Конте, Роберт (1999). Конте, Роберт (ред.). Собственность Пенлеве . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 105. дои : 10.1007/978-1-4612-1532-5. ISBN 978-0-387-98888-7.

Ссылки

  • Абловиц, М. (2001) [1994], "Уравнения типа Пенлеве", Энциклопедия математики , EMS Press
  • Ablowitz, MJ; Clarkson, PA (1991), Солитоны, нелинейные эволюционные уравнения и обратная задача рассеяния , London Mathematical Society Lecture Notes Series, т. 149, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38730-9, г-н  1149378
  • Ablowitz, MJ; Chakravarty, S.; RG, Halburd (2003), "Интегрируемые системы и редукции самодуальных уравнений Янга–Миллса", Журнал математической физики , 44 (8): 3147– 3173, Bibcode : 2003JMP....44.3147A, doi : 10.1063/1.1586967, S2CID  121180295
  • Чази, Дж. (1910), «Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possède une coupure essentielle mobile», CR Acad. наук. , 150 , Париж: 456–458 .
  • Чази, Жан (1911), «Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre superieur dont l'intégrale générale a ses point Critiques fixes», Acta Math. , 33 : 317–385 , doi : 10.1007/BF02393131
  • Кларксон, П. А. (2006), «Уравнения Пенлеве — нелинейные специальные функции», Ортогональные многочлены и специальные функции , Lecture Notes in Math., т. 1883, Берлин: Springer, стр. 331–411, doi :10.1007/978-3-540-36716-1_7, ISBN 978-3-540-31062-4, г-н  2243533
  • Кларксон, П. А. (2010), «Трансценденты Пенлеве», в Олвер, Фрэнк В. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
  • Роберт М.М. Конте: Справочник Пенлеве , Springer, ISBN 978-9400796270, (2014).
  • Роберт М. М. Конте: Справочник Пенлеве , Springer; 2-е изд., ISBN 978-3030533397, (2022).
  • Дэвис, Гарольд Т. (1962), Введение в нелинейные интегральные и дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-60971-5 См. разделы 7.3, главу 8 и приложения.
  • Фокас, Афанасий С .; Итс, Александр Р.; Капаев, Андрей А.; Новокшенов, Виктор Ю. (2006), Трансценденты Пенлеве: Подход Римана–Гильберта , Математические обзоры и монографии, т. 128, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3651-4, г-н  2264522
  • Фукс, Ришар (1905), «Sur quelques équations différentielles linéaires du второго порядка», Comptes Rendus , 141 : 555–558
  • Гамбье, Б. (1910), «Sur les équations différentielles du Second ordre et du Premier Degree dont l'intégrale générale est à Points Critiques Fixes», Acta Math. , 33 : 1–55 , doi : 10.1007/BF02393211.
  • Громак, Валерий И.; Лайн, Илпо; Шимомура, Шун (2002), Дифференциальные уравнения Пенлеве в комплексной плоскости , de Gruyter Studies in Mathematics, т. 28, Берлин: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-017379-6, МР  1960811
  • Инс, Эдвард Л. (1956), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Довер, ISBN 0-486-60349-0
  • Мартин А. Гест, Клаус Хертлинг: Пенлеве III: пример геометрии мероморфных соединений , Springer, LNM, т. 2198, ISBN 9783319665269, (2017).
  • Александр Р. Итс, Виктор Ю. Новокшенов: Метод изомонодромной деформации в теории уравнений Пенлеве , Springer, LNM 1191, ISBN 9783540398233, (1986).
  • Ивасаки, Кацунори; Кимура, Хиронобу; Шимомура, Сюн; Ёсида, Масааки (1991), От Гаусса до Пенлеве , Аспекты математики, E16, Брауншвейг: Фридр. Вьюег и Сон, ISBN 978-3-528-06355-9, МР  1118604
  • Нисиока, Кейджи (1988), «Заметка о трансцендентности первого трансцендента Пенлеве», Nagoya Mathematical Journal , 109 : 63–67 , doi : 10.1017/s0027763000002762 , ISSN  0027-7630, MR  0931951
  • Noumi, Masatoshi (2004), Уравнения Пенлеве через симметрию , Переводы математических монографий, т. 223, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3221-9, МР  2044201
  • Ноуми, Масатоши; Ямада, Ясухико (2004), «Симметрии в уравнениях Пенлеве», Sugaku Expositions , 17 (2): 203–218 , ISSN  0898-9583, MR  1816984
  • Пенлеве, П. (1900), «Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est Uniforme» (PDF) , Bull. Соц. Математика. о. , 28 : 201–261 , doi : 10.24033/bsmf.633
  • Пенлеве, П. (1902), «Sur les équations différentielles du второго порядка и высшего порядка не l'intégrale générale est Uniforme», Acta Math. , 25 : 1– 85, doi : 10.1007/BF02419020
  • Пикард, Э. (1889), «Мемуар о теории алгебраических функций двух переменных» (PDF) , J. Math. Приложение Pures. , 5 : 135–319​
  • Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Уравнение Пенлеве", Энциклопедия математики , Издательство EMS
  • Трейси, Крейг; Видом, Гарольд (2011), «Функции Пенлеве в статистической физике», Публикации Научно-исследовательского института математических наук , 47 : 361–374 , arXiv : 0912.2362 , doi : 10.2977/PRIMS/38, S2CID  3460621
  • Умемура, Хироси (1989), «О неприводимости дифференциальных уравнений Пенлеве», Sugaku Expositions , 2 (2): 231– 252, MR  0944888
  • Умемура, Хироси (1998), «Уравнения Пенлеве и классические функции», Sugaku Expositions , 11 (1): 77– 100, ISSN  0898-9583, MR  1365704
  • Кларксон, П.А. Трансценденты Пенлеве, Глава 32 Цифровой библиотеки математических функций NIST
  • Джоши, Налини Что это за штука, которая называется Пэнлеве?
  • Такасаки, Канехиса Пенлеве. Уравнения.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Трансценденты Пэнлеве». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Свойство Пэнлеве". MathWorld .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Painlevé_transcendents&oldid=1268543136"