Интегрируемая система Гарнье

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Февраль 2023 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математической физике интегрируемая система Гарнье , также известная как классическая модель Годена , — это классическая механическая система, открытая Рене Гарнье в 1919 году путем принятия « упрощения Пенлеве » или «автономного предела» уравнений Шлезингера . ^{[1] [2]} Это классический аналог квантовой модели Годена, созданной Мишелем Годеном ^[3] (аналогично уравнения Шлезингера являются классическим аналогом уравнений Книжника–Замолодчикова ). Классические модели Годена являются интегрируемыми .

Они также являются частным случаем интегрируемых систем Хитчина , когда алгебраическая кривая , на которой определена теория, является сферой Римана , а система слабо разветвлена .

Уравнения Шлезингера представляют собой систему дифференциальных уравнений для матричнозначных функций , заданную формулой${\displaystyle n+2}$${\ displaystyle A_ {i}: \ mathbb {C} ^ {n + 2} \ rightarrow \ mathrm {Mat} (m, \ mathbb {C})}$$${\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}$$$${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$$

«Автономный предел» получается путем замены зависимости в знаменателе константами : Это система Гарнье в форме, первоначально выведенной Гарнье.${\displaystyle \лямбда _{я}}$${\displaystyle \альфа _{я}}$${\displaystyle \альфа _{n+1}=0,\альфа _{n+2}=1}$$${\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}$$$${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$$

Существует формулировка системы Гарнье как классической механической системы, классической модели Годена, которая квантуется в квантовую модель Годена и уравнения движения которой эквивалентны системе Гарнье. В этом разделе описывается эта формулировка. ^[4]

Как и любая классическая система, модель Годена задается многообразием Пуассона, называемым фазовым пространством , и гладкой функцией на многообразии, называемой гамильтонианом .${\displaystyle М}$

Пусть — квадратичная алгебра Ли , то есть алгебра Ли с невырожденной инвариантной билинейной формой . Если — сложная и простая , то это можно принять за форму Киллинга .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Двойственное , обозначаемое , можно преобразовать в линейную пуассонову структуру с помощью скобки Кириллова–Костанта .${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Фазовое пространство классической модели Годена тогда представляет собой декартово произведение копий для положительного целого числа.${\displaystyle М}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle N}$

С каждой из этих копий связана точка в , обозначаемая и упоминаемая как сайты .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}}$

Зафиксировав базис алгебры Ли со структурными константами , получим функции с на фазовом пространстве, удовлетворяющие скобке Пуассона${\displaystyle \{Я^{а}\}}$ ${\displaystyle f_{c}^{ab}}$${\displaystyle X_{(r)}^{a}}$${\displaystyle r=1,\cdots ,N}$$${\displaystyle \{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.}$$

Они, в свою очередь, используются для определения -значных функций с неявным суммированием .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle X^{(r)}=\kappa _{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}}$$

Далее они используются для определения матрицы Лакса , которая также является значимой функцией на фазовом пространстве, которая, кроме того, мероморфно зависит от спектрального параметра и является постоянным элементом в , в том смысле, что она коммутирует по Пуассону (имеет исчезающую скобку Пуассона) со всеми функциями.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \лямбда}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda)=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}} }+\Омега ,}$$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(Квадратичный) гамильтониан — это , который на самом деле является функцией на фазовом пространстве, которая дополнительно зависит от спектрального параметра . Это можно записать как с и$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda)={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda),{\mathcal {L}}(\lambda ))}$$${\displaystyle \лямбда}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda)=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}} (\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),}$$$${\displaystyle \Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\ лямбда _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}$$

Из соотношения скобок Пуассона путем варьирования и должно быть верно, что 's, 's и все находятся в инволюции. Можно показать, что 's и Пуассон коммутируют со всеми функциями на фазовом пространстве, но 's в общем случае не коммутируют. Это сохраняющиеся заряды в инволюции для целей интегрируемости Арнольда-Лиувилля .$${\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$${\displaystyle \Delta _{r}}$${\displaystyle \Delta _{\infty }}$${\displaystyle \Delta _{r}}$${\displaystyle \Delta _{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$

Можно показать , что матрица Лакса удовлетворяет уравнению Лакса, когда временная эволюция задается любым из гамильтонианов , а также любой их линейной комбинацией.$${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$

Квадратичный Казимир дает соответствие квадратичному инвариантному полиному Вейля для алгебры Ли , но на самом деле гораздо больше коммутирующих сохраняющихся зарядов можно сгенерировать с помощью -инвариантных полиномов. Эти инвариантные полиномы можно найти с помощью изоморфизма Хариша-Чандры в случае является сложным, простым и конечным.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Некоторые интегрируемые классические теории поля могут быть сформулированы как классические аффинные модели Годена, где — аффинная алгебра Ли . Такие классические теории поля включают в себя основную киральную модель , косетные сигма-модели и аффинную теорию поля Тоды . ^[5] Таким образом, аффинные модели Годена можно рассматривать как «главную теорию» для интегрируемых систем, но наиболее естественно формулируются в гамильтоновом формализме, в отличие от других главных теорий, таких как четырехмерная теория Черна–Саймонса или антисамодвойственная теория Янга–Миллса .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Многое известно об интегрируемой структуре квантовых моделей Годена . В частности, Фейгин , Френкель и Решетихин изучали их с помощью теории алгебр вершинных операторов , показывая связь моделей Годена с разделами математики, включая уравнения Книжника–Замолодчикова и геометрическое соответствие Ленглендса . ^[6]