2 22 соты
2 22 соты
(нет изображения)
ТипРавномерная тесселяция
символ Коксетера2 22
Символ Шлефли{3,3,3 2,2 }
Диаграмма Коксетера
6-ти гранный тип2 21
5-ти гранные типы2 11
{3 4 }
4-х сторонний тип{3 3 }
Тип ячейки{3,3}
Тип лица{3}
Фигура лица{3}×{3} дуопризма
Крайняя фигура{3 2,2 }
Вершинная фигура1 22
Группа Коксетера Э ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}} , [[3,3,3 2,2 ]]
Характеристикивершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

В геометрии 2 22 соты — это равномерная мозаика шестимерного евклидова пространства. Она может быть представлена ​​символом Шлефли { 3,3,3 2,2 }. Она состоит из 2 21 граней и имеет вершинную фигуру 1 22 с 54 2 21 многогранниками вокруг каждой вершины.

Расположение его вершин представляет собой решетку E6 , а корневая система — группу Ли E6 , поэтому его также можно назвать сотами E6 .

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 7 гиперплоских зеркал в 6-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера–Дынкина ,.

Удаление узла на конце одной из ветвей с двумя узлами оставляет 2 21 , ее единственный тип грани ,

Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это дает 1 22 ,.

Реберная фигура является вершинной фигурой вершинной фигуры, здесь являющейся бипрямоугольным 5-симплексом , t 2 {3 4 },.

Фигура грани является вершинной фигурой фигуры ребра, в данном случае это треугольная дуопризма , {3}×{3},.

Поцелуй номер

Каждая вершина этой мозаики является центром 5-сферы в самой плотной известной упаковке в 6 измерениях с числом соприкосновения 72, представленным вершинами ее вершинной фигуры 1 22 .

Э6решетка

Расположение вершин сот 2 22 называется решеткой E 6 . [1]

Решетка E 6 2 с симметрией [[3,3,3 2,2 ]] может быть построена путем объединения двух решеток E 6 :

∪

Решетка E 6 * [2] (или E 6 3 ) с симметрией [[3,3 2,2,2 ]]. Ячейка Вороного решетки E 6 * — это выпрямленный многогранник 1 22 , а мозаика Вороного — это битусрезанные соты 222. [3] Она построена тремя копиями вершин решетки E 6 , по одной из каждой из трех ветвей диаграммы Коксетера.

∪∪= двойственный к.

Геометрическое складывание

Группа связана с геометрическим сворачиванием , поэтому эти соты можно спроецировать в 4-мерные 16-ячеистые соты . Э ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}} Ф ~ 4 {\displaystyle {\тильда {F}}_{4}}

Э ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}} Ф ~ 4 {\displaystyle {\тильда {F}}_{4}}
{3,3,3 2,2 }{3,3,4,3}

Сота 2 22 является одной из 127 однородных сот (39 уникальных) с симметрией. 24 из них имеют двойную симметрию [[3,3,3 2,2 ]] с 2 одинаково окольцованными ветвями, а 7 имеют шестеричную (3 ! ) симметрию [[3,3 2,2,2 ]] с идентичными кольцами на всех 3 ветвях. В семействе нет правильных сот, поскольку его диаграмма Коксетера является нелинейным графом, но 2 22 и биректифицированный 222 являются изотопными , с только одним типом граней : 2 21 и ректифицированный 1 22 многогранники соответственно. Э ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}

СимметрияЗаказСоты
[3 2,2,2 ]Полный

8:,,,,,,,.

[[3,3,3 2,2 ]]×2

24:,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,.

[[3,3 2,2,2 ]]×6

7:,,,,,,.

Двукратно исправленный 222соты

Биректифицированный 2 22 соты
(нет изображения)
ТипРавномерная тесселяция
символ Коксетера0 222
Символ Шлефли{3 2,2,2 }
Диаграмма Коксетера
6-ти гранный тип0 221
5-ти гранные типы0 22
0 211
4-х сторонний тип0 21
24-ячеечный 0 111
Тип ячейкиТетраэдр 0 20
Октаэдр 0 11
Тип лицаТреугольник 0 10
Вершинная фигураПропризма {3}×{3}×{3}
Группа Коксетера6× , [[3,3 2,2,2 ]] Э ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}
Характеристикивершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

Биректифицированные соты 2 22 , выпрямил 1 22 грани многогранника,, и пропризму {3}×{3}×{3} вершинной фигуры .

Его грани центрированы относительно вершин решетки E6*, как:

∪∪

Строительство

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Коксетера–Дынкина ,.

Вершинная фигура определяется путем удаления окольцованного узла и окольцования соседнего узла. Это создает пропризу {3}×{3}×{3},.

Удаление узла на конце одной из 3-узловых ветвей оставляет выпрямленный 1 22 , его единственный тип грани ,.

Удаление второго конечного узла определяет 2 типа 5-граней: двойное спрямление 5-симплекса , 0 22 и двойное спрямление 5-ортоплекса , 0 211 .

Удаление третьего конечного узла определяет 2 типа 4-граней: выпрямленная 5-ячеистая , 0 21 , и 24-ячеистая , 0 111 .

Удаление четвертого конечного узла определяет 2 типа ячеек: октаэдр , 0 11 , и тетраэдр , 0 20 .

к22многогранники

Сота 2 22 является четвертой в размерной серии однородных многогранников, выраженной Коксетером как серия k 22. Последняя представляет собой паракомпактную гиперболическую соту 3 22 . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершинной фигуры .

k 22 фигур в n измерениях
КосмосКонечныйЕвклидовГиперболический
н45678

Группа Коксетера		А 2 А 2Е 6 Э ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}} =Э 6 + Т ¯ 7 {\displaystyle {\bar {T}}_{7}} =Э 6 ++

Диаграмма Коксетера
Симметрия[[3 2,2,-1 ]][[3 2,2,0 ]][[3 2,2,1 ]][[3 2,2,2 ]][[3 2,2,3 ]]
Заказ721440103,680∞
График∞∞
Имя−1 220 221 222223 22

Соты 2 22 являются третьими в другой размерной серии 2 2k .

2 2k фигур n измерений
КосмосКонечныйЕвклидовГиперболический
н45678

Группа Коксетера		А 2 А 2А 5Е 6 Э ~ 6 {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}} =Э 6 +Е 6 ++

Диаграмма Коксетера
График∞∞
Имя2 2,-12 202 21222223

Примечания

  1. ^ «Решетка E6».
  2. ^ «Решетка E6».
  3. ^ Ячейки Вороного решеток E6* и E7* Архивировано 30 января 2016 г. на Wayback Machine , Эдвард Первин

Ссылки

  • Коксетер Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников) 
  • Правильные многогранники Коксетера (1963), Macmillan Company
    • Правильные многогранники , Третье издание, (1973), издание Дувра, ISBN 0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп) 
  • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook 
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • RT Worley, Область Вороного E6* . J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 43 (1987), 268–278.
  • Conway, John H .; Sloane, Neil JA (1998). Упаковки сфер, решетки и группы ((3-е изд.) ред.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.стр. 125-126, 8.3 6-мерные решетки: E6 и E6*
  • Клитцинг, Ричард. "6D Hexacombs x3o3o3o3o *c3o3o - jakoh".
  • Клитцинг, Ричард. "6D Hexacombs o3o3x3o3o *c3o3o - ramoh".
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты размерностью 2–9
КосмосСемья А ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}} С ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}} Б ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}} Д ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}} Г ~ 2 {\displaystyle {\тильда {G}}_{2}} / / Ф ~ 4 {\displaystyle {\тильда {F}}_{4}} Э ~ н − 1 {\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
Э 2Равномерная укладка плитки0 [3]δ 3hδ 3qδ 3Шестиугольный
Е 3Равномерные выпуклые соты0 [4]δ 4hδ 4qδ 4
Е 4Равномерный 4-сотовый0 [5]δ 5hδ 5qδ 524-ячеечные соты
Э 5Равномерный 5-сотовый0 [6]δ 6hδ 6qδ 6
Е 6Равномерный 6-сотовый0 [7]δ 7hδ 7qδ 7222
Е 7Равномерный 7-сотовый0 [8]δ 8hδ 8qδ 81 33 • 3 31
Е 8Равномерный 8-сотовый0 [9]δ 9hδ 9qδ 91 52 • 2 51 • 5 21
Е 9Равномерный 9-сотовый0 [10]δ 10hδ 10qδ 10
Е 10Равномерный 10-сотовый0 [11]δ 11hδ 11qδ 11
Э н -1Равномерный ( n -1)- соты0 [ н ]δ нhδ nqδ n1 к2 • 2 к1 • к 21
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=2_22_honeycomb&oldid=1223844724"