пара Гельфанда

В математике пара Гельфанда — это пара ( G , K  ), состоящая из группы G и подгруппы K (называемой подгруппой Эйлера группы G ), которая удовлетворяет определенному свойству относительно ограниченных представлений . Теория пар Гельфанда тесно связана с темой сферических функций в классической теории специальных функций и с теорией римановых симметрических пространств в дифференциальной геометрии . В широком смысле, теория существует для того, чтобы абстрагировать от этих теорий их содержание в терминах гармонического анализа и теории представлений .

Когда G — конечная группа , простейшее определение, грубо говоря, состоит в том, что ( K , K  )-двойные смежные классы в G коммутируют. Точнее, алгебра Гекке , алгебра функций на G , инвариантных относительно переноса в обе стороны на K , должна быть коммутативной для свертки на G.

В общем случае определение пары Гельфанда примерно таково: ограничение на K любого неприводимого представления группы G содержит тривиальное представление K с кратностью не более 1. В каждом случае следует указывать класс рассматриваемых представлений и значение слова «содержит».

В каждой области класс представлений и определение содержания для представлений немного отличаются. Явные определения нескольких таких случаев приведены здесь.

Если G — конечная группа, то следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных функций на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого неприводимого представления π группы G пространство π K ^K - инвариантных векторов в π не более чем одномерно.
• Для любого неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1, где C обозначает тривиальное представление .
• Перестановочное представление группы G на смежных классах группы K не имеет кратности, то есть оно разлагается в прямую сумму различных абсолютно неприводимых представлений в нулевой характеристике .
• Централизирующая алгебра ( алгебра Шура ) перестановочного представления коммутативна.
• ( G / N , K / N ) — пара Гельфанда, где N — нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в K .

Если G — компактная топологическая группа , то следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных непрерывных мер с компактным носителем на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого непрерывного , локально выпуклого , неприводимого представления π группы G пространство π ^K K - инвариантных векторов в π не более чем одномерно.
• Для любого непрерывного, локально выпуклого, неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.
• Представление L ² ( G / K ) группы G не имеет кратности, то есть является прямой суммой различных унитарных неприводимых представлений.

Когда G — группа Ли , а K — компактная подгруппа , следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных непрерывных мер с компактным носителем на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Алгебра D ( G / K ) ^K -инвариантных дифференциальных операторов на G / K является коммутативной .
• Для любого непрерывного , локально выпуклого , неприводимого представления π группы G пространство π ^K K - инвариантных векторов в π не более чем одномерно.
• Для любого непрерывного, локально выпуклого, неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.
• Представление L ² ( G / K ) группы G не имеет кратности, то есть является прямым интегралом различных унитарных неприводимых представлений.

Для классификации таких пар Гельфанда см. ^[1].

Классическими примерами таких пар Гельфанда являются ( G , K ), где G — редуктивная группа Ли , а K — максимальная компактная подгруппа .

Когда G — локально компактная топологическая группа , а K — компактная подгруппа, следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных непрерывных мер с компактным носителем на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π группы G пространство π ^K K - инвариантных векторов в π не более чем одномерно .
• Для любого непрерывного, локально выпуклого, неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.
• Представление L ² ( G / K ) группы G не имеет кратности, то есть является прямым интегралом различных унитарных неприводимых представлений.

В этом случае G имеет разложение Ивасавы – Моно , а именно G = KP для некоторой аменабельной подгруппы P группы G. ^[2] Это абстрактный аналог разложения Ивасавы полупростых групп Ли .

Когда G — группа Ли , а K — замкнутая подгруппа , пара ( G , K ) называется обобщенной парой Гельфанда , если для любого неприводимого унитарного представления π группы G в гильбертовом пространстве размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1, где π ^∞ обозначает подпредставление гладких векторов .

Когда G — редуктивная группа над локальным полем , а K — замкнутая подгруппа, в литературе встречаются три (возможно, неэквивалентных) понятия пары Гельфанда:

( GP1 ) Для любого неприводимого допустимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.

( GP2 ) Для любого неприводимого допустимого представления π группы G имеем , где обозначает гладкое сопряженное .${\textstyle \dim \operatorname {Hom} _{K}(\pi,\mathbf {C})\cdot \dim \operatorname {Hom} _{K}({\tilde {\pi }},\mathbf { C} )\leq 1}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}}$

( GP3 ) Для любого неприводимого унитарного представления π группы G в гильбертовом пространстве размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.

Здесь допустимое представление — это обычное понятие допустимого представления , когда локальное поле неархимедово . Когда локальное поле архимедово, допустимое представление означает гладкое представление Фреше умеренного роста, такое, что соответствующий модуль Хариш-Чандры является допустимым .

Если локальное поле архимедово, то GP3 совпадает с обобщенным свойством Гельфанда, определенным в предыдущем случае.

Очевидно, GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3 .

Пара ( G , K ) называется сильной парой Гельфанда , если пара ( G × K , Δ K ) является парой Гельфанда, где Δ K ≤ G × K — диагональная подгруппа: . Иногда это свойство также называют свойством кратности один .${\textstyle \{(k,k)\in G\times K:k\in K\}}$

Каждый из вышеприведенных случаев можно адаптировать к сильным парам Гельфанда. Например, пусть G — конечная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — сильная пара Гельфанда.
• Алгебра функций на G, инвариантных относительно сопряжения с помощью K (с умножением, определяемым сверткой), коммутативна.
• Для любого неприводимого представления π группы G и τ группы K пространство Hom _K ( τ , π ) не более чем одномерно.
• Для любого неприводимого представления π группы G и τ группы K пространство Hom _K ( π , τ ) не более чем одномерно.

В этом случае существует классический критерий Гельфанда для пары ( G , K ), чтобы быть гельфандовой: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G такой, что любой двойной смежный класс ( K , K ) является σ -инвариантным. Тогда пара ( G , K ) является гельфандовской парой.

Этот критерий эквивалентен следующему: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G такой, что любая функция на G , инвариантная относительно как правых, так и левых сдвигов на K, является σ -инвариантной. Тогда пара ( G , K ) является парой Гельфанда.

В этом случае существует критерий Гельфанда и Каждана для пары ( G , K ), удовлетворяющей GP2 . Предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G такой, что любое ( K , K )-двойное инвариантное распределение на G является σ -инвариантным. Тогда пара ( G , K ) удовлетворяет GP2 (см. ^{[3] [4] [5]} ).

Если приведенное выше утверждение справедливо только для положительно определенных распределений, то пара удовлетворяет GP3 (см. следующий случай).

Свойство GP1 часто следует из GP2 . Например, это справедливо, если существует инволютивный антиавтоморфизм G , сохраняющий K и сохраняющий каждый замкнутый класс сопряженности. Для G = GL( n ) транспозиция может служить такой инволюцией.

В этом случае существует следующий критерий того, что пара ( G , K ) является обобщенной парой Гельфанда. Предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G такой, что любое инвариантное K × K положительно определенное распределение на G является σ -инвариантным. Тогда пара ( G , K ) является обобщенной парой Гельфанда (см. ^[6] ).

Все вышеперечисленные критерии можно превратить в критерии сильных пар Гельфанда , заменив двустороннее действие K × K на сопряженное действие K.

Пара ( G , K ) называется скрученной парой Гельфанда относительно характера χ группы K , если свойство Гельфанда выполняется при замене тривиального представления характером χ. Например, в случае, когда K компактно, это означает, что размерность Hom _K ( π , χ) меньше или равна 1. Критерий для пар Гельфанда можно адаптировать к случаю скрученных пар Гельфанда. ^{[ необходима цитата ]}

Свойство Гельфанда часто выполняется симметричными парами . Пара ( G , K ) называется симметричной парой , если существует инволютивный автоморфизм θ группы G такой, что K является объединением связных компонент группы θ -инвариантных элементов: G ^θ .

Если G — связная редуктивная группа над R и K  =  G ^θ — компактная подгруппа, то ( G , K ) — пара Гельфанда. Пример: G  = GL( n , R ) и K  = O( n , R ), подгруппа ортогональных матриц .

В общем случае, это интересный вопрос, когда симметрическая пара редуктивной группы над локальным полем имеет свойство Гельфанда. Для исследования симметрических пар ранга один см. ^{[7] [8]}

Примером симметричной пары Гельфанда высокого ранга является . Это было доказано в ^[9] для неархимедовых локальных полей и позднее в ^[10] для всех локальных полей нулевой характеристики .${\textstyle ({\text{GL}}(n+k),{\text{GL}}(n)\times {\text{L}}(k))}$

Более подробную информацию по этому вопросу для симметричных пар высокого ранга см. в ^[11].

В контексте алгебраических групп аналоги пар Гельфанда называются сферическими парами . А именно, пара ( G , K ) алгебраических групп называется сферической парой, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Существует открытый ( B , K )-двойной смежный класс в G , где B — подгруппа Бореля группы G .
• В G существует конечное число ( B , K )-двойных смежных классов .
• Для любого алгебраического представления π группы G имеем .${\displaystyle {\text{dim}}\ \pi ^{K}\leq 1}$

В этом случае пространство G / H называется сферическим пространством .

Предполагается , что любая сферическая пара ( G , K ) над локальным полем удовлетворяет следующей слабой версии свойства Гельфанда: для любого допустимого представления π группы G пространство Hom _K ( π , C ) конечномерно; более того, граница для этой размерности не зависит от π . Эта гипотеза доказана для большого класса сферических пар, включая все симметричные пары. ^[12]

Пары Гельфанда часто используются для классификации неприводимых представлений следующим образом:

Пусть ( G , K ) — пара Гельфанда. Неприводимое представление G называется K -отличенным, если Hom _K ( π , C ) одномерно. Представление Ind^Г
_К( C ) является моделью для всех K -различенных представлений, то есть любое K -различенное представление появляется там с кратностью ровно 1. Аналогичное понятие существует для скрученных пар Гельфанда.

Пример: Если G — редуктивная группа над локальным полем, а K — ее максимальная компактная подгруппа, то K -отличающиеся представления называются сферическими, и такие представления можно классифицировать с помощью соответствия Сатаке. Понятие сферического представления лежит в основе понятия модуля Хариш-Чандры .

Пример: Если G — расщепляемая редуктивная группа над локальным полем, а K — ее максимальная унипотентная подгруппа, то пара ( G , K ) является скрученной парой Гельфанда относительно любого невырожденного характера ψ (см. ^{[3] [13]} ). В этом случае K -различимые представления называются генерическими (или невырожденными) и их легко классифицировать. Почти любое неприводимое представление является генерическим. Единственное (с точностью до скаляра) вложение генерического представления в Ind^Г
_К( ψ ) называется моделью Уиттекера .

В случае G = GL( n ) существует более тонкая версия приведенного выше результата, а именно, существует конечная последовательность подгрупп K _i и характеров, такая что ( G , K _i ) является скрученной парой Гельфанда относительно и любое неприводимое унитарное представление является K _{i ,} выделенным ровно для одного i (см. ^{[14] [15]} ).${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle \psi _{i}}$

Пары Гельфанда можно также использовать для построения баз неприводимых представлений.

Предположим, что у нас есть последовательность такая, что является сильной парой Гельфанда. Для простоты предположим, что G _n компактно. Тогда это дает каноническое разложение любого неприводимого представления G _n на одномерные подпредставления. Когда G _n = U( n ) (унитарная группа), эта конструкция называется базисом Гельфанда–Цейтлина. Поскольку представления U( n ) совпадают с алгебраическими представлениями GL( n ), мы также получаем базис любого алгебраического неприводимого представления GL( n ). Однако построенный базис не является каноническим, поскольку он зависит от выбора вложений .${\textstyle \{1\}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{n}}$${\textstyle (G_{i},G_{i-1})}$${\textstyle U(i)\subset U(i+1)}$

Более позднее использование пар Гельфанда — для разделения периодов автоморфных форм.

Пусть G — редуктивная группа, определенная над глобальным полем F , и пусть K — алгебраическая подгруппа G. Предположим, что для любого места F пара ( G , K ) является парой Гельфанда над пополнением . Пусть m — автоморфная форма над G , тогда ее H -период распадается как произведение локальных множителей (т.е. множителей, которые зависят только от поведения m в каждом месте ).${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \nu }$

Теперь предположим, что нам дано семейство автоморфных форм с комплексным параметром  s . Тогда период этих форм является аналитической функцией, которая распадается на произведение локальных множителей. Часто это означает, что эта функция является некоторой L-функцией , и это дает аналитическое продолжение и функциональное уравнение для этой L-функции.

Обычно эти периоды не сходятся, и их следует упорядочить. ^{[ необходима цитата ]}

Возможный подход к теории представлений состоит в том, чтобы рассматривать теорию представлений группы G как гармонический анализ на группе G относительно двустороннего действия G × G. Действительно, знание всех неприводимых представлений G эквивалентно знанию разложения пространства функций на G как представления G × G. При таком подходе теория представлений может быть обобщена путем замены пары ( G × G , G ) любой сферической парой ( G , K ). Тогда мы придем к вопросу о гармоническом анализе на пространстве G / K относительно действия G.

Теперь свойство Гельфанда для пары ( G , K ) является аналогом леммы Шура .

Используя этот подход, любую концепцию теории представлений можно обобщить на случай сферической пары. Например, формула относительного следа получается из формулы следа с помощью этой процедуры.

Вот несколько распространенных примеров пар Гельфанда:

• ${\displaystyle ({\text{Sym}}(n+1),\ {\text{Sym}}(n))}$, симметрическая группа, действующая на n +1 точек, и стабилизатор точек, который естественно изоморфен на n точках.
• ${\displaystyle ({\text{AGL}}(n,q),\ {\text{GL}}(n,q))}$, аффинная (общая линейная) группа и стабилизатор точки, который естественно изоморфен общей линейной группе .

Если ( G , K ) — пара Гельфанда, то ( G / N , K / N ) — пара Гельфанда для любой G - нормальной подгруппы N из K . Для многих целей достаточно рассмотреть K без любых таких нетождественных нормальных подгрупп. Действие G на смежных классах K является, таким образом, точным, поэтому затем рассматриваются группы перестановок G со стабилизаторами точек K . Быть парой Гельфанда эквивалентно для любого χ из Irr( G ). Поскольку по взаимности Фробениуса и является характером действия перестановки, группа перестановок определяет пару Гельфанда тогда и только тогда, когда характер перестановки является так называемым характером перестановки без кратности . Такие характеры перестановки без кратности были определены для спорадических групп в (Breuer & Lux 1996).${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]\leq 1}$${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]=[1\uparrow _{K}^{G},\chi ]}$${\displaystyle 1\uparrow _{K}^{G}}$

Это приводит к классу примеров конечных групп с парами Гельфанда: 2-транзитивные группы . Группа перестановок G является 2-транзитивной , если стабилизатор K точки действует транзитивно на оставшиеся точки. В частности, G, симметрическая группа на n +1 точках, и K, симметрическая группа на n точках, образуют пару Гельфанда для каждого n  ≥ 1. Это следует из того, что характер 2-транзитивного действия перестановки имеет вид 1+ χ для некоторого неприводимого характера χ и тривиального характера  1 (Isaacs 1994, стр. 69).

Действительно, если G — транзитивная группа подстановок, стабилизатор точки K которой имеет не более четырех орбит (включая тривиальную орбиту, содержащую только стабилизированную точку), то ее кольцо Шура коммутативно и ( G , K ) является парой Гельфанда (Виландт 1964, стр. 86). Если G — примитивная группа степени, вдвое большей простой, со стабилизатором точки K , то снова ( G , K ) является парой Гельфанда (Виландт 1964, стр. 97).

Пары Гельфанда (Sym( n ), K ) были классифицированы в (Saxl 1981). Грубо говоря, K должна содержаться как подгруппа малого индекса в одной из следующих групп, если n не меньше 18:

• Симметрия( n − k ) × Симметрия( k )
• Sym( n /2) wr Sym(2), Sym(2) wr Sym( n /2) для четных n ^{[ требуется пояснение ]}
• Sym( n − 5) × AGL(1,5)
• Симметрия( n − 6) × ПГЛ(2,5)
• Sym( n − 9) × PΓL(2,8)

Также были исследованы пары Гельфанда для классических групп.

• (ГЛ( n , R ), O( n , R ))
• (ГЛ( н , С ), У( н ))
• (O( n  +  k , R ), O( n , R ) × O( k , R ))
• (U( n  +  k ), U( n ) × U( k ))
• ( G , K ) где G — редуктивная группа Ли , а K — максимальная компактная подгруппа

Пусть F — локальное поле нулевой характеристики.

• (SL( n  + 1, F ), GL( n , F )) для n > 5
• (Sp(2 n  + 2, F ), Sp(2 n , F )) × Sp(2, F )) для n > 4
• (SO( V ⊕ F ), SO( V )), где V — векторное пространство над F с невырожденной квадратичной формой

Пусть F — локальное поле нулевой характеристики. Пусть G — редуктивная группа над F. Ниже приведены примеры симметричных пар Гельфанда высокого ранга:

• ( G × G , Δ G ), следует из леммы Шура
• (GL( n  +  k , F ), GL( n , F ) × GL( k , F )) ^{[9] [10]}
• (ГЛ(2 n , F ), СП(2 n , F )) ^{[16] [17]}
• (O( n  +  k , C ), O( n , C ) × O( k , C )) ^[18]
• (ГЛ( n , C ), O( n , C )) ^[18]
• (GL( n , E ), GL( n , F )) где E — квадратичное расширение F [ 11 ] [ ^{19 ]}

Следующие пары являются сильными парами Гельфанда:

• (Sym( n  + 1), Sym( n )), доказано с помощью инволютивного антиавтоморфизма g ↦ g ⁻¹
• (GL( n  + 1, F ), GL( n , F )), где F — локальное поле нулевой характеристики ^{[20] [21] [22]}
• (O( V ⊕ F ), O( V )), где V — векторное пространство над F с невырожденной квадратичной формой ^{[20] [22]}
• U( V ⊕ E ), U( V )), где E — квадратичное расширение F , а V — векторное пространство над E с невырожденной эрмитовой формой ^[20] [ ^22]

Эти четыре примера можно перефразировать как утверждение, что следующие пары являются парами Гельфанда:

• (Симметрия( n  + 1) × Симметрия( n ), Δ Симметрия( n ))
• (GL( n  + 1, F ) × GL( n , F ), Δ GL( n , F ))
• (О( V ⊕ F ) × О( V ), Δ O( V ))
• (U( V ⊕ E ) × U( V ), Δ U( V ))

• Сферическая функция

• Брейер, Т.; Люкс, К. (1996), «Характеристики перестановок без кратности спорадических простых групп и их групп автоморфизмов», Сообщения по алгебре , 24 (7): 2293–2316, doi :10.1080/00927879608825701, MR  1390375
• Айзекс, И. Мартин (1994), Теория характеров конечных групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-68014-9, МР  0460423
• Saxl, Jan (1981), «О представлениях перестановок без множественности», Конечные геометрии и конструкции (Proc. Conf., Chelwood Gate, 1980) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., т. 49, Cambridge University Press , стр. 337–353, MR  0627512
• ван Дейк, Геррит (2009), Введение в гармонический анализ и обобщенные пары Гельфанда , Исследования Де Грюйтера по математике, т. 36, Вальтер де Грюйтер, ISBN 978-3-11-022019-3
• Виландт, Хельмут (1964), Конечные группы перестановок , Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR  0183775