В более общем смысле, многочлен, определенный над полем K , абсолютно неприводим, если он неприводим над каждым алгебраическим расширением поля K , [4] и аффинное алгебраическое множество , определенное уравнениями с коэффициентами в поле K , абсолютно неприводимо, если оно не является объединением двух алгебраических множеств, определенных уравнениями в алгебраически замкнутом расширении поля K. Другими словами, абсолютно неприводимое алгебраическое множество является синонимом алгебраического многообразия , [5] , что подчеркивает, что коэффициенты определяющих уравнений могут не принадлежать алгебраически замкнутому полю.
Термин «абсолютно неприводимый» применяется также в том же смысле к линейным представлениям алгебраических групп .
Во всех случаях абсолютная неприводимость означает то же самое, что и неприводимость над алгебраическим замыканием основного поля.
Примеры
Одномерный многочлен степени больше или равной 2 никогда не является абсолютно неприводимым в силу фундаментальной теоремы алгебры .
Неприводимое двумерное представление симметрической группы S3 порядка 6, первоначально определенной над полем рациональных чисел , абсолютно неприводимо .
Представление группы окружности вращениями на плоскости неприводимо (над полем действительных чисел), но не абсолютно неприводимо. После расширения поля до комплексных чисел оно распадается на две неприводимые компоненты. Этого следовало ожидать, поскольку группа окружности коммутативна , а известно, что все неприводимые представления коммутативных групп над алгебраически замкнутым полем одномерны.
Действительное алгебраическое многообразие определяется уравнением
абсолютно неприводима. [3] Это обычная окружность над действительными числами, которая остается неприводимым коническим сечением над полем комплексных чисел. Абсолютная неприводимость в более общем случае имеет место над любым полем, не имеющим характеристики два. В характеристике два уравнение эквивалентно ( x + y −1) 2 = 0. Следовательно, оно определяет двойную линию x + y =1, которая является неприводимой схемой .
Алгебраическое многообразие, заданное уравнением
не является абсолютно неприводимым. Действительно, левую часть можно разложить на множители
где — квадратный корень из −1.
Следовательно, это алгебраическое многообразие состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат, и не является абсолютно неприводимым. Это выполняется либо уже над основным полем, если −1 является квадратом, либо над квадратичным расширением, полученным присоединением i .
Ссылки
^ Боревич, З.И.; Шафаревич, ИР (1986), Теория чисел, Чистая и прикладная математика, т. 20, Academic Press, стр. 10, ISBN9780080873329.
^ Грабмайер, Йоханнес; Кальтофен, Эрих; Вайспфеннинг, Волкер (2003), Справочник по компьютерной алгебре: основы, приложения, системы, Springer, стр. 26, ISBN9783540654667.
^ ab Tucker, Allen B. (2004), Computer Science Handbook (2-е изд.), CRC Press, стр. 8–17 – 8-18, ISBN9780203494455.
^ Степанов, Сергей А. (1994), Арифметика алгебраических кривых, Монографии по современной математике, Springer, стр. 53, ISBN9780306110368.
^ Нидеррайтер, Харальд ; Син, Чаопин (2009), Алгебраическая геометрия в теории кодирования и криптографии, Princeton University Press, стр. 47, ISBN9781400831302.