алгебра Шура

В математике алгебры Шура , названные в честь Иссая Шура , являются определенными конечномерными алгебрами, тесно связанными с двойственностью Шура–Вейля между общими линейными и симметрическими группами . Они используются для связи теорий представлений этих двух групп . Их использование было продвинуто влиятельной монографией JA Green, впервые опубликованной в 1980 году. [1] Название «алгебра Шура» произошло от Грина. В модулярном случае (над бесконечными полями положительной характеристики ) алгебры Шура использовались Гордоном Джеймсом и Карин Эрдманн, чтобы показать, что (все еще открытые ) проблемы вычисления чисел разложения для общих линейных групп и симметрических групп на самом деле эквивалентны. [2] Алгебры Шура использовались Фридлендером и Суслиным для доказательства конечной порожденности когомологий конечных групповых схем . [3]

Строительство

Алгебра Шура может быть определена для любого коммутативного кольца и целых чисел . Рассмотрим алгебру многочленов (с коэффициентами в ) от коммутирующих переменных , 1 ≤ i , j ≤ . Обозначим через однородные многочлены степени . Элементы из являются k -линейными комбинациями одночленов, образованных путем умножения образующих (допуская повторения). Таким образом С к ( н , г ) {\displaystyle S_{k}(n,r)} к {\displaystyle к} н , г ≥ 0 {\displaystyle n,r\geq 0} к [ х я дж ] {\displaystyle k[x_{ij}]} к {\displaystyle к} н 2 {\displaystyle n^{2}} х я дж {\displaystyle x_{ij}} н {\displaystyle n} А к ( н , г ) {\displaystyle A_{k}(n,r)} г {\displaystyle r} А к ( н , г ) {\displaystyle A_{k}(n,r)} г {\displaystyle r} х я дж {\displaystyle x_{ij}}

к [ х я дж ] = ⨁ г ≥ 0 А к ( н , г ) . {\displaystyle k[x_{ij}]=\bigoplus _{r\geq 0}A_{k}(n,r).}

Теперь имеет естественную структуру коалгебры с коумножением и коединицей гомоморфизмов алгебры, заданных на образующих к [ х я дж ] {\displaystyle k[x_{ij}]} Δ {\displaystyle \Дельта} ε {\displaystyle \varepsilon}

Δ ( х я дж ) = ∑ л х я л ⊗ х л дж , ε ( х я дж ) = δ я дж {\displaystyle \Delta (x_{ij})=\textstyle \sum _{l}x_{il} \otimes x_{lj},\quad \varepsilon (x_{ij})=\delta _{ij}\quad }    ( Дельта Кронекера ).

Так как коумножение является гомоморфизмом алгебры, является биалгеброй . Легко проверить, что является подкоалгеброй биалгебры для любого r  ≥ 0. к [ х я дж ] {\displaystyle k[x_{ij}]} А к ( н , г ) {\displaystyle A_{k}(n,r)} к [ х я дж ] {\displaystyle k[x_{ij}]}

Определение. Алгебра Шура (в степени ) — это алгебра . То есть, является линейной двойственной к . г {\displaystyle r} С к ( н , г ) = ЧАС о м к ( А к ( н , г ) , к ) {\displaystyle S_{k}(n,r)=\mathrm {Hom} _{k}(A_{k}(n,r),k)} С к ( н , г ) {\displaystyle S_{k}(n,r)} А к ( н , г ) {\displaystyle A_{k}(n,r)}

Общим фактом является то, что линейный дуал коалгебры является алгеброй естественным образом, где умножение в алгебре индуцируется дуализацией коумножения в коалгебре. Чтобы увидеть это, пусть А {\displaystyle А}

Δ ( а ) = ∑ а я ⊗ б я {\displaystyle \Дельта (a)=\textstyle \сумма a_{i}\otimes b_{i}}

и, учитывая линейные функционалы , на , определяем их произведение как линейный функционал, заданный формулой ф {\displaystyle f} г {\displaystyle г} А {\displaystyle А}

а ↦ ∑ ф ( а я ) г ( б я ) . {\displaystyle \textstyle a\mapsto \sum f(a_{i})g(b_{i}).}

Элементом идентичности для этого умножения функционалов является коединица в . А {\displaystyle А}

Основные свойства

  • Одно из самых основных свойств выражается как централизатор алгебры. Пусть будет пространством ранговых векторов столбцов над , и образует тензорную мощность С к ( н , г ) {\displaystyle S_{k}(n,r)} В = к н {\displaystyle V=k^{n}} н {\displaystyle n} к {\displaystyle к}
В ⊗ г = В ⊗ ⋯ ⊗ В ( г  факторы ) . {\displaystyle V^{\otimes r}=V\otimes \cdots \otimes V\quad (r{\text{ факторы}}).}

Тогда симметрическая группа над буквами действует естественным образом на тензорном пространстве перестановкой мест, и имеет место изоморфизм С г {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{r}} г {\displaystyle r}

С к ( н , г ) ≅ Э н г С г ( В ⊗ г ) . {\displaystyle S_{k}(n,r)\cong \mathrm {End} _{{\mathfrak {S}}_{r}}(V^{\otimes r}).}

Другими словами, можно рассматривать как алгебру эндоморфизмов тензорного пространства, коммутирующую с действием симметрической группы . С к ( н , г ) {\displaystyle S_{k}(n,r)}

  • С к ( н , г ) {\displaystyle S_{k}(n,r)} свободен от ранга, заданного биномиальным коэффициентом . к {\displaystyle к} ( н 2 + г − 1 г ) {\displaystyle {\tbinom {n^{2}+r-1}{r}}}
  • Известны различные базы , многие из которых индексируются парами полустандартных таблиц Юнга формы , причем , как изменяется по множеству разбиений , не более чем на части. С к ( н , г ) {\displaystyle S_{k}(n,r)} λ {\displaystyle \лямбда} λ {\displaystyle \лямбда} г {\displaystyle r} н {\displaystyle n}
  • В случае, если k — бесконечное поле, его можно также отождествить с обертывающей алгеброй (в смысле Г. Вейля) для действия общей линейной группы, действующей на (посредством диагонального действия на тензорах, индуцированного из естественного действия на , заданного умножением матриц). С к ( н , г ) {\displaystyle S_{k}(n,r)} Г Л н ( к ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)} В ⊗ г {\displaystyle V^{\otimes r}} Г Л н ( к ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)} В = к н {\displaystyle V=k^{n}}
  • Алгебры Шура «определены над целыми числами». Это означает, что они удовлетворяют следующему изменению свойства скаляров:
С к ( н , г ) ≅ С З ( н , г ) ⊗ З к {\displaystyle S_{k}(n,r)\cong S_{\mathbb {Z} }(n,r)\otimes _{\mathbb {Z} }k}
для любого коммутативного кольца . к {\displaystyle к}
  • Алгебры Шура предоставляют естественные примеры квазинаследственных алгебр [4] (как определено Клайном, Паршаллом и Скоттом), и, таким образом, обладают хорошими гомологическими свойствами. В частности, алгебры Шура имеют конечную глобальную размерность .

Обобщения

  • Обобщенные алгебры Шура (связанные с любой редуктивной алгебраической группой ) были введены Донкиным в 1980-х годах. [5] Они также являются квазинаследственными.
  • Примерно в то же время Диппер и Джеймс [6] ввели квантованные алгебры Шура (или сокращенно q-алгебры Шура ), которые представляют собой тип q-деформации классических алгебр Шура, описанных выше, в которых симметрическая группа заменяется соответствующей алгеброй Гекке , а общая линейная группа — подходящей квантовой группой .
  • Существуют также обобщенные q-алгебры Шура , которые получены путем обобщения работы Диппера и Джеймса таким же образом, как Донкин обобщил классические алгебры Шура. [7]
  • Существуют и другие обобщения, такие как аффинные q-алгебры Шура [8], связанные с аффинными алгебрами Ли Каца–Муди , и другие обобщения, такие как циклотомические q-алгебры Шура [9], связанные с алгебрами Арики–Койке (которые являются q-деформациями некоторых комплексных групп отражений ).

Изучение этих различных классов обобщений составляет активную область современных исследований.

Ссылки

  1. ^ Дж. А. Грин , Полиномиальные представления GL n , Конспекты лекций Springer 830, Springer-Verlag 1980. MR 2349209, ISBN 978-3-540-46944-5 , ISBN 3-540-46944-3  
  2. ^ Карин Эрдманн, Числа разложения для симметричных групп и композиционные факторы модулей Вейля. Журнал алгебры 180 (1996), 316–320. doi :10.1006/jabr.1996.0067 MR 1375581
  3. ^ Эрик Фридлендер и Андрей Суслин , Когомологии конечных групповых схем над полем. Inventiones Mathematicae 127 (1997), 209--270. MR 1427618 doi :10.1007/s002220050119
  4. ^ Эдвард Клайн, Брайан Паршалл и Леонард Скотт, Конечномерные алгебры и высшие весовые категории. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik [Журнал Крелля] 391 (1988), 85–99. МР 0961165
  5. ^ Стивен Донкин, Об алгебрах Шура и связанных с ними алгебрах, I. Журнал алгебры 104 (1986), 310–328. doi :10.1016/0021-8693(86)90218-8 MR 0866778
  6. ^ Ричард Диппер и Гордон Джеймс, Алгебра q-Шура. Труды Лондонского математического общества (3) 59 (1989), 23–50. doi :10.1112/plms/s3-59.1.23 MR 0997250
  7. ^ Стивен Доти, Представление обобщенных q-алгебр Шура. Теория представлений 7 (2003), 196--213 (электронный). doi :10.1090/S1088-4165-03-00176-6
  8. ^ RM Green, Аффинная q-алгебра Шура. Журнал алгебры 215 (1999), 379--411. doi :10.1006/jabr.1998.7753
  9. ^ Ричард Диппер, Гордон Джеймс и Эндрю Мэтас, Циклотомные q-алгебры Шура. Математика. Zeitschrift 229 (1998), 385-416. дои : 10.1007/PL00004665 MR 1658581

Дальнейшее чтение

  • Стюарт Мартин, Алгебры Шура и теория представлений , Cambridge University Press, 1993. MR 2482481, ISBN 978-0-521-10046-5 
  • Эндрю Матас, Алгебры Ивахори-Гекке и алгебры Шура симметрической группы, University Lecture Series, т.15, Американское математическое общество, 1999. MR 1711316, ISBN 0-8218-1926-7 
  • Герман Вейль , Классические группы. Их инварианты и представления . Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1939. MR 0000255, ISBN 0-691-05756-7 
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Шур_алгебра&oldid=1240297399"